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(共26张PPT)
6.2 空间向量的坐标表示
知识点 1 空间向量基本定理
必备知识 清单破
3.推论
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =x +y +z .
1.空间直角坐标系
如图(1),在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正 方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标 系O-xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、 yOz平面和zOx平面.

知识点 2 空间向量的坐标表示
如图(2),在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指 向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
2.空间向量的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有 序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k({i,j,k}为空间的一个单位正交基底).
有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3).
3.点的坐标
如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量 为点P的位置向量.于是,
存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =xi+yj+zk.因此,向量 的坐标为 =(x,y,z).此时,我们
把与向量 对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作P(x,y,z).
知识拓展 空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面上的点的坐标如表所示:
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 xOy平面 yOz平面 zOx平面
坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
4.空间向量的坐标运算
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);
(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;
(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
(1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1);
(2)A,B间的距离为AB=
;
(3)线段AB的中点坐标为 .
5.空间向量的平行、垂直、模及夹角的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b b=λa(λ∈R) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1
(λ∈R)　　　　　
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
模 |a|= |a|=
夹角 cos= cos=

知识辨析
1.点P(1,0,0)在哪一条坐标轴上
2.点P(1,1,0)在哪一个坐标平面内
3.如何求解空间直角坐标系中任一点的坐标
4.若O为坐标原点, =(x,y,z),则P(x,y,z)是否正确
5.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 = = 是否成立
6.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若x1x2+y1y2+z1z2>0,则一定是锐角吗
一语破的
1.点P(1,0,0)在x轴上,点P(0,1,0)在y轴上,点P(0,0,1)在z轴上.
2.点P(1,1,0)在xOy平面内,点P(0,1,1)在yOz平面内,点P(1,0,1)在xOz平面内.
3.点在空间直角坐标系中的位置有3种可能:点在坐标轴上、点在坐标平面内和点不是特殊 点.对于前两种,熟悉点的坐标特征即可轻松写出其坐标;对于第三种,一般是先确定点在xOy 平面内的射影的位置,再由竖坐标确定点在空间直角坐标系中的具体位置,进而得到其坐标.
4.不正确.若O为坐标原点, =(x,y,z),则 =- =(-x,-y,-z),∴P(-x,-y,-z).
5.不一定成立.当a∥b且x2y2z2=0时, = = 无意义.
6.不一定.若x1x2+y1y2+z1z2>0,则为零角或锐角.
1.用基底表示空间向量
　　若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量选择共起点的三个向量,再看基向量的模及 其夹角是否已知或易求.基底确定后,利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则和共线 向量的特点,把目标向量逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果.
2.用基底法解决立体几何问题
　　利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题,解题时, 首先要确定基底,将所需向量用基底表示出来,然后通过向量运算解决问题.基底法是向量法 中的一种.
关键能力 定点破
定点 1 空间向量基本定理的应用
典例 如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,E是棱CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设
=a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题:

(1)用基底表示向量 ;
(2)证明: ⊥ , ⊥ .
思路点拨 (1)利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则运算即可.
(2)先用基底表示 , ,再计算 · , · 即可.
解析 (1)连接AE. = + = + = + ( - )= + = + × ( +
)= + + = a+ b+ c.
(2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , = - =b-a, = - =c-a.
∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,∴ ⊥ .
∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,∴ ⊥ .
1.确定空间任意一点P的坐标的常用方法
(1)垂面法:确定点P在三条坐标轴上的投影.方法是过点P作三个平面分别垂直于x轴,y轴,z轴 于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C在x轴,y轴,z轴上分别对应实数a, b,c,则(a,b,c)就是点P的坐标.
(2)垂线段法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1,由 的长度及方向确定
竖坐标z,然后在xOy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后 得出点P的坐标(x,y,z).
定点 2 空间向量的坐标表示及其运算
3.空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广,其运算法则仅是在平面向量运算法则 的基础上增加了竖坐标的运算.
2.用坐标表示空间向量的步骤
典例1 如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,建立空间直角坐标系O-xyz,OA=2,OC=3,OO1=4,P是B1 C1的中点,则点P的坐标为　　　 ,| |=　　　　 .

(1,3,4)
解析 因为OA=2,OC=3,OO1=4,P是B1C1的中点,
所以点P的坐标是(1,3,4).
