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四川省成都市天府新区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025七下·成都期末） 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.利用轴对称图形的概念逐一进行判断.
2．（2025七下·成都期末） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ；
D、 ；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项法则可对A、D进行判断；利用同底数幂的乘法法则可对B进行判断；利用积的乘方法则可对C进行判断.
3．（2025七下·成都期末） 月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为厘米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示大于0小于1的数时，形式为，(，n 是正整数，等于原数中第一个非零数字前所有零的个数).利用科学记数法对对各选项逐一判断即可.
4．（2025七下·成都期末） 下列说法正确的是（　　）
A．“购买一张彩票就中奖”是不可能事件
B．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是必然事件
C．“投掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上”是不可能事件
D．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意；
B、是随机事件，故B不符合题意；
C、是随机事件，故C不符合题意；
D、是必然事件，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件对各选项逐一进行判断.
5．（2025七下·成都期末） 如图，，于点H，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠C=180°-∠B=180°-116°=64°，
∵
∴∠CHD=90°
∴在Rt△CHD中，∠D=90°-∠CHD=90°-64°=26°
故选：A.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补可推出∠C的度数，再利用直角三角形的两锐角互余可推出∠D的度数.
6．（2025七下·成都期末） 如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴，即BC=EF，
在
，
∴（SAS），故A不符合题意；
B、在，
，
∴（ASA），故B不符合题意；
C、不能判定 ，故C符合题意；
D、∵
∴∠ACB=∠DFE
在
，
∴（AAS），故D不符合题意.
故选：C.
【分析】利用SAS证三角形全等可对A、C进行判断；利用ASA证三角形全等可对B进行判断；利用AAS证三角形全等可对D进行判断.
7．（2025七下·成都期末） 如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-60°=50°，
又∵平分，
∴∠ECF==，
∵为边上的高
∴∠FEC=90°，
∴在Rt△FEC中，∠CFE=90°-∠ECF=90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和可得∠ACB的度数，再利用角平分线的概念得∠ECF的度数，再利用三角形高的定义得∠FEC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余可得的度数 .
8．（2025七下·成都期末） 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为，点P在运动过程中S与t之间的关系如图2所示，则当点P到达终点C时，点P的运动时间是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图可知AB=2×3=6（cm），S△ABC=24 ，
∴S长方形 ABCD=2S△ABC=2×24=48，
又∵S长方形 ABCD=AB×BC，
∴6BC=48，
∴BC=8，
∴tBC=，
∴ 点P到达终点C时， 点P的运动时间：（s）.
故答案为：C.
【分析】观察图可得AB的长度、△ABC的面积；可推出长方形的面积，进一步可求BC的长度，即可推出 点P到达终点C时， 点P的运动时间 .
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025七下·成都期末） 计算：　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】利用单项式×多项式法则计算即可.
10．（2025七下·成都期末） 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系可知：，
即，
又∵ 三角形的三边长度均为整数，
∴第三边的最大值是6.
故答案为：6.
【分析】利用三角形三边关系分析求解即可.
11．（2025七下·成都期末） 在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为　 　．
【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设白球的个数为x，由题意得：
，
解得：x=8，
经检验，x=8是该分式方程的解.
∴ 白球的个数为 8.
故答案为：8，
【分析】利用概率计算公式计算即可.
12．（2025七下·成都期末） 如图，将一张长方形纸条沿折叠，已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得AC∥BD，
由折叠可知∠BAC=∠1=50°，
∵AC∥BD
∴∠2=∠DAC=∠1+∠BAC=50°+50°=100°.
故答案为：100°.
【分析】由折叠可推出∠BAC的度数，再利用两直线平行，内错角相等即可求出∠2的度数.
13．（2025七下·成都期末） 如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由作图可知CE⊥BD，CE 平分BD，
∴∠BFC=90°，BF=DF，
∵ 在中， ，，
∴∠B=180°-∠ACB-∠A=60°，
∴∠BCF=180°-∠B-∠BFC=30°，
∴BF==，
∴DF=BF=2.
故答案为：2.
【分析】先根据作图痕迹推出CE垂直平分BD，可得BF与DF相等，再利用三角形的内角和可推出∠B、∠BCF的度数，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得BF的长度，即可求出DF的长.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025七下·成都期末） 计算
（1）
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1）解：
=5-1-1+4
=7.
（2）解：
=
=
=，
把， 代入上式得：
2a+b=2×+3=2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先分别计算绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减计算即可.
（2）先利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则化简原式，再把a、b的值代入化简后的式子计算即可.
