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知识 清单破
3.1.2 排列与排列数
知识点 排列与排列数
1.排列的概念
　　一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不
同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排
列.
2.排列数
(1)排列数的概念:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中
取出m个对象的排列数,用符号 表示.
注意:①所谓排成一列,是指与顺序有关,例如,排列AB与排列BA是不同的排列,可以把一个排
列看成一个类似点坐标的有序数对.②符号 中,总是要求n和m都是正整数,且m≤n.
(2)排列数公式: =n(n-1)…(n-m+1)= .
　　一般地,在 中,当m=n时,排列数公式为 =n×(n-1)×…×2×1,可简写为 =n!.
　　规定:0!=1; =1.
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若组成两个排列的对象相同,则这两个排列是相同的. (　 )
2.4×5×6×…×(n-1)×n= . (　 )
3.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法数可列式为 - . (　 )
　组成两个排列的对象相同,但这些对象的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的.
提示

√
　利用插空法可列式为 ,利用间接法可列式为 - .
提示
√
讲解分析
疑难 1 与排列数有关的计算
疑难 情境破
1.排列数运算的方法与技巧
(1)拆项技巧:n·n!=(n+1)!-n!; = - .
(2)化简技巧: =n , +m = .
2.解与排列数有关的方程或不等式的步骤
(1)转化:将与排列数有关的方程或不等式转化为普通方程或不等式;
(2)求解:解转化后的普通方程或不等式;
(3)检验:将所求结果代入原方程或不等式中检验.
典例 (1)计算: ;
(2)解不等式: >6 ;
(3)化简: + + +…+ (n≥2且n∈N).
解析 (1)
=
= =3.
(2)原不等式可化为 > ,
整理,得(11-x)(10-x)>6,
即x2-21x+104>0,
∴(x-8)(x-13)>0,
解得x<8或x>13.①
又∵ 且x∈N,∴2≤x≤9,且x∈N②,由①②得x=2,3,4,5,6,7,
∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.
(3)∵ = - ,
∴ + + +…+ = + + +…+ =1- .
讲解分析
疑难 2 有限制条件的排列问题
1.“在”与“不在”问题
　　对于有“在”或“不在”要求的特殊对象或特殊位置,我们要优先安排,这种方法叫特
殊对象或特殊位置优先法.如果有两个及两个以上的约束条件,那么在考虑一个约束条件的
同时还要兼顾其他条件.当直接求解比较困难时,可根据“正难则反”的原则,考虑用间接法
求解.
2.“相邻”与“不相邻”问题
(1)当对象被要求相邻时,通常采用“捆绑法”,即把相邻对象看作一个整体并与其他对象进
行排列,要注意捆绑对象本身的内部排列.
(2)当对象被要求不相邻时,通常采用“插空法”,即先考虑不受限制的对象的排列,再将不相
邻对象插在前面对象形成的空中(含两端).
3.“定序”问题
　　在排列问题中,某些对象的顺序是固定不变的,这种问题称为“定序”问题.“定序”问
题可以采用“倍缩法”求解,即n个对象的全排列中有m(m≤n)个对象的顺序固定,则满足题
意的排法有 种.
典例1　7名师生站成一排照相留念,其中有1名老师,4名男学生,2名女学生.分别求满足下列情
况的不同站法的种数.
(1)老师必须站在正中间或两端;
(2)2名女学生必须相邻而站;
(3)4名男学生互不相邻;
(4)4名男学生身高均不相等,且按从高到低的顺序站.
解析 (1)先考虑老师,有 种站法,
再考虑其余6人,有 种站法,
所以不同站法的种数为 =2 160.
(2)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有 种站法,
所以不同站法的种数为 =1 440.
(3)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生,每空
一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为 =144.
(4)7人全排列的站法有 种,4名男学生不考虑身高顺序的站法有 种,而按从高到低顺序站
有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2× =420.
典例2　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:
(1)无重复数字且个位上的数字不是5的六位数
(2)无重复数字且为5的倍数的五位数
(3)无重复数字且比1 325大的四位数
(4)无重复数字的六位数 若这些六位数按从小到大的顺序排成一列数,则240 135是该列数的
第几项
解析 (1)解法一(间接法):0在十万位或5在个位时都有 种情况,0在十万位且5在个位时有
种情况.故符合题意的六位数共有 -2 + =504(个).
解法二(直接法):十万位上的数字的排法因个位上的数字为0与不为0而有所不同,因此需分两
类:
第一类:当个位上的数字为0时,符合题意的六位数有 个;
第二类:当个位上的数字不为0时,符合题意的六位数有 个.
故符合题意的六位数共有 + =504(个).
(2)满足条件的五位数可分为两类:
第一类:个位上的数字是0的五位数,有 个;
第二类:个位上的数字是5的五位数,有 个.