易知A(2,0,0),
所以 =(-1,3,4),
所以 =26,
所以| |= .
典例2 已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:
(1)向量a,b,c的坐标;
(2)a+c与b+c夹角的余弦值.
解析 (1)因为a∥b,所以 = = ,
解得x=2,y=-4.
故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).
又因为b⊥c,
所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,
所以c=(3,-2,2).
(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1).
设a+c与b+c的夹角为θ,
则cos θ= = =- .
　　通过建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的方法称为“坐 标法”,是向量法中的一种.
定点 3 立体几何中的向量运算
典例1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1= ,E,F分别是棱B1C1,A1C1的
中点,求:
(1)| |;
(2) 与 的夹角.

解析 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC,
以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

∵AB=AC=2,AA1= ,E,F分别是棱B1C1,A1C1的中点,
∴B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1, ),F(0,1, ).
(1)∵ =(0,1, )-(2,0,0)=(-2,1, ),∴| |= =2 .
(2)∵ =(1,1, )-(2,0,0)=(-1,1, ), =(0,1, )-(0,2,0)=(0,-1, ),
∴cos< , >= = = ,
∵< , >∈[0,π],
∴< , >= .
典例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.

(1)求证: ∥ , ⊥ ;
(2)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在实数λ,使 =λ ,且 ⊥ 若
存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解析 设正方体的棱长为1,以A为坐标原点,{ , , }为单位正交基底,建立如图所示的
空间直角坐标系A-xyz.

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).
由中点坐标公式,得E ,G ,H .
(1)证明: =(1,0,1), = , = ,
所以 =2 , · =1× +0× +1× =0,
所以 ∥ , ⊥ .
(2)不存在.理由如下:
假设存在满足条件的实数λ.
设点P(x1,y1,1),
则 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0),
由3 = ,得
解得 所以点P的坐标为 .
设点Q(x2,y2,0),则 = , =(x2,y2-1,0),且 = , =(-1,1,0).
由 ⊥ ,得x2- +y2- - =0,①
由 =λ ,得 ②
联立①②,无解,故不存在满足条件的实数λ.6.2　空间向量的坐标表示
6.2.1　空间向量基本定理
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　空间向量的基底的概念
1.(教材习题改编)已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(　　)
A.a　　　　B.b　　　　C.a+2b　　　　D.a+2c
2.(多选题)已知O为空间任意一点,M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使{}构成空间的一个基底的是(　　)
A.
B.
C.
D.6
题组二　用基底表示空间向量
3.在正四面体APBC中,过点A作平面PBC的垂线,垂足为点Q,点M满足,则=(　　)
A. B.
C. D.
4.在空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为P,Q,若=ma+nb+pc,则m+n+p=　　　　.
题组三　空间向量基本定理的应用
5.在棱长为a的正四面体OABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则=(　　)
A.a2
6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1,DD1上,且DF=DD1.若,且x+y+z=,则=(　　)
A.
7.如图,在空间四边形OABC中,2,E为AD的中点,设=a,=b,=c.
(1)试用向量a,b,c表示向量;
(2)若OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,求的值.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　用基底表示向量
1.(多选题)如图,在四面体OABC中,点M在棱OA上,且满足OM=2MA,N,G分别是BC,MN的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.如图,在三棱锥O-ABC中,点G为底面△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若,则=　　　　.
题组二　空间向量基本定理的应用
3.如图,在四面体BACD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角形,AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点,N在侧面BCD上(包含边界),若(x,y,z∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若x=,则MN∥平面ACD
B.若z=0,则MN⊥CD
C.当MN最小时,x=
D.当MN最大时,x=0
4.如图,在正四面体ABCD中,E为棱CD的中点,F为棱BC上的动点,则cos<>的最大值为(　　)
A.
5.如图,正方形ABCD和正方形CDEF的边长均为6,且二面角A-CD-E的大小为60°,M为对角线AC上靠近点A的三等分点,N为对角线DF的中点,则MN=　　　　.
6.如图,已知四棱锥T-ABCD的底面为平行四边形,平面α与直线AD,TA,TC分别交于点P,Q,R,且满足=x,点M在直线TB上,N为棱CD的中点,且直线MN∥平面α,设=a,=b,=c.