15．（2025七下·成都期末） 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题．
（1）作关于直线的轴对称图形；
（2）在上画出点P，使得的和最小：
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：点P如图所示，
（3）解：S△ABC =3×4-
=12-3-2-1.5
=5.5.
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)先分别确定 A1、B1、C1的位置，再连线即可；
（2）先作点A2与A关于直线MN对称，连接BA2，BA2与MN交点即为所求作的点P；
（3）利用“割补法”求不规则图形的面积.
16．（2025七下·成都期末） 某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
【答案】解：由题意得 ∥AB，
又∵ ，
∴∥
∴ +∠=180°，∠ECA+∠CAB=180°，
∵ ，
∴∠CAB=90°，
∴∠ECA=180°-∠CAB=90°，
又∵ ，
∴∠=，
∴=180°-∠=180°-55°=125°.
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【分析】由平行线的传递性可得∥，利用平行线的性质可得 和∠、∠ECA和∠CAB的关系，然后结合垂直的定义可推出∠的度数，即可求出的度数．
17．（2025七下·成都期末） 随着科技的发展，无人机被广泛使用到实际生活中．为精准预测作业时间，提高整体运营效率，某偏远地区使用无人机配送物资，已知无人机从基地出发，飞行过程中，剩余电量y（毫安时）与飞行时间x（分钟）的变化情况如下表：
飞行时间x（分钟） 0 10 20 30 …
剩余电量y（毫安时） 6000 5000 4000 3000 …
（1）根据表格中的数据，请直接写出y与x的关系式．（不要求写出自变量的范围）
（2）若基地距离配送目的地需要飞行45分钟，问无人机是否能在电量耗尽前到达？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若要保证无人机能往返（假设往返时间相同），则无人机出发时电量至少需要多少毫安时？
【答案】（1）解：
（2）解：无人机是否能在电量耗尽前到达，理由如下：
令y=0，则，
解得x=60，
∵45＜60，
∴无人机是否能在电量耗尽前到达.
（3）解：由 可知，无人机每分钟耗电：100 毫安时 ，
∴在（2）的条件下，要保证无人机能往返，需要：45×2×100=9000（毫安时）
∴ 无人机出发时电量至少需要9000毫安时.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，然后代入两组x，y的值，即可求出y与x的关系式；
(2)把y=0代入解析式，计算出x的值，再和45作比较即可判断；
(3)由解析式可推出无人机每分钟的耗电量，再计算无人机往返需要的总耗电量即可.
18．（2025七下·成都期末） 在中，．
（1）当时，
①如图1，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E．若，求的长；
②如图2，为的角平分线，在边上取一点G，使得，求的度数；
（2）如图3，作于点H，平分，交于点M，点N在边上，连接，若，，试探究与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解： ①如图1，连接BD，
∵ DE垂直平分AB
∴AD=BD，
∴∠DBE=，
又∵，
∴∠DBC=，
∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠DBC=180°-60°-60°=60°，
∴∠DBC=∠C=∠CDB，
∴△CDB是等边三角形，
又∵BC=3，
∴CD=BD=BC=3
∴AD=BD=3，
∴AC=AD+CD=3+3=6；
②如图，在AC上取点I，使AI=AG，连接IF，
∵为的角平分线 ，
∴∠IAF=∠GAF，
在△ALI和△ALG中，
，
∴△ALI≌△ALG（SAS），
∴IF=GF，∠AIF=∠AGF，
又∵，
∴IF=CF，
∴∠CIF-∠C，
∵， ，
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴∠CIF=∠C=60°，
∴∠AIF=180°-∠CIF=180°-60°=120°，
∴∠AGF=∠AIF=120°，
∴∠FGB=180°-∠AGF=180°-120°=60°
又∵ ，
∴∠CFG=∠ABC+∠FGB=90°+60°=150°.
（2）解：，理由如下：
如图3，在AH上截取HP=CH，连接MP，
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵，
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴∠CAB=2∠CAM，
∴∠ACM=2∠CAM，
∵，HP=CH
∴PM=CM，
∴∠ACM=∠CPM，
∴∠CPM=2∠CAM，
∴∠CAM+∠AMP=2∠CAM，
∴∠CAM=∠AMP，
∴AP=PM，
∴CH+CM=PH+AP=AN.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1) ①如图1，连接BD，利用垂直平分线的性质证AD=BD，可推出∠DBE的度数，进一步可求出∠DBC、∠C、∠CDB的度数，然后判定△CDB的形状，再根据等边三角形的定义可推出CD、AD的长，即可计算出AC；
② 如图，在AC上取点I，使AI=AG，连接IF，先利用SAS证ALI≌△ALG，可得IF=GF，∠AIF=∠AGF，进一步得IF=CF，再利用三角形的内角和计算出∠C，可依次计算出∠CIF、∠AGF、∠FGB、最后利用三角形的外角计算方法可得∠CFG的度数；
（2）在AH上截取HP=CH，连接MP，可推出PM=CM，从而∠ACM=∠CPM，可推出∠CAB=∠ACM，进一步可得∠ACM=2∠CAM，然后推出∠ACM=∠CPM，从而AP=PM，即可求证CH+CM=PH+AP=AN.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025七下·成都期末） 如果，则　 　．
【答案】2
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴3x-1=5，
解得：x=2.
