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6.3 空间向量的应用
知识点 1 直线的方向向量
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
必备知识 清单破
6.3.2 空间线面关系的判定
　　我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量.
　　如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作
n⊥α.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量.
知识点 2 平面的法向量
知识拓展 若平面α的一个法向量为n=(A,B,C),且平面α经过点P(x0,y0,z0),M(x,y,z)是平面α内任 意一点,则平面α可以用关于x,y,z的三元一次方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0表示.
　　设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:
知识点 3 空间线面的平行和垂直关系
平行 垂直
l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2
知识辨析
1.直线的方向向量(或平面的法向量)唯一吗
2.若直线l的方向向量a与平面α内两条相交直线的方向向量垂直,则l⊥α吗
3.若向量n是平面α的一个法向量,表示非零向量m的有向线段所在直线与平面α平行或在平面 α内,则m与n有怎样的关系
4.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则这条直线一定与平面平行吗
一语破的
1.不唯一.若直线的方向向量(或平面的法向量)为a,则ka(k∈R,k≠0)也是该直线的方向向量 (或该平面的法向量).
2.垂直.由线面垂直的判定定理知l⊥α.
3.垂直.m·n=0.
4.不一定.这条直线与平面平行或在平面内.
求平面的法向量的步骤

关键能力 定点破
定点 1 求平面的法向量
典例 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB= AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.

解析 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两互相垂直.
如图,以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),E ,C(1, ,0),
所以 = , =(1, ,0).
设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,
则 即
所以
令y=-1,则x=z= ,
所以平面ACE的一个法向量为n=( ,-1, ).

1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
2.利用空间向量证明线面平行的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
(2)在平面内找到一个用有向线段表示的向量与直线的方向向量是共线向量;
(3)利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示.
3.利用空间向量证明面面平行的方法
(1)证明两个平面的法向量平行;
(2)转化为线面平行、线线平行来证明.
定点 2 利用空间向量证明空间中的平行关系
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:
(1)MN∥平面A1BD;
(2)平面A1BD∥平面CB1D1.

证明 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N ,
∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = .
(1)证法一:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则 即
令x=1,则y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).
∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0,
∴ ⊥n.
又MN 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
证法二:∵ = = (1,0,1)= ,
∴ ∥ .
又MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
(2)设平面CB1D1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则 即
令y1=1,则x1=-1,z1=1,
∴平面CB1D1的一个法向量为m=(-1,1,1),
由(1)知,平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1),
∴m=-n,∴m∥n,
故平面A1BD∥平面CB1D1.

1.证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直.
2.利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)利用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量分别与平面内的两条相交直线的方向向 量垂直;
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
3.利用空间向量证明面面垂直通常有两种途径
(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直来证明;
(2)直接求解两个平面的法向量,由两个平面的法向量垂直,得到面面垂直.
定点 3 利用空间向量证明空间中的垂直关系
典例1 如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1 BD.

证明 如图所示,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为四边形BCC1B1为正方形,
所以BC⊥OO1.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊥BC,
所以AO⊥平面BCC1B1,
所以AO⊥OO1.
所以AO,BC,OO1两两互相垂直.
以O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0),
所以 =(1,2,- ), =(-1,2, ), =(-2,1,0).
证法一:因为 · =1×(-1)+2×2+(- )× =0, · =1×(-2)+2×1+(- )×0=0,
所以 ⊥ , ⊥ ,
即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
又BA1∩BD=B,BA1,BD 平面A1BD,
所以AB1⊥平面A1BD.
证法二:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则 即
令x=1,则y=2,z=- ,
故n=(1,2,- )为平面A1BD的一个法向量,
又 =(1,2,- ),
所以 ∥n,故AB1⊥平面A1BD.
典例2 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中 点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.