(1)试用基底{a,b,c}表示向量;
(2)若点M的轨迹长度与线段TB的长度的比值为μ,试讨论μ是不是定值,若μ为定值,请求出μ;若μ不为定值,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
6.2　空间向量的坐标表示
6.2.1　空间向量基本定理
基础过关练
1.D 2.AC 3.B 5.D 6.B
1.D　易知能与p,q构成基底的向量与p,q不共面.
由题可知a=p+q,b=p-q,a+2b=(a+b)-(a-b)=p-q,
所以a,b,a+2b都与p,q共面,故A,B,C错误;
假设a+2c与p,q共面,则存在x,y∈R,使得a+2c=xp+yq=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
则2c=(x+y-1)a+(x-y)b,
所以a,b,c共面,这与{a,b,c}是空间的一个基底矛盾,假设不成立,
所以a+2c与p,q不共面,可构成基底,故D正确.
故选D.
2.AC　设空间四点M,A,B,C共面的充要条件是(x+y+z=1),即共面.
对于A,因为≠0,所以不共面,可以构成基底;
对于B,根据平面向量基本定理,可得共面,无法构成基底;
对于C,因为1+1+1=3≠0,所以不共面,可以构成基底;
对于D,由6,得,又=1,所以M,A,B,C四点共面,即共面,无法构成基底.故选AC.
3.B　由题意可得,Q是△PBC的中心,连接PQ,如图,
则),
所以.故选B.
4.答案　1
解析　∵Q为BD的中点,∴),
又∵P为AC的中点,∴),
∴).
又∵=a-2c,=5a+6b-8c,
∴[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b-5c,
又∵=ma+nb+pc,
∴根据空间向量基本定理,得m=3,n=3,p=-5.
∴m+n+p=3+3-5=1.
5.D　如图,
由OM=2MA,得,
由N为BC的中点,得,
则,
易知∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°,
所以|a2·cos 60°-a2·cos 60°+a2cos 60°=a2.
故选D.
6.B　设=λ(0≤λ≤1),则,又,
所以x=-1,y=1,z=-λ.
因为x+y+z=,所以-1+1+,所以λ=.
故选B.
7.解析　(1)因为E为AD的中点,所以,因为2,所以,
所以,
所以a+b+c.
(2)由(1)得a+b+c,
因为OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,=c-a,
所以·(c-a)=a·c-a2+b·c-a·b+c2-a·c=a·c-a2+b·c-a·b+c2=×4×4cos 60°-×3×4cos 60°-×4×3cos 60°+.
能力提升练
1.AD 3.C 4.C
1.AD　连接ON,因为N,G分别是BC,MN的中点,
所以,故B错误;
,故A正确;
,故C错误,D正确.故选AD.
2.答案　
解析　由题意可得)=,
因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使得,
所以),
所以,
所以.
3.C　连接BN.因为N在侧面BCD上(包含边界),所以可设,λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,所以.
又,所以且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1.
对于A,若x=,则λ=μ=0,所以点N与点B重合,显然MN∩平面ACD=A,故A错误.
对于B,若z=μ=0,则,所以点N在线段BC上(包括端点),
因为AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD 平面ACD,所以CD⊥平面ABD,
所以当点N与点B重合时,MN⊥CD,故B错误.
对于C,D,过M作ME⊥BD,垂足为E,则BE=|BM|·cos∠ABD=BD,ME=BM·sin∠ABD=BD.
连接NE,因为CD⊥平面ABD,ME 平面ABD,所以ME⊥CD,又ME⊥BD,BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以ME⊥平面BCD,又NE 平面BCD,
所以ME⊥NE,
所以MN=,显然当点N与点E重合时,MN最小,此时λ=0,μ=,所以y=0,z=;当点N与点C重合时,MN最大,此时λ=1,μ=0,所以y=1,z=0,x=-,故C正确,D错误.故选C.
4.C　设正四面体ABCD的棱长为1,且=a,=b,=c,
由E为棱CD的中点,可得(b+c),
则|.
设,λ∈[0,1],
则=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb,
则|
=
=,
则(b+c)·[(1-λ)a+λb]=[(1-λ)·a·b+λb2+(1-λ)a·c+λb·c]=(λ+2),
所以cos<.