故答案为：2.
【分析】先将方程两边的数改写成底数相同的幂的形式，利用同底数幂的乘、除法计算法则计算即可.
20．（2025七下·成都期末） 若规定符号的意义是：，则当时，的值为　 　．
【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： =m(m-2)-m(4-m)=m2-2m-4m+m2=2m2-6m=2(m2-3m)，
∵，
∴，
∴ =2(m2-3m)=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】先根据题意把改写并化简整理，再利用 计算出 的值，再整体代入求值即可.
21．（2025七下·成都期末） 如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵为的中线，
∴AD=ED，
∵ ，
∴∠DAC=∠DEB，∠DCA=∠DBE，
在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（AAS），
∴AC=BE，
∵，∠BFE=∠DEB，
∴AC=BF，
∵，，
∴BF=BG-FG==AC，
∵∠BFE=∠AFG，∠BFE=∠DEB，∠DAC=∠DEB，
∴∠GAF=∠AFG，
∴AG=，
∴CG=AC-AG=.
【分析】先证△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可得AC=BE，进一步可推出AC=BF，然后计算出AC的长度；再利用∠BFE、∠DEB、∠AFG、∠GAF之间的关系推出AG的长度，即可得 线段的长度 .
22．（2025七下·成都期末） 在程序设计语言C语言中，对于正整数m，n，则等于m除以n的余数，例如：，，令，则的值为　 　；令，则的值为　 　．
【答案】21；10
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵，
∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，
∵1+2+3+4+5+6=21，
∴ =21，
∵，
∴bk的值仅与k的个位数有关，每10个为一个循环，
∴b1=0，b2=2，b3=6，b4=2，b5=0，b6=0，b7=2，b8=-4，b9=-8，b10=0，
∴，
∵2025=202×10+5，
∴ =202×0+0+2+6+2+0=10.
故答案为：21；10.
【分析】理解新运算，并分析其规律即可.
23．（2025七下·成都期末） 如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC于点M，连接AG交BM于点N，连接NC，
∵，
∴∠CAD=90°，
又∵，
∴∠DCA=，
∴AD=AC=3，
∵，
∴∠CEF=，
∵，BM⊥AC，
∴BM垂直平分AC，CM=AM=，CN=AN，
∵四边形的面积为12，
∴，
即，
解得：BM=5，
∵ 将绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴△CEF≌△ACG（SAS），
∴，
∵CN=AN，
∴，
∴，
∠CNA=180°-∠CAG-∠NCA=90°，
∴CN⊥AN，
MN=CN=AM=，
BN=BM-MN=5-=，
S△BCN= 12CM·BN=12×32×72=218 ，
∵∠CAG=45°固定不变，
∴点G的运动轨迹为固定直线AN，当取得最小值时，CG⊥AN，
即当点G与点N重合时，CG=CN最小，
此时S△BCG=S△BCN= 218 ，
故答案为：218 .
【分析】过点B作BM⊥AC于点M，连接AG交BM于点N，连接NC，由， 可得∠DCA=，AD=AC=3，再由 四边形的面积 推出BM的长，然后由旋转可得，可证△CEF≌△ACG（SAS），推出，可确定点G的运动轨迹为固定直线AN，当取得最小值时，CG⊥AN，再证明当点G与点N重合时，CG=CN最小，即可推出的面积.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
25．（2025七下·成都期末） 通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示．
（1）乙机器人分拣包裹的速度是　 　个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差　 　个．
（2）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间．
（3）求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间．
【答案】（1）60；600
（2）解： 降速前甲机器人的分拣速度为：=80（个/分 ），
∴ 降速后甲机器人的分拣速度为：80× =40（个/分 ），
设x分钟时， 甲和乙机器人分拣的包裹数量相同 ，由题意得：
960+40（x-12）=60（x-6），
解得：x=42，
答： 42分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相同.
（3）解：设 分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的时间为x分钟，
当时，由题意得，解得，持续时间为：2.5分钟；
当时，由于甲的分拣速度大于乙的分拣速度，此时两机器人分拣数量差一定超过200个；
当时，由题意得，解得，持续时间为10分钟；
当时，由题意得，解得，持续时间为10分钟；
当时，由题意得，解得，持续时间为5分钟；
∴ 整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间 ：2.5+10+10+5=27.5（分钟）.