故满足条件的五位数共有 + =216(个).
(3)满足条件的四位数可分为三类:
第一类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有4 个;
第二类:形如14□□,15□□,共有2 个;
第三类:形如134□,135□,共有2 个.
故满足条件的四位数共有4 +2 +2 =270(个).
(4)满足条件的六位数共有 - =600(个).由于这些数是六位数,故十万位上的数字不能为0,
则十万位上的数字为1的有 个,十万位上的数字为2且万位上的数字为0或1或3的共有3
个,
∵ +3 +1=193,
∴240 135是该列数的第193项.
易错警示
包含数字“0”的排列问题隐含了数字“0”不能在首位的条件,属于“不在”的特殊对象优
先法.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他受限制的数字,则应考虑受限制的数字对
位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论.3.1.2　排列与排列数
基础过关练
题组一　对排列的概念的理解
1.(多选题)下列问题是排列问题的是(　　)
A.把5本不同的书分给5个学生,每人一本
B.从7本不同的书中取出5本给某个同学
C.10个人互相发一条微信,共发了几次微信
D.10个人互相通一次电话,共通了几次电话
2.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和 ②相除可得多少个不同的商 ③作为椭圆=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程 ④作为双曲线=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
上面四个问题属于排列问题的是(　　)
A.①②③④　　　　B.②④
C.②③　　　　D.①④
题组二　排列数与排列数公式
3.=(　　)
A.
4.若n∈N+且n<20,则(20-n)(21-n)(22-n)…(100-n)=(　　)
A.
C.
5.不等式-n<7的解集为　　　　.
题组三　无限制条件的排列问题
6.某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛,则不同选法的种数是　(　　)
A.10　　　　B.30　　　　C.60　　　　D.125
7.8名学生站成两排,前排3人,后排5人,则不同站法的种数为(　　)
A.
8.已知直线l:mx+ny=0,若m,n∈{1,2,3,4,5,6},则能得到的不同直线的条数是(　　)
A.22　　　　B.23　　　　C.24　　　　D.25
9.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,若将组成的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为(　　)
A.2 301　　　　B.2 304　　　　C.2 305　　　　D.2 310
题组四　“在”与“不在”问题
10.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.为庆祝比赛顺利结束,主办方设置了一场扣篮表演,分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演,贵州队作为东道主,扣篮表演必须在第一位和最后一位,那么表演顺序一共有(　　)
A.种　　　　B.2种
C.种　　　　D.种
11.期末考试结束后,某班要安排6节课进行试卷讲评,要求课程表中安排语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课,如果第一节课只能安排语文或数学,最后一节课不能安排语文,则不同的排法共有(　　)
A.192种　　　　B.216种
C.240种　　　　D.288种
12.由0,1,2,3,4这5个数字组成不同的五位偶数的个数为(　　)
A.24　　　　B.54　　　　C.60　　　　D.72
13.在某校举行的秋季运动会上,甲、乙、丙、丁四名同学参加50米短跑比赛.现将四名同学安排在1,2,3,4这4条跑道上,每条跑道安排一名同学.若甲不在1号跑道上,乙不在2号跑道上,则不同的排法种数为(　　)
A.12　　　　B.14　　　　C.16　　　　D.18
14.将分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的2张卡片上的数字之和为8,则不同的排法共有　　　　种.
15.现有3名男生、4名女生.
(1)若全体排成一排,其中甲不排在最左端也不排在最右端,则共有多少种不同的排法
(2)若全体排成一排,其中甲、乙排在两端,则共有多少种不同的排法
题组五　“相邻”与“不相邻”问题
16.杭州第19届亚运会火炬2023年9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州,活力城市”为主题,全长大约8千米.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段路线由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有(　　)
A.288种　　　　B.360种　　　　C.480种　　　　D.504种
17.航空母舰山东舰在某次舰载机起降飞行训练中,有5架飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,则不同的着舰方法有(　　)
A.36种　　　　B.24种　　　　C.16种　　　　D.12种
18.某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告,并安排A,B,C,D,E五名同学到三个学院开展活动,每个学院至少安排一名同学,且A,B两名同学安排在同一个学院,C,D两名同学不安排在同一个学院,则不同的分配方法种数为(　　)
A.86　　　　B.64　　　　C.42　　　　D.30
19.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖,要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有(　　)
A.12种　　　　B.16种　　　　C.20种　　　　D.24种
20.夏老师要进行年度体检,有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量五个项目,为了保证体检数据的准确性,抽血必须作为第一个项目完成,而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查,则不同的检查方案一共有　　　　种.
