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8.2　离散型随机变量及其分布列
8.2.1　随机变量及其分布列
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　用随机变量表示随机试验的结果
1.对一批产品进行逐个检测,记第一次检测到次品前已检测的产品个数为X,则X=k表示的试验结果为(　　)
A.第(k-1)次检测到正品,而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,而第(k+1)次检测到次品
C.前(k-1)次检测到正品,而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,而第(k+1)次检测到次品
2.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,记射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是(　　)
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标
D.第4次击中目标
3.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数为　　　　.
题组二　离散型随机变量的概率分布
4.一袋中装有5个除编号外完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,在袋中随机取出3个球,以ξ表示取出的3个球的最小号码,则随机变量ξ的概率分布为(　　)
A.
　
ξ 1 2 3
P
B.
　
ξ 1 2 3 4
P
C.
　
ξ 1 2 3
P
D.
　
ξ 1 2 3
P
5.设离散型随机变量ξ的概率分布如下表所示:
ξ -1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是(　　)
A.P(ξ<3)= B.P(ξ>1)=
C.P(2<ξ<4)= D.P(ξ<0.5)=0
6.如图,我国古代珠算算具算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面的2颗叫上珠,下面的5颗叫下珠,若从某一档的7颗算珠中任取3颗,记其中上珠的个数为X,则P(X≤1)=(　　)
A.
7.为了促销,某商场规定顾客购买商品满500元即可参与抽奖,最多有3次抽奖机会,每次抽中,可依次获得10元,30元,50元奖金,若没有抽中,则停止抽奖.顾客每次抽中后,可以选择带走所有奖金,结束抽奖,也可选择继续抽奖,若没有抽中,则连同前面所得奖金全部归零,结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动,已知他每次抽中的概率依次为,第一次抽中后选择继续抽奖的概率为,第二次抽中后选择继续抽奖的概率为,且每次是否抽中互不影响.
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率;
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X,求X的概率分布.
题组三　概率分布的性质及其应用
8.已知随机变量ξ的概率分布如表所示,且m+2n=1.2,则n=(　　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.-0.2　　　　B.0.4　　　　C.0.2　　　　D.0
9.若离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
则常数a的值为(　　)
A. B.
C. D.1或
10.已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P的值为(　　)
A.
11.已知离散型随机变量X的概率分布中部分数据污损,污损部分用x,y(x,y∈N)代替,概率分布如下:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10
则P=(　　)
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
12.若随机变量X的概率分布如表所示:
X 0 1 2 3
P a b
则a2+b2的最小值为　　　　.
题组四　两点分布
13.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.4,Y=2X-1,则P(Y=-1)=(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.6
14.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=a,那么a=　　　　.
15.(2023河南洛阳强基联盟联考)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=P(X=0),则P(X=1)=　　　　.
能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量概率分布的性质及应用
1.设随机变量X的概率分布如下,则P(|X-1|≤1)=(　　)
X -1 0 1 2
P m
A.
2.已知等差数列{an}的公差为d,随机变量X满足P(X=i)=ai(0A. B.
C. D.
3.若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=(1≤k≤5,k∈Z),则P的值为(　　)
A.
4.(多选题)设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则(　　)
A.a= B.P
C.P D.P
题组二　求离散型随机变量的概率分布
5.学生甲想加入校篮球队,篮球教练对其进行投篮测试,测试规则如下:①投篮分为两轮,每轮均有两次机会,第一轮在罚球线处,第二轮在三分线处;②若他在罚球线处投进第一球,则直接进入下一轮,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则进入下一轮,否则不予录取;③若他在三分线处投进第一球,则直接录取,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则录取,否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮的命中率为,在三分线处投篮的命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响.
(1)求学生甲被录取的概率;
(2)在这次测试中,记学生甲投篮的次数为X,求X的概率分布.