分钟
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：V乙=（ 个/分 ），
12分钟时， 甲机器人分拣的包裹数量为：960个，
乙机器人分拣的包裹数量为： 60×（12-6）=360（个），
∴ 甲和乙机器人分拣的包裹数量相差 ：960-360=600（个）；
【分析】（1）观察可得 乙机器人分拣包裹的速度，进而可计算出12分钟时乙机器人分拣的包裹数量，再观察得出12分钟时， 甲机器人分拣的包裹数量，作差即可；
(2)先求出降速前甲机器人的分拣速度，可推出降速后甲机器人的分拣速度，再设x分钟时， 甲和乙机器人分拣的包裹数量相同，列出方程求解即可；
（3）分，，和四种情况，分别求出分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的时间范围，再求和即可得出答案.
26．（2025七下·成都期末） 已知，在中，，，，均为的高，点F是射线上一点，且，直线，交于点G．
（1）【初步感知】
如图1，当时，试说明；
（2）【深入探究】
如图2，当时，连接，试探究与的数量关系；
（3）【拓展延伸】
连接，若，的面积为m，求．面积（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵BD、CE均为△ABC的高，
∴∠BDC=∠BDA=∠CEA=90°，
又∵，
∴∠ACB=∠DBC=45°，
∴BD=CD，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠ABF-∠DBC=∠AFB-∠ACB，
即∠ABD=∠CAF.
（2）解：由（1）得∠ABD=∠CAF，
如图，在BD上取一点H，使AC=BH，连接AH，
∵，
∴∠ACF=180°-∠ACB=135°，
∵AB=AF，∠ABD=∠CAF，
∴△ACF≌△BHA（SAS），
∴AH=CF，∠BHA=∠ACF=135°，
∴∠DHA=180°-∠BHA=45°，
∵∠BDC=90°，
∴∠DHA=∠DAH=45°，
∴DA=DH，
∵∠ABD=∠CAF，∠BDC=∠CDG=90°，BD=CD，
∴△ABD≌△GCD（AAS），
∴DA=DG，
∴DA=DG=DH，
∴DA垂直平分GH，
∴AG=AH，
∴AG=AH=CF，即AG=CF.
（3）解：连接AG，直线AG交BC于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵BD，CE均为△ABC的高，
∴AG⊥BC，
当∠BAC＞90°时，如图
由（2）可得DA=DG=DH，
设DA=DG=DH=a，则AG=AH=CF=，
∵BG=10，
∴AC=BH=BG-DH-DG=10-2a，
CD=BD=BG-DG=10-a，
∴BC==，
∵DM⊥BC，∠ACB=∠DBC=45°，
DM=
∴S△BDF=，
整理得，，
∵， AG⊥BC，
∴∠ACB=∠NAC=45°，
∴AN=CN，
AC=10-2a=，
AN=，
S△ACF=
当∠BAC＜90°时，如图
同理可得DA=BG=DH=a，则AG=AH=CF=，
∵BG=10，
∴AC=BH=BG+DH+DG=10+2a，
CD=BD=BG+DG=10+a，
∴BC==，
∵DM⊥BC，∠ACB=∠DBC=45°，
DM=
∴S△BDF=，
整理得，，
∵， AG⊥BC，
∴∠ACB=∠NAC=45°，
∴AN=CN，
AC=10+2a=，
∴AN=，
S△ACF=
当∠BAC=90°时，D、E、G、A四点重合，C与F重合，此时△ACF不存在，
综上所述，当时，；
当时，.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的高推出∠BDC=∠BDA=∠CEA=90°，再结合，得∠ABF=∠AFB，再利用AB=AF推出∠ABF=∠AFB，最后结合三角形的外角定理即可说明；
（2）在BD上取一点H，使AC=BH，连接AH，先计算∠ACF的度数，先证明△ACF≌△BHA（SAS），得AH=CF，∠BHA=∠ACF=135°，再证明△ABD≌△GCD（AAS）得DA=DG=DH，则可证AG=CF；
(3)连接AG，直线AG交BC于点N，过点D作DM⊥BC于点M，则AG⊥BC，再根据∠BAC＞90°和∠BAC＜90°分情况讨论，设DA=BG=DH=a，则AG=AH=CF=，表示出AC和BC的长，再根据S△BDF=，得到m与a的关系，再根据S△ACF=计算面积即可.