题组六　“定序”问题或相同对象的排列问题
21.按照编码特点来分,条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”,“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成,其中两个为相同的宽条,三个为相同的窄条.一个数字的编码如图所示,则不同的编码共有(　　)
A.120种　　　　B.60种　　　　C.40种　　　　D.10种
22.元宵节灯展后,悬挂的6盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法种数为　　　　.
能力提升练
题组一　排列数与排列数公式
1.(多选题)下列各式中与相等的是(　　)
A.　　　　
B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C.　　　　
D.
2.已知3,则x=　　　.
3.1!+2!+3!+…+100!的个位数字为　　　　.
4.(1)解不等式:3≤2;
(2)解方程:.
题组二　排列数的应用
5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为(　　)
A.478　　　　B.479　　　　C.480　　　　D.481
6.A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次安排有　(　　)
A.60种　　　　B.48种　　　　C.30种　　　　D.24种
7.在6×6的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,则不同的停放方法种数为(　　)
A.720　　　　B.2 160
C.8 400　　　　D.14 400
8.甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯,已知3人都在2至6层的某一层出电梯,且在每一层最多只有两人同时出电梯,从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序,则甲、乙、丙3人出电梯的不同情况种数是　　　　.
9.某班级的课程表要排历史、语文、数学、物理、体育、英语,共6节课.
(1)若数学必须比语文先上,则不同的排法有多少种
(2)如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法
(3)原定的6节课已排好,学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课,若将这3节课插入原课程表中且原来的6节课相对顺序不变,则有多少种不同的排法
答案与分层梯度式解析
3.1.2　排列与排列数
基础过关练
1.AC 2.B 3.A 4.D 6.C 7.D 8.B 9.A
10.C 11.B 12.C 13.B 16.C 17.A 18.D 19.C
21.D
1.AC　对于A,学生与书都不相同,与顺序有关,故是排列问题,A正确;
对于B,取出5本书后,即确定了取法,与顺序无关,故不是排列问题,B错误;
对于C,因为是互相发一条微信,所以与顺序有关,故是排列问题,C正确;
对于D,因为是互相通一次电话,所以与顺序无关,故不是排列问题,D错误.
故选AC.
方法总结
判断一个具体问题是不是排列问题,就看取出对象后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”,看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
2.B　∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,∴②是排列问题;若方程=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题;在方程=1(a>0,b>0)中,不管a>b还是a3.A　.故选A.
4.D　(20-n)(21-n)(22-n)…(100-n)表示81个连续正整数的乘积,其中最大因数为100-n,最小因数为20-n,所以(20-n)(21-n)(22-n)…(100-n)=.故选D.
5.答案　{3,4}
解析　由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,解得-16.C　根据题意,选出的3人有顺序的区别,则有=60种不同的选法.
7.D　解法一:8名学生站成两排,前排3人,后排5人,等价于8人站成一排,故有种不同站法.
解法二:先安排后排5人,有种不同站法,再安排前排3人,有种不同站法,故共有种不同站法.
8.B　当m,n相等时,只能得到1条直线;当m,n不相等时,有=30种情况,但,重复了8条直线,因此共能得到1+30-8=23条不同的直线.故选B.
9.A　千位上的数字为1的四位数有=60个,千位、百位上的数字分别为2,0的四位数有=12个,千位、百位上的数字分别为2,1的四位数有=12个,
而60+12+12=84,所以第85个数是千位、百位上的数字分别为2,3的最小四位数,即2 301.故选A.
10.C　由题意知,一共有8个人需要排列.先确定贵州2名球员的顺序为,再确定其余6人的顺序为.由分步乘法计数原理可得,一共有种表演顺序.
故选C.
11.B　①若第一节课安排语文,则后面五节课的安排无限制,有种排法;②若第一节课安排数学,则语文可安排在中间四节课中的任何一节,其余四节课的安排无限制,有4种排法.所以不同的排法共有=216(种).故选B.
12.C　当个位数字是0时,五位偶数的个数为=24;当个位数字不是0时,五位偶数的个数为=36.故所求五位偶数的个数为24+36=60.故选C.
13.B　①若甲在2号跑道上,有=6种排法;②若甲不在2号跑道上,则甲只能在3号或4号跑道上,乙不能在2号跑道上,只能在甲选择后剩余的2条跑道中选择1条,而丙、丁在剩余2条跑道中可随意选择,所以甲不在2号跑道上的排法有2×2×=8(种).所以共有6+8=14种不同的排法.故选B.
14.答案　64
解析　分两步:①中间行的2张卡片上的数字之和为8,则中间行的数字只能为2,6或3,5,共有2=4种排法;②将剩下的4个数字安排在其他4个位置,有4×2×=16种排法.故共有4×16=64种不同的排法.
15.解析　(1)解法一(对象分析法):先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,共有5×=3 600种不同的排法.