证明 设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),S(0,0,1),E .
证法一:连接AC,交BD于点O,则O ,连接OE.
易知 =(0,0,1), = ,
∴ = ,
∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD,∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.
证法二:设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z).
易知 =(-1,1,0), = ,
由 得
令x=1,则y=1,z=0,
∴平面BDE的一个法向量为n=(1,1,0).
∵AS⊥底面ABCD,
∴平面ABCD的一个法向量为 =(0,0,1).
∵n· =0,∴n⊥ ,
∴平面BDE⊥平面ABCD.
　
1.空间向量适用于解决立体几何中的探索性问题,无须进行复杂的作图、推理、论证,只需建 立适当的空间直角坐标系,写出相关向量的坐标,通过坐标运算解决问题.
2.用向量法解决与平行、垂直有关的探索性问题的步骤
(1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表 示出来.
(2)假设所求的点或参数存在,用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的平行或垂直 关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合限定的范围,则存在,否则不存在.
定点 4 利用空间向量解决探索性问题
典例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1的中点,建立适当的空间直角坐标系.
(1)求平面AMC的一个法向量;
(2)在棱CC1(包含端点)上是否存在点E,使BE∥平面ACM 给出你的结论,并证明;
(3)在棱A1B1(包含端点)上是否存在点F,使BF∥平面ACM 给出你的结论,并证明.

解析 不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),M ,
所以 =(-1,1,0), = .
(1)设平面ACM的一个法向量为n=(x0,y0,z0),则
令x0=2,则y0=2,z0=1,所以平面ACM的一个法向量为n=(2,2,1).
(2)在棱CC1(包含端点)上不存在点E,使BE∥平面ACM.证明如下:
证法一:设E(0,1,t)(0≤t≤1),
因为B(1,1,0),所以 =(-1,0,t),
由(1)知,平面ACM的一个法向量为n=(2,2,1),
若在棱CC1(包含端点)上存在点E,使BE∥平面ACM,
则 ·n=0,即-2+t=0,解得t=2,这与0≤t≤1矛盾,
所以在棱CC1(包含端点)上不存在点E,使BE∥平面ACM.
证法二:设E(0,1,a)(0≤a≤1),
因为B(1,1,0),所以 =(-1,0,a),
若在棱CC1(包含端点)上存在点E,使BE∥平面ACM,
则存在有序实数x,y满足 =x +y ,
所以(-1,0,a)= ,
所以 解得
故a=2与0≤a≤1矛盾,
所以在棱CC1(包含端点)上不存在点E,使BE∥平面ACM.
(3)当F为棱A1B1的中点时,BF∥平面ACM.证明如下:
证法一:设F(1,m,1)(0≤m≤1),
因为B(1,1,0),所以 =(0,m-1,1),
由(1)知,平面ACM的一个法向量为n=(2,2,1),
若在棱A1B1(包含端点)上存在点F,使BF∥平面ACM,
则 ·n=0,
所以2(m-1)+1=0,
解得m= ,满足0≤m≤1,
所以当F为棱A1B1的中点时,BF∥平面ACM.
证法二:设F(1,b,1)(0≤b≤1),
因为B(1,1,0),所以 =(0,b-1,1),
若在棱A1B1(包含端点)上存在点F,使BF∥平面ACM,
则存在有序实数x',y'满足 =x' +y' ,
所以(0,b-1,1)= ,
所以 解得
所以当F为棱A1B1的中点时,BF∥平面ACM.
典例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是 AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内是否存在点G,使GF⊥平面PBC 若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明 理由.