1 / 1四川省成都市天府新区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025七下·成都期末） 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·成都期末） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·成都期末） 月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为厘米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·成都期末） 下列说法正确的是（　　）
A．“购买一张彩票就中奖”是不可能事件
B．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是必然事件
C．“投掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上”是不可能事件
D．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件
5．（2025七下·成都期末） 如图，，于点H，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·成都期末） 如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·成都期末） 如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·成都期末） 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为，点P在运动过程中S与t之间的关系如图2所示，则当点P到达终点C时，点P的运动时间是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025七下·成都期末） 计算：　 　．
10．（2025七下·成都期末） 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为　 　．
11．（2025七下·成都期末） 在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为　 　．
12．（2025七下·成都期末） 如图，将一张长方形纸条沿折叠，已知，则的度数为　 　．
13．（2025七下·成都期末） 如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025七下·成都期末） 计算
（1）
（2）先化简，再求值：，其中，
15．（2025七下·成都期末） 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题．
（1）作关于直线的轴对称图形；
（2）在上画出点P，使得的和最小：
（3）求的面积．
16．（2025七下·成都期末） 某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
17．（2025七下·成都期末） 随着科技的发展，无人机被广泛使用到实际生活中．为精准预测作业时间，提高整体运营效率，某偏远地区使用无人机配送物资，已知无人机从基地出发，飞行过程中，剩余电量y（毫安时）与飞行时间x（分钟）的变化情况如下表：
飞行时间x（分钟） 0 10 20 30 …
剩余电量y（毫安时） 6000 5000 4000 3000 …
（1）根据表格中的数据，请直接写出y与x的关系式．（不要求写出自变量的范围）
（2）若基地距离配送目的地需要飞行45分钟，问无人机是否能在电量耗尽前到达？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若要保证无人机能往返（假设往返时间相同），则无人机出发时电量至少需要多少毫安时？
18．（2025七下·成都期末） 在中，．
（1）当时，
①如图1，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E．若，求的长；
②如图2，为的角平分线，在边上取一点G，使得，求的度数；
（2）如图3，作于点H，平分，交于点M，点N在边上，连接，若，，试探究与的数量关系并说明理由．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025七下·成都期末） 如果，则　 　．
20．（2025七下·成都期末） 若规定符号的意义是：，则当时，的值为　 　．
21．（2025七下·成都期末） 如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为　 　．
22．（2025七下·成都期末） 在程序设计语言C语言中，对于正整数m，n，则等于m除以n的余数，例如：，，令，则的值为　 　；令，则的值为　 　．
23．（2025七下·成都期末） 如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
25．（2025七下·成都期末） 通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示．
（1）乙机器人分拣包裹的速度是　 　个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差　 　个．
（2）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间．
（3）求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间．
26．（2025七下·成都期末） 已知，在中，，，，均为的高，点F是射线上一点，且，直线，交于点G．
（1）【初步感知】
如图1，当时，试说明；
（2）【深入探究】
如图2，当时，连接，试探究与的数量关系；
（3）【拓展延伸】
连接，若，的面积为m，求．面积（用含m的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.利用轴对称图形的概念逐一进行判断.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ；
D、 ；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项法则可对A、D进行判断；利用同底数幂的乘法法则可对B进行判断；利用积的乘方法则可对C进行判断.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示大于0小于1的数时，形式为，(，n 是正整数，等于原数中第一个非零数字前所有零的个数).利用科学记数法对对各选项逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意；
B、是随机事件，故B不符合题意；
C、是随机事件，故C不符合题意；
D、是必然事件，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件对各选项逐一进行判断.
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠C=180°-∠B=180°-116°=64°，
∵
∴∠CHD=90°
∴在Rt△CHD中，∠D=90°-∠CHD=90°-64°=26°
故选：A.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补可推出∠C的度数，再利用直角三角形的两锐角互余可推出∠D的度数.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴，即BC=EF，
在
，
∴（SAS），故A不符合题意；
B、在，
，
∴（ASA），故B不符合题意；
C、不能判定 ，故C符合题意；
D、∵
∴∠ACB=∠DFE
在
，
∴（AAS），故D不符合题意.
故选：C.
【分析】利用SAS证三角形全等可对A、C进行判断；利用ASA证三角形全等可对B进行判断；利用AAS证三角形全等可对D进行判断.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-60°=50°，
又∵平分，
∴∠ECF==，
∵为边上的高
∴∠FEC=90°，
∴在Rt△FEC中，∠CFE=90°-∠ECF=90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和可得∠ACB的度数，再利用角平分线的概念得∠ECF的度数，再利用三角形高的定义得∠FEC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余可得的度数 .