令t=λ+2,则t∈[2,3],可得,则.
设g,当时,函数g取得最小值,且最小值为g,
所以,所以,即cos<>的最大值为.故选C.
5.答案　
解析　由题意得DE⊥DC,DA⊥DC,所以∠ADE为二面角A-CD-E的平面角,即∠ADE=60°,
因为,N为对角线DF的中点,所以),
因为M为对角线AC上靠近点A的三等分点,
所以),
所以,
所以,
所以+0=14,所以|,即MN=.
6.解析　(1)因为四棱锥T-ABCD的底面为平行四边形,所以,
故=a+c-b.
(2)μ是定值.
由(1)知,=a+c-b,因为=x,
所以=xa,=(1-x)c,,
则)=a+x(a+c-b-a)=a+xc-xb,=(1-x)a+xc-xb,=-xa+(1-x)c,
设=λb,λ∈R,
又a-b+c,
所以a+b-c,
因为MN∥平面α,QP,QR 平面α,所以存在实数y,z,使得,
故=y(1-x)a+xyc-xyb-xza+(1-x)zc,
所以-a+b-c=y(1-x)a+xyc-xyb-xza+(1-x)zc=(y-xy-xz)a-xyb+(xy+z-xz)c,
故消去y,z并整理,得(4λ+1)x2-(4λ+3)x+2λ+1=0,
易知该方程在x∈R内有解.
当4λ+1=0,即λ=-时,-2x-+1=0,解得x=;
当4λ+1≠0,即λ≠-时,Δ=[-(4λ+3)]2-4(4λ+1)(2λ+1)≥0,解得-≤λ<-或-<λ≤.
综上,-≤λ≤.
所以点M的轨迹为直线TB上长为TB的线段.
故μ为定值,且μ=.
方法总结　解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题,可通过引入基底,应用向量共线定理和空间向量基本定理,将几何问题转化为代数问题.
16.2.2　空间向量的坐标表示
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　空间向量的坐标表示与运算
1.已知a=(1,2,3),a+b=(-1,3,5),则b=(　　)
A.(2,-2,2) B.(-2,1,2)
C.(-2,-1,2) D.(2,-1,2)
2.在空间直角坐标系中,点A(9,8,5)关于xOz平面对称的点的坐标为(　　)
A.(9,8,-5) B.(9,-8,5)
C.(-9,8,5) D.(-9,8,-5)
3.已知空间直角坐标系中,A(4,1,3),B(2,-5,1),点C满足,则点C的坐标为(　　)
A.(3,-2,2) B.(-2,-6,-2)
C.(6,-4,4) D.(0,-11,-1)
4.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(　　)
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
5.(多选题)在空间直角坐标系中,已知某平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1,2,3),(3,4,2),(-1,4,6),则第四个顶点的坐标可能为(　　)
A.(5,2,-1) B.(-3,2,7)
C.(5,2,7) D.(1,6,5)
6.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),若),则点P的坐标为　　　　　;若),则点P的坐标为　　　　.
题组二　空间向量平行(共线)的坐标表示
7.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,则(　　)
A.a=3,b=2 B.a=6,b=-1
C.a=3,b=-3 D.a=-2,b=1
8.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,m),且ka+b与a-2b平行,则k=　　　　.
题组三　空间向量数量积的坐标表示及应用
9.已知a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|=(　　)
A.
10.(多选题)已知a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是(　　)
A.(2a+b)∥a
B.5|a|=|b|
C.a⊥(5a+6b)
D.a与b夹角的余弦值为-
11.若a=(2,3,-1),b=(-1,0,3),c=(0,1,2),则a·(2b-3c)=　　　　;(a+b)·(c+b)=　　　　.
12.在空间直角坐标系O-xyz中,已知=(0,0,2),则的夹角的余弦值为　　　　;上的投影向量为　　　　.
13.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c.
(1)求向量a,b,c的坐标;
(2)求a+c与b+c所成角的余弦值.
题组四　空间直角坐标系的应用
14.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为侧棱CC1的中点,AC∶AA1∶AB∶BC=2∶2∶1∶,则向量所成角的余弦值为(　　)
A.