解析 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐 标系,

设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E ,P(0,0,a),F .
(1)证明:易得 = , =(0,a,0),
∵ · =0,
∴ ⊥ ,即EF⊥CD.
(2)存在.∵G∈平面PAD,∴设G(x,0,z),
又F ,
∴ = .
由(1)知 =(a,0,0), =(0,-a,a).
∵GF⊥平面PBC,
∴ · = ·(a,0,0)=a =0,
· = ·(0,-a,a)= +a =0,
∴x= ,z=0,
∴G ,故当G为AD的中点时,GF⊥平面PBC.6.3　空间向量的应用
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量　　
6.3.2　空间线面关系的判定
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线的方向向量与平面的法向量
1.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则(　　)
A.
B.
C.直线AB的一个方向向量是(-2,-1,0)
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
2.在空间直角坐标系O-xyz中,经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.若平面α的方程为x+2y+z-1=0,则平面α的一个法向量为　　　　.
3.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为　　　　.
题组二　利用空间向量解决空间中的平行关系
4.(教材习题改编)已知直线l的方向向量为m=,平面α的法向量为n=(-3,x,2),且l∥α,则实数x等于(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.-2　　　　D.-1
5.(多选题)已知平面α与平面β平行,若平面α的一个法向量为n=(-1,2,-3),则平面β的法向量可以是(　　)
A.(1,-2,3) B.(-1,-2,3)
C.(2,-4,6) D.(2,-4,-6)
6.若a=是平面α的一个法向量,且向量b=(-1,2,1),c=与平面α都平行,则向量a=　　　　.
题组三　利用空间向量解决空间中的垂直关系
7.(教材习题改编)已知平面α的一个法向量为m=(2,3,-1),平面β的一个法向量为n=(4,k,2),若α⊥β,则k=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.6　　　　D.-6
8.(多选题)如图,在五面体ABCDFE中,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD与四边形ABEF全等,且AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,CD=1,则下列说法正确的是(　　)
A.AD⊥BE
B.若G为棱CE的中点,则DF⊥平面ABG
C.若AD=CD,则平面ADE⊥平面BDE
D.若AE=,则平面ADE⊥平面BCE
9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.求证:BN⊥平面C1MN.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用空间向量解决空间中的位置关系
1.下列命题正确的是(　　)
A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(1,2,1),则l⊥m
B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.两个不同的平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β
D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量b=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则t=1
2.如图,在正三棱锥D-ABC中,AB=,DA=2,O为底面ABC的中心,点P在线段DO上,且(0≤λ≤1),若PA⊥平面PBC,则实数λ=(　　)
A. B.-
C. D.
3.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,下列结论正确的是(　　)
A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R
D.当A1C=3A1R时,D1R∥平面BDC1
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面ADD1A1内(包含边界)一点,若PC1∥平面AEF,则点P的轨迹长度为　　　　.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在线段CC1上,且,点P在平面A1B1C1D1上,且AP⊥平面MBD1,则线段AP的长度为　　　　.
6.在棱长为9的正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别在棱AB,DD'上,满足=2,P是直线DD'上一点,且PB∥平面CEF,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为　　　　.
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D为BC的中点.求证:
(1)A1B∥平面ADC1;
(2)平面ADC1⊥平面BB1C1C.
题组二　利用空间向量解决探索性问题
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别为AC,B1C1的中点.
(1)求证:MN∥平面ABB1A1;
(2)在线段CC1上是否存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).
(1)是否存在点E,使得PC⊥平面BDE
(2)是否存在点E,使得平面PCD⊥平面AED
答案与分层梯度式解析
6.3　空间向量的应用
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