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图可知AB=2×3=6（cm），S△ABC=24 ，
∴S长方形 ABCD=2S△ABC=2×24=48，
又∵S长方形 ABCD=AB×BC，
∴6BC=48，
∴BC=8，
∴tBC=，
∴ 点P到达终点C时， 点P的运动时间：（s）.
故答案为：C.
【分析】观察图可得AB的长度、△ABC的面积；可推出长方形的面积，进一步可求BC的长度，即可推出 点P到达终点C时， 点P的运动时间 .
9．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】利用单项式×多项式法则计算即可.
10．【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系可知：，
即，
又∵ 三角形的三边长度均为整数，
∴第三边的最大值是6.
故答案为：6.
【分析】利用三角形三边关系分析求解即可.
11．【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设白球的个数为x，由题意得：
，
解得：x=8，
经检验，x=8是该分式方程的解.
∴ 白球的个数为 8.
故答案为：8，
【分析】利用概率计算公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得AC∥BD，
由折叠可知∠BAC=∠1=50°，
∵AC∥BD
∴∠2=∠DAC=∠1+∠BAC=50°+50°=100°.
故答案为：100°.
【分析】由折叠可推出∠BAC的度数，再利用两直线平行，内错角相等即可求出∠2的度数.
13．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由作图可知CE⊥BD，CE 平分BD，
∴∠BFC=90°，BF=DF，
∵ 在中， ，，
∴∠B=180°-∠ACB-∠A=60°，
∴∠BCF=180°-∠B-∠BFC=30°，
∴BF==，
∴DF=BF=2.
故答案为：2.
【分析】先根据作图痕迹推出CE垂直平分BD，可得BF与DF相等，再利用三角形的内角和可推出∠B、∠BCF的度数，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得BF的长度，即可求出DF的长.
14．【答案】（1）解：
=5-1-1+4
=7.
（2）解：
=
=
=，
把， 代入上式得：
2a+b=2×+3=2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先分别计算绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减计算即可.
（2）先利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则化简原式，再把a、b的值代入化简后的式子计算即可.
15．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：点P如图所示，
（3）解：S△ABC =3×4-
=12-3-2-1.5
=5.5.
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)先分别确定 A1、B1、C1的位置，再连线即可；
（2）先作点A2与A关于直线MN对称，连接BA2，BA2与MN交点即为所求作的点P；
（3）利用“割补法”求不规则图形的面积.
16．【答案】解：由题意得 ∥AB，
又∵ ，
∴∥
∴ +∠=180°，∠ECA+∠CAB=180°，
∵ ，
∴∠CAB=90°，
∴∠ECA=180°-∠CAB=90°，
又∵ ，
∴∠=，
∴=180°-∠=180°-55°=125°.
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【分析】由平行线的传递性可得∥，利用平行线的性质可得 和∠、∠ECA和∠CAB的关系，然后结合垂直的定义可推出∠的度数，即可求出的度数．
17．【答案】（1）解：
（2）解：无人机是否能在电量耗尽前到达，理由如下：
令y=0，则，
解得x=60，
∵45＜60，
∴无人机是否能在电量耗尽前到达.
（3）解：由 可知，无人机每分钟耗电：100 毫安时 ，
∴在（2）的条件下，要保证无人机能往返，需要：45×2×100=9000（毫安时）
∴ 无人机出发时电量至少需要9000毫安时.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，然后代入两组x，y的值，即可求出y与x的关系式；
(2)把y=0代入解析式，计算出x的值，再和45作比较即可判断；
(3)由解析式可推出无人机每分钟的耗电量，再计算无人机往返需要的总耗电量即可.
18．【答案】（1）解： ①如图1，连接BD，
∵ DE垂直平分AB
∴AD=BD，
∴∠DBE=，
又∵，
∴∠DBC=，
∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠DBC=180°-60°-60°=60°，
∴∠DBC=∠C=∠CDB，
∴△CDB是等边三角形，
又∵BC=3，
∴CD=BD=BC=3
∴AD=BD=3，
∴AC=AD+CD=3+3=6；
②如图，在AC上取点I，使AI=AG，连接IF，
∵为的角平分线 ，
∴∠IAF=∠GAF，
在△ALI和△ALG中，
，
∴△ALI≌△ALG（SAS），
∴IF=GF，∠AIF=∠AGF，
又∵，
∴IF=CF，
∴∠CIF-∠C，
∵， ，
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴∠CIF=∠C=60°，
∴∠AIF=180°-∠CIF=180°-60°=120°，
∴∠AGF=∠AIF=120°，
∴∠FGB=180°-∠AGF=180°-120°=60°
又∵ ，
∴∠CFG=∠ABC+∠FGB=90°+60°=150°.