15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,BC=4,E为AD的中点,则三棱锥A1-CDE的外接球的表面积为(　　)
A.8π　　　　B.24π　　　　C.32π　　　　D.44π
16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,M为AB的中点,N为PD的中点.若PA=4,AB=2,则=　　　　.
17.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD.
(1)证明:;
(2)求cos<>.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　空间向量的坐标运算
1.在空间直角坐标系中,已知a=(1,-2,-1),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.(0,3)
C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
2.在空间直角坐标系O-xyz中,=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
3.在空间直角坐标系O-xyz中,O(0,0,0),E(2,0),B为EF的中点,C为空间中一点,且满足||=3,若cos<,则=(　　)
A.9　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.3
4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;
(2)试判断点P(-3,-3,11)与点A,B,C是否共面,并说明理由.
题组二　空间直角坐标系的应用
5.如图,圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圆周上,且∠CO1E=45°,则上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
6.已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,P是正六棱柱内(不含表面)的一点,则的取值范围是　　　　.
7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,O为BC的中点,M为棱B1C1上的动点,N为棱AM上的动点,且,则线段MN的长度的取值范围为　　　　.
8.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,连接AM,BN,且.
(1)用向量法求AA1的长;
(2)对于n个向量a1,a2,…,an,如果存在不全为零的n个实数λ1,λ2,…,λn,使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0,则称n个向量a1,a2,…,an线性相关,否则称为线性无关.试判断是否线性相关.
答案与分层梯度式解析
6.2.2　空间向量的坐标表示
基础过关练
1.B 2.B 3.A 4.B 5.ABD 7.A 9.B 10.BCD
14.D 15.D
1.B　由题意,得b=(a+b)-a=(-1,3,5)-(1,2,3)=(-2,1,2).故选B.
2.B　点A(9,8,5)关于xOz平面对称的点的坐标为(9,-8,5).故选B.
方法技巧　空间中点的对称规律:关于谁对称谁不变,其余坐标均相反.
3.A　由,可得C为AB的中点,因为A(4,1,3),B(2,-5,1),所以C(3,-2,2),故选A.
4.B　设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
因为向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以所以向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).故选B.
5.ABD　记点A的坐标为(1,2,3),点B的坐标为(3,4,2),点C的坐标为(-1,4,6),设该平行四边形的第四个顶点为D(x,y,z),
易知对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以可分三种情况:
①若AD与BC的中点重合,
则
②若BD与AC的中点重合,
则
③若CD与AB的中点重合,
则
所以第四个顶点的坐标可能为(1,6,5)或(-3,2,7)或(5,2,-1).故选ABD.
6.答案　
解析　由题得=(-4,3,1).
若,则P.
若,
则.
7.A　∵A,B,C三点共线,
∴为共线向量,又=(a-1,-2,b+4),
∴,解得a=3,b=2.
8.答案　-
解析　根据题意,得ka+b=(1-k,k,m),a-2b=(-3,1,-2m).
因为ka+b与a-2b平行,
所以当m=0时,,解得k=-;
当m≠0时,,解得k=-.
综上,k=-.
9.B　由题意得2a-b=(4,2n-1,2),
因为2a-b与b垂直,
所以(2a-b)·b=(4,2n-1,2)·(-2,1,2)=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=,
所以a=,所以|a|=.故选B.
10.BCD　因为2a+b=2(-2,-1,1)+(3,4,5)=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),且,所以2a+b与a不平行,故A中结论错误;
由题知,|a|=,|b|=,所以5|a|=|b|,故B中结论正确;
易得5a+6b=(8,19,35),则a·(5a+6b)=(-2)×8-1×19+1×35=0,所以a⊥(5a+6b),故C中结论正确;
由a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),得cos=,故D中结论正确.
故选BCD.
11.答案　-13;12
解析　因为b=(-1,0,3),c=(0,1,2),所以2b=(-2,0,6),3c=(0,3,6),所以2b-3c=(-2,-3,0),
故a·(2b-3c)=(2,3,-1)·(-2,-3,0)=-4-9+0=-13.
由a=(2,3,-1),b=(-1,0,3),c=(0,1,2),可得a+b=(1,3,2),b+c=(-1,1,5),
故(a+b)·(c+b)=-1+3+10=12.