6.3.2　空间线面关系的判定
基础过关练
1.ACD 4.C 5.AC 7.A 8.ABC
1.ACD　由A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),得=(-3,1,1).
对于A,因为=-2+2+0=0,所以,故A正确;
对于B,cos<,故B错误;
对于C,因为(-2,-1,0)=-,所以向量(-2,-1,0)与平行,
所以直线AB的一个方向向量是(-2,-1,0),故C正确;
对于D,设n=(1,-2,5),则n·=2-2+0=0,n·=-1-4+5=0,所以n⊥,n⊥,又AC∩AB=A,AC,AB 平面ABC,所以n⊥平面ABC,即n=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,故D正确.
故选ACD.
2.答案　(1,2,1)(答案不唯一)
解析　x+2y+z-1=0可化为1×(x-0)+2(y-0)+1×(z-1)=0,所以由题意可得平面α的一个法向量为(1,2,1).(答案不唯一)
3.答案　(0,1,1)(答案不唯一)
解析　设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),故=(0,1,-1),
设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z),
则则x=0,令y=1,得z=1,
则m=(0,1,1),
所以m=(0,1,1)是平面ACD的一个法向量.(答案不唯一)
4.C　因为l∥α,所以m⊥n,所以m·n=0,即3+2x+1=0,解得x=-2.故选C.
5.AC　因为平面α与平面β平行,所以平面α的法向量与平面β的法向量平行.
对于A,若(1,-2,3)=λ(-1,2,-3),则解得λ=-1,故A正确;
对于B,若(-1,-2,3)=λ(-1,2,-3),则无解,故B错误;
对于C,若(2,-4,6)=λ(-1,2,-3),则解得λ=-2,故C正确;
对于D,若(2,-4,-6)=λ(-1,2,-3),则无解,故D错误.
故选AC.
6.答案　
解析　由题意得
所以
所以a=.
7.A　因为α⊥β,所以m⊥n,所以m·n=8+3k-2=0,解得k=-2.故选A.
8.ABC　因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD 平面ABCD,AB⊥AD,所以AD⊥平面ABEF,又BE 平面ABEF,所以AD⊥BE,故A正确.
若CE的中点为G,连接AG,BG.依题意知,AF,AB,AD互相垂直,故以A为原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AD=AF=a,则A(0,0,0),D(0,a,0),B(2,0,0),F(0,0,a),G,所以.
因为=0,
所以,即DF⊥AB,DF⊥AG,
又AB∩AG=A,AB,AG 平面ABG,
所以DF⊥平面ABG,故B正确.
若AD=CD=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),B(2,0,0),E(1,0,1),所以=(-1,0,1),
设平面ADE的一个法向量为m1=(x1,y1,z1),
则
令x1=1,得m1=(1,0,-1).
设平面BDE的一个法向量为n1=(a1,b1,c1),
则
令a1=1,则b1=2,c1=1,所以n1=(1,2,1),
因为m1·n1=0,所以m1⊥n1,
所以平面ADE⊥平面BDE,故C正确.
若AE=,则AF=,则A(0,0,0),D(0,,0),所以),
设平面ADE的一个法向量为m2=(x2,y2,z2),
则
则y2=0,令z2=-1,得x2=,则m2=(,0,-1).
设平面BCE的一个法向量为n2=(a2,b2,c2),
则
令b2=1,得a2=,c2=1,则n2=(,1,1),
因为m2·n2=2+0-1=1,所以m2与n2不垂直,
故平面ADE⊥平面BCE不成立,故D错误.
故选ABC.
9.证明　以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示:
则B(0,1,0),C1(0,0,2),M,N(1,0,1).
证法一:=(1,-1,1).
设平面C1MN的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1),
∴∥n,∴BN⊥平面C1MN.
证法二:=(1,-1,1),
∴=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0,
∴,即C1M⊥BN,C1N⊥BN,
又C1M∩C1N=C1,C1M 平面C1MN,C1N 平面C1MN,∴BN⊥平面C1MN.
方法总结　利用空间向量的方法证明线面位置关系时,可应用线面位置关系的判定定理进行证明,也可用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系进行证明.
能力提升练
1.C 2.D 3.ABD
1.C　对于A,因为a·b=1-2+2=1≠0,所以a与b不垂直,所以l与m不垂直,故A错误;
对于B,因为a·n=0-1+1=0,所以a⊥n,所以l∥α或l α,故B错误;
对于C,由题知,n2=-2n1,所以n1∥n2,所以α∥β,故C正确;
对于D,易得=(-2,2,1),因为b=(1,u,t)是平面α的一个法向量,
所以故D错误.
故选C.
2.D　以O为坐标原点,OD所在直线为z轴,过点O且平行于BC的直线为x轴,过点O且垂直于BC的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B),所以,0,0),由可得P(0,0,λ),
所以,
设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z),
则
则x=0,令z=1,得y=2λ,则m=(0,2λ,1),
又PA⊥平面PBC,所以=km且k为实数,
则故λ=.故选D.
3.ABD　如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0).
设P(2,a,0),Q(2,2,b),a∈[0,2],b∈[0,2],
则=4-2b,当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确;
设,λ∈[0,1],可得R(2-2λ,2λ,2-2λ),则=2(2-2λ)-2λb,取λ=,此时D1R⊥CQ,故B正确;