（2）解：，理由如下：
如图3，在AH上截取HP=CH，连接MP，
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵，
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴∠CAB=2∠CAM，
∴∠ACM=2∠CAM，
∵，HP=CH
∴PM=CM，
∴∠ACM=∠CPM，
∴∠CPM=2∠CAM，
∴∠CAM+∠AMP=2∠CAM，
∴∠CAM=∠AMP，
∴AP=PM，
∴CH+CM=PH+AP=AN.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1) ①如图1，连接BD，利用垂直平分线的性质证AD=BD，可推出∠DBE的度数，进一步可求出∠DBC、∠C、∠CDB的度数，然后判定△CDB的形状，再根据等边三角形的定义可推出CD、AD的长，即可计算出AC；
② 如图，在AC上取点I，使AI=AG，连接IF，先利用SAS证ALI≌△ALG，可得IF=GF，∠AIF=∠AGF，进一步得IF=CF，再利用三角形的内角和计算出∠C，可依次计算出∠CIF、∠AGF、∠FGB、最后利用三角形的外角计算方法可得∠CFG的度数；
（2）在AH上截取HP=CH，连接MP，可推出PM=CM，从而∠ACM=∠CPM，可推出∠CAB=∠ACM，进一步可得∠ACM=2∠CAM，然后推出∠ACM=∠CPM，从而AP=PM，即可求证CH+CM=PH+AP=AN.
19．【答案】2
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴3x-1=5，
解得：x=2.
故答案为：2.
【分析】先将方程两边的数改写成底数相同的幂的形式，利用同底数幂的乘、除法计算法则计算即可.
20．【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： =m(m-2)-m(4-m)=m2-2m-4m+m2=2m2-6m=2(m2-3m)，
∵，
∴，
∴ =2(m2-3m)=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】先根据题意把改写并化简整理，再利用 计算出 的值，再整体代入求值即可.
21．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵为的中线，
∴AD=ED，
∵ ，
∴∠DAC=∠DEB，∠DCA=∠DBE，
在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（AAS），
∴AC=BE，
∵，∠BFE=∠DEB，
∴AC=BF，
∵，，
∴BF=BG-FG==AC，
∵∠BFE=∠AFG，∠BFE=∠DEB，∠DAC=∠DEB，
∴∠GAF=∠AFG，
∴AG=，
∴CG=AC-AG=.
【分析】先证△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可得AC=BE，进一步可推出AC=BF，然后计算出AC的长度；再利用∠BFE、∠DEB、∠AFG、∠GAF之间的关系推出AG的长度，即可得 线段的长度 .
22．【答案】21；10
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵，
∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，
∵1+2+3+4+5+6=21，
∴ =21，
∵，
∴bk的值仅与k的个位数有关，每10个为一个循环，
∴b1=0，b2=2，b3=6，b4=2，b5=0，b6=0，b7=2，b8=-4，b9=-8，b10=0，
∴，
∵2025=202×10+5，
∴ =202×0+0+2+6+2+0=10.
故答案为：21；10.
【分析】理解新运算，并分析其规律即可.
23．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC于点M，连接AG交BM于点N，连接NC，
∵，
∴∠CAD=90°，
又∵，
∴∠DCA=，
∴AD=AC=3，
∵，
∴∠CEF=，
∵，BM⊥AC，
∴BM垂直平分AC，CM=AM=，CN=AN，
∵四边形的面积为12，
∴，
即，
解得：BM=5，
∵ 将绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴△CEF≌△ACG（SAS），
∴，
∵CN=AN，
∴，
∴，
∠CNA=180°-∠CAG-∠NCA=90°，
∴CN⊥AN，
MN=CN=AM=，
BN=BM-MN=5-=，
S△BCN= 12CM·BN=12×32×72=218 ，
∵∠CAG=45°固定不变，
∴点G的运动轨迹为固定直线AN，当取得最小值时，CG⊥AN，
即当点G与点N重合时，CG=CN最小，
此时S△BCG=S△BCN= 218 ，
故答案为：218 .
【分析】过点B作BM⊥AC于点M，连接AG交BM于点N，连接NC，由， 可得∠DCA=，AD=AC=3，再由 四边形的面积 推出BM的长，然后由旋转可得，可证△CEF≌△ACG（SAS），推出，可确定点G的运动轨迹为固定直线AN，当取得最小值时，CG⊥AN，再证明当点G与点N重合时，CG=CN最小，即可推出的面积.
24．【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
25．【答案】（1）60；600
（2）解： 降速前甲机器人的分拣速度为：=80（个/分 ），
∴ 降速后甲机器人的分拣速度为：80× =40（个/分 ），
设x分钟时， 甲和乙机器人分拣的包裹数量相同 ，由题意得：
960+40（x-12）=60（x-6），
解得：x=42，
答： 42分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相同.