12.答案　;(1,-1,0)
解析　因为=(0,0,2),所以=(2,-2,0),
所以cos<,
则上的投影向量为|>·=(1,-1,0).
13.解析　(1)易知y≠0,∵a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c,
∴
∴a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1).
(2)由(1)知,a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1),
∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5,
|a+c|=,
|b+c|=,
设a+c与b+c所成的角为θ,
则cos θ=,
故a+c与b+c所成角的余弦值为.
14.D　不妨设AC=AA1=2,AB=1,BC=,则AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC,AB 平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥AB.
以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(1,0,0),D(0,2,1),
所以=(0,2,1),
所以cos<,
故所成角的余弦值为-.故选D.
15.D　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则A1(0,0,2),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,0),
设三棱锥A1-CDE的外接球的球心为O(x,y,z),
则OA1=OC=OD=OE,
由OD=OE,得,解得y=3,
由OC=OD,得,解得x=1,
由OA1=OC,得,即,解得z=3,
所以O(1,3,3),因此三棱锥A1-CDE的外接球的半径为,
故该外接球的表面积为4π·()2=44π.故选D.
16.答案　-8
解析　以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,4),C(2,2,0),所以=(2,2,-4),
因为M为AB的中点,N为PD的中点,
所以M(1,0,0),N(0,1,2),
所以=(-1,1,2),所以=-2+2-8=-8.
17.解析　(1)证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G,
所以=(-2,0,-2),
所以=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,
所以.
(2)由(1)知,=(1,1,-1),
所以|,
所以cos<.
能力提升练
1.D 2.C 3.D 5.B
1.D　因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,且a与b不共线,
又a=(1,-2,-1),b=(-1,x-1,1),所以a·b=1×(-1)-2×(x-1)-1×1=-2x<0,解得x>0,
若a与b共线,则,即x=3,
所以x的取值范围为x>0且x≠3,即x∈(0,3)∪(3,+∞).故选D.
2.C　设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数λ,使得,即(x,y,z)=λ(1,1,2),所以Q(λ,λ,2λ),所以=(2-λ,1-λ,2-2λ),则=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)·(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=时,取得最小值,为-,此时Q.故选C.
3.D　易得B(,0),设C(x,y,z),则,z),
由cos<
=,
得x-y=-①.
由||=3,得,化简,得x+y=②.
联立①②,解得x=,所以,易得,0),所以·(0,2,0)=3.故选D.
4.解析　(1)由已知可得,=(1,-3,2),
∴cos A=cos<,又0故以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为||·||·sin A=.
(2)点P与点A,B,C共面,理由如下:
由题得=(1,-3,2),
假设存在实数λ,μ,使得,
则
∴,即是共面向量,
∴点P与点A,B,C共面.
5.B　连接OO1,则OO1⊥底面圆O,以点O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,
不妨设圆台OO1的高为h,CD=4a,则AB=8a,
故A(0,-4a,0),B(0,4a,0),E(-a,h),
则)a,h),
所以)a2,
所以.故选B.
6.答案　
解析　以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1,
由正六边形的性质可得,A(0,0,0),B(1,0,0),F,所以=(1,0,0),
设P(x,y,z),其中-,
则=(x,y,z),
所以=x,故.
7.答案　
解析　取B1C1的中点Q,连接OQ,OA,易得OQ,OA,OC互相垂直.
以O为坐标原点,OC,OA,OQ所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则O(0,0,0),A(0,),
因为M是棱B1C1上一动点,所以设M(a,0,),且a∈[-1,1],
因为,所以MN=,
令t=,a∈[-1,1],则,t∈[],
又函数y=t-在t∈[]上单调递增,
所以当t=时,,当t=时,,
所以线段MN的长度的取值范围为.
8.解析　(1)以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(4,0,0),B(4,4,0),
设AA1=t(t>0),则M,N(2,2,t),
所以=(-2,-2,t),
由,得=0,即-2×(-2)+4×(-2)+t2=0,解得t=2(负值舍去),
故AA1=2.
(2)由(1)知=(0,-4,0),
设存在实数λ1,λ2,λ3,使得λ1=0成立,
则
即当且仅当λ1=λ2=λ3=0时,λ1=0,
∴线性无关.
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