解法二(位置分析法):因为甲不站两端,所以先从甲以外的6个人中任选2个人站在两端,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置,有种排法.由分步乘法计数原理可知,共有=3 600种不同的排法.
(2)首先考虑两端位置,由甲、乙去排,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置,有种排法.根据分步乘法计数原理可知,共有=240种不同的排法.
16.C　由题知甲、乙不相邻,所以可以先安排除甲、乙以外的4人,有种排法,然后插空安排甲、乙两人,有种排法,所以不同的传递方案共有=480(种).故选C.
17.A　将甲、乙看成一个整体,与丁不相邻的排法有=24(种),将甲、乙、丁看成一个整体且乙在中间的排法有=12(种),所以共有24+12=36种不同的着舰方法.故选A.
18.D　若C,E一组,则有=6(种);若D,E一组,则有=6(种);若A,B,C一组,则有=6(种);若A,B,D一组,则有=6(种);若A,B,E一组,则有=6(种).所以共有5×6=30种不同的分配方法.故选D.
19.C　若甲与丙之间为乙,即乙在甲、丙之间且三人相邻,则共有=2种情况,将三人看成一个整体,与丁、戊两人进行全排列,共有=6种情况,此时有2×6=12种排法;
若甲与丙之间不是乙,则先从丁、戊中选取1人,安排在甲与丙之间,有2种选法,此时乙在甲的另一侧,考虑甲、丙的顺序,有=2种情况,将四人看成一个整体,将这个整体与剩下的1人进行全排列,有=2种情况,此时有2×2×2=8种排法.
所以共有12+8=20种不同的排法.故选C.
20.答案　12
解析　将心电图、血压测量两项全排列,有=2种情况,再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中,有=6种情况,最后将抽血放在第一位,有1种情况,
所以共有2×6×1=12种不同的检查方案.
21.D　由题意可得,不同的编码种数等价于将5个对象(3个分别相同,剩余2个分别相同)排成一列的所有排列数N==10.故选D.
22.答案　90
解析　因为取花灯时每次只能取1盏,所以每串花灯必须先取下面的花灯,即每串花灯取下的顺序确定,故不同的取法有=90(种).
能力提升练
1.AD 5.B 6.B 7.D
1.AD　由排列数公式知,A正确;
n(n-1)(n-2)…(n-m)=≠,B错误;
≠,C错误;
,D正确.
故选AD.
2.答案　6
解析　由题意可知即x≤8,x∈N+.
因为3,所以3×,即3=,即x2-19x+78=0,
解得x=6(x=13舍去).
3.答案　3
解析　易知5!,6!,…,100!的个位数字均为0,所以1!+2!+3!+…+100!的个位数字取决于1!+2!+3!+4!的个位数字,又1!+2!+3!+4!=33,所以1!+2!+3!+…+100!的个位数字为3.
4.解析　(1)易知x≥3且x∈N+,因为=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),解得≤x≤5,所以3≤x≤5且x∈N+,所以原不等式的解集为{3,4,5}.
(2)由题意得解得x≥3且x∈N+,
由得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x·(x-1)(x-2),化简,得4x2-35x+69=0,
解得x1=3,x2=(舍去),所以原方程的解为x=3.
5.B　用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为5=600.以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为=120,由于201 345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个,所以没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为600-120-1=479.故选B.
6.B　因为A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,所以只有1种座次安排;考虑B,C只能选择相邻的两个座位,位置可以互换,有4种座次安排;接下来考虑其余三人坐剩余的三把椅子,且位置可以互换,有种座次安排.根据分步乘法计数原理,有1×4=48种座次安排,故选B.
7.D　假设这六辆车是不同的车,则第一辆车有36种停放方法,又第二辆车不能与第一辆车同行、同列,所以第二辆车有25种停放方法,同理,第三辆车有16种停放方法,第四辆车有9种停放方法,第五辆车有4种停放方法,第六辆车有1种停放方法.因为三辆红色车相同,三辆黑色车相同,所以不同的停放方法种数为=14 400.故选D.
8.答案　120
解析　分两种情况讨论:
①3人都在2至6层的某一层独自出电梯,共有=60(种);
②3人中有2人“捆”在一起(有3种“捆”法)在同一层出电梯,另1人在另外一层出电梯,即从5层中任选2层出电梯,共有3=60(种).
故甲、乙、丙3人出电梯的不同情况种数是60+60=120.
9.解析　(1)若数学必须比语文先上,则不同的排法有=360(种).
(2)如果体育排在最后一节,那么有=120种排法;
如果体育不排在最后一节,也不排在第一节,且数学不排在最后一节,那么有4×4×=384种排法.
所以共有120+384=504种排法.
(3)若将这3节课插入原课程表中且原来的6节课相对顺序不变,则有=504种不同的排法.
18

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