当AR⊥A1C时,λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=,
此时≠0,故C错误;
当A1C=3A1R时,λ=,则R,易知,2),设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),
则取y=-1,得x=,∴n=(),故·n=0,又D1R 平面BDC1,∴D1R∥平面BDC1,故D正确.
故选ABD.
4.答案　
解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,分别取AA1,A1D1的中点M,N,连接MN,MC1,NC1,
则M,A(1,0,0),
所以,
故,即MN∥EF,
又MN 平面AEF,EF 平面AEF,
所以MN∥平面AEF,同理可得NC1∥平面AEF,
又MN∩NC1=N,MN,NC1 平面MNC1,
所以平面MNC1∥平面AEF,
因为P是侧面ADD1A1内(包含边界)一点,PC1∥平面AEF,
所以点P必在线段MN上,即点P的轨迹为线段MN,
所以点P的轨迹长度为|.
5.答案　
解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),所以=(-1,-1,1),
因为,所以M是线段CC1上靠近点C的三等分点,故M,所以,
由点P在平面A1B1C1D1上,可设P(x,y,1)(0≤x≤1,0≤y≤1),则=(x-1,y,1),
由AP⊥平面MBD1,得
解得,
则|.
6.答案　178π
解析　以D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),由已知得E(9,6,0),C(0,9,0),F(0,0,3),B(9,9,0),设P(0,0,t),所以=(9,9,-t).设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,z),则不妨令z=3,则y=1,x=,所以n=.因为PB∥平面CEF,所以·n=0,即×9+1×9-3t=0,解得t=4,所以P(0,0,4).因为PD⊥平面ABCD,且底面ABCD是正方形,所以四棱锥P-ABCD的外接球的直径就是PB,由=(9,9,-4),得|,所以其外接球的表面积S=4π=178π.
7.证明　(1)由题知,A1B1,A1C1,A1A互相垂直,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
设AB=AC=AA1=2,则A1(0,0,0),B(2,0,2),A(0,0,2),C(0,2,2),D(1,1,2),C1(0,2,0),
∴=(0,2,-2),
设平面ADC1的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=-1,z=-1,则n=(1,-1,-1),
∵n·=2+0-2=0,且A1B 平面ADC1,
∴A1B∥平面ADC1.
(2)由(1)知,=(-1,1,-2),
设平面BB1C1C的一个法向量为m=(a,b,c),
则
令a=1,得b=1,c=0,则m=(1,1,0),
由(1)知,平面ADC1的一个法向量为n=(1,-1,-1),
∵n·m=1-1+0=0,∴n⊥m,
∴平面ADC1⊥平面BB1C1C.
8.解析　(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥CC1,BC⊥CC1,AC⊥BC,所以CB,CC1,CA两两垂直,
故以C为原点,CB,CC1,CA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
设AC=2,则M(0,0,1),A(0,0,2),B(2,0,0),N(1,2,0),B1(2,2,0),
所以=(2,2,-2),
设平面ABB1A1的一个法向量是n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=0,z=1,则n=(1,0,1),
故·n=1+0-1=0,即⊥n,
又MN 平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.
(2)假设在线段CC1上存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ,
由(1)知,=(1,2,-1),
设CQ=y0,0≤y0≤2,则Q(0,y0,0),
所以=(0,y0,-1),
设平面MNQ的一个法向量是m=(a,b,c),
则
令b=1,得a=y0-2,c=y0,则m=(y0-2,1,y0),
由A1B⊥平面MNQ,得A1B∥m,即存在实数λ,满足m=λ,即(y0-2,1,y0)=λ(2,-2,-2),
即
因此CQ=1,即Q是CC1的中点,
所以在线段CC1上存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ,此时.
方法总结　利用向量解决位置关系的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
9.解析　∵底面ABCD为正方形,
∴AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,
∴以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c).
(1)=(a,0,-c),
设,0<λ<1,
则=λ(a,a,-c)-(a,0,-c)=(λa-a,λa,c-λc).
设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=1,z=,∴n=.
若PC⊥平面BDE,则∥n,
∴,解得λ=,
易知0<<1,
故存在点E,使得PC⊥平面BDE.
(2)=(0,0,-c),设平面PCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
则x1=0,令y1=c,得z1=a,∴n1=(0,c,a).
设=μ ,0<μ<1,
则=(μa,μa,c-μc),
易知=(0,a,0).
设平面AED的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
则y2=0,令x2=-c,得z2=,
∴n2=.
若平面PCD⊥平面AED,
则n1·n2=0,即=0,此方程无解,
∴不存在点E,使得n1⊥n2,
即不存在点E,使得平面PCD⊥平面AED.
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