（3）解：设 分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的时间为x分钟，
当时，由题意得，解得，持续时间为：2.5分钟；
当时，由于甲的分拣速度大于乙的分拣速度，此时两机器人分拣数量差一定超过200个；
当时，由题意得，解得，持续时间为10分钟；
当时，由题意得，解得，持续时间为10分钟；
当时，由题意得，解得，持续时间为5分钟；
∴ 整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间 ：2.5+10+10+5=27.5（分钟）.
分钟
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：V乙=（ 个/分 ），
12分钟时， 甲机器人分拣的包裹数量为：960个，
乙机器人分拣的包裹数量为： 60×（12-6）=360（个），
∴ 甲和乙机器人分拣的包裹数量相差 ：960-360=600（个）；
【分析】（1）观察可得 乙机器人分拣包裹的速度，进而可计算出12分钟时乙机器人分拣的包裹数量，再观察得出12分钟时， 甲机器人分拣的包裹数量，作差即可；
(2)先求出降速前甲机器人的分拣速度，可推出降速后甲机器人的分拣速度，再设x分钟时， 甲和乙机器人分拣的包裹数量相同，列出方程求解即可；
（3）分，，和四种情况，分别求出分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的时间范围，再求和即可得出答案.
26．【答案】（1）解：∵BD、CE均为△ABC的高，
∴∠BDC=∠BDA=∠CEA=90°，
又∵，
∴∠ACB=∠DBC=45°，
∴BD=CD，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠ABF-∠DBC=∠AFB-∠ACB，
即∠ABD=∠CAF.
（2）解：由（1）得∠ABD=∠CAF，
如图，在BD上取一点H，使AC=BH，连接AH，
∵，
∴∠ACF=180°-∠ACB=135°，
∵AB=AF，∠ABD=∠CAF，
∴△ACF≌△BHA（SAS），
∴AH=CF，∠BHA=∠ACF=135°，
∴∠DHA=180°-∠BHA=45°，
∵∠BDC=90°，
∴∠DHA=∠DAH=45°，
∴DA=DH，
∵∠ABD=∠CAF，∠BDC=∠CDG=90°，BD=CD，
∴△ABD≌△GCD（AAS），
∴DA=DG，
∴DA=DG=DH，
∴DA垂直平分GH，
∴AG=AH，
∴AG=AH=CF，即AG=CF.
（3）解：连接AG，直线AG交BC于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵BD，CE均为△ABC的高，
∴AG⊥BC，
当∠BAC＞90°时，如图
由（2）可得DA=DG=DH，
设DA=DG=DH=a，则AG=AH=CF=，
∵BG=10，
∴AC=BH=BG-DH-DG=10-2a，
CD=BD=BG-DG=10-a，
∴BC==，
∵DM⊥BC，∠ACB=∠DBC=45°，
DM=
∴S△BDF=，
整理得，，
∵， AG⊥BC，
∴∠ACB=∠NAC=45°，
∴AN=CN，
AC=10-2a=，
AN=，
S△ACF=
当∠BAC＜90°时，如图
同理可得DA=BG=DH=a，则AG=AH=CF=，
∵BG=10，
∴AC=BH=BG+DH+DG=10+2a，
CD=BD=BG+DG=10+a，
∴BC==，
∵DM⊥BC，∠ACB=∠DBC=45°，
DM=
∴S△BDF=，
整理得，，
∵， AG⊥BC，
∴∠ACB=∠NAC=45°，
∴AN=CN，
AC=10+2a=，
∴AN=，
S△ACF=
当∠BAC=90°时，D、E、G、A四点重合，C与F重合，此时△ACF不存在，
综上所述，当时，；
当时，.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的高推出∠BDC=∠BDA=∠CEA=90°，再结合，得∠ABF=∠AFB，再利用AB=AF推出∠ABF=∠AFB，最后结合三角形的外角定理即可说明；
（2）在BD上取一点H，使AC=BH，连接AH，先计算∠ACF的度数，先证明△ACF≌△BHA（SAS），得AH=CF，∠BHA=∠ACF=135°，再证明△ABD≌△GCD（AAS）得DA=DG=DH，则可证AG=CF；
(3)连接AG，直线AG交BC于点N，过点D作DM⊥BC于点M，则AG⊥BC，再根据∠BAC＞90°和∠BAC＜90°分情况讨论，设DA=BG=DH=a，则AG=AH=CF=，表示出AC和BC的长，再根据S△BDF=，得到m与a的关系，再根据S△ACF=计算面积即可.
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