6.在统计学的实际应用中,除了中位数外,经常使用的是25%分位数(也称为第一四分位数)与75%分位数(也称为第三四分位数).四分位数常应用于统计学的箱形图绘制,是统计学中分位数的一种,即把所有数值由小到大排列,并分成四等份,处于三个分割点的数值就是四分位数,箱形图中“箱体”的下底边对应的数据为第一四分位数,上底边对应的数据为第三四分位数,上、下底边之间的线对应的数据为中位数.已知甲、乙两班人数相同,在一次测试中两班所得分数的箱形图如图所示.
(1)由此图估计甲、乙两班平均分较高的是哪个班级;(直接写出结论即可,不用说明理由)
(2)若在两班中随机抽取一人,发现他的分数小于128,求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少;
(3)据统计,两班中分数大于140的共有10人,其中甲班有6人,乙班有4人,从中抽取了3人进行学习经验交流,记3人中来自乙班的人数为X,求X的概率分布.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲、乙两人对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为,若乙发球,则甲得分的概率为.该局比赛中,甲乙依次轮换发球(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.
(1)求在前4球中,甲领先的概率;
(2)12球过后,双方战平(6∶6),已知继续对战奇数个球后,甲率先取得11分获得胜利(获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上).设净胜分(甲,乙的得分之差)为X,求X的概率分布.
答案与分层梯度式解析
8.2　离散型随机变量及其分布列
8.2.1　随机变量及其分布列
基础过关练
1.D 2.C 4.C 5.C 6.A 8.B 9.A 10.D
11.B 13.D
1.D　由题意知,X=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第(k+1)次检测到的是次品.故选D.
2.C　因为击中目标或子弹打完就停止射击,所以射击次数ξ=5说明前4次均未击中目标.故选C.
易错警示　由于停止射击的条件是“击中目标或子弹打完”,所以“ξ=5”与“ξ=4”不同,“ξ=4”的含义是“前3次未击中目标,第4次击中目标”,而“ξ=5”的含义是“前4次均未击中目标”,与第5次是否击中目标没有关系.
3.答案　10
解析　X的所有可能取值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,共10个.
4.C　随机变量ξ的可能取值为1,2,3,且P(ξ=1)=,
∴随机变量ξ的概率分布为
ξ 1 2 3
P
故选C.
5.C　P(ξ<3)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=,A错误;
P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=,B错误;
P(2<ξ<4)=P(ξ=3)=,C正确;
P(ξ<0.5)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=,D错误.故选C.
6.A　解法一:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.故选A.
解法二:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X≤1)=1-P(X=2)=1-.
7.解析　(1)记小李第i次抽中为事件Ai(i=1,2,3),则有P(A1)=,且A1,A2,A3两两互相独立.记小李第一次抽中且所得奖金归零为事件A,
则P(A)=P(A1.
(2)由题意可知X的可能取值为0,10,40,90,
P(X=0)=P(A)+,
P(X=10)=,
P(X=40)=,
P(X=90)=,
所以X的概率分布为
X 0 10 40 90
P
8.B　依题意得m+n+0.1+0.1=1,又m+2n=1.2,所以n=0.4,m=0.4.故选B.
9.A　由概率分布的性质知,
,故选A.
易错警示　本题不仅要注意随机变量的每一个可能取值对应的随机事件的概率均在区间[0,1]内,还要注意概率分布中各概率之和为1.
10.D　因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以=1,解得a=,所以P,故选D.
11.B　由题意得0.21+0.20+0.05++0.10=1,化简得10x+y=24,
又x,y∈N且x,y∈[0,9],所以x=2,y=4,
所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故选B.
12.答案　
解析　由概率分布的性质,知a+b=,故a2+b2≥.
13.D　令Y=2X-1=-1,得X=0,因为X服从两点分布,且P(X=1)=0.4,所以P(Y=-1)=P(X=0)=1-P(X=1)=0.6.故选D.
14.答案　
解析　由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=.
15.答案　
解析　由随机变量X服从两点分布,得P(X=1)+P(X=0)=1,
又P(X=1)=P(X=0),所以P(X=1)=.
能力提升练
1.C 2.D 3.A 4.AB
1.C　由概率分布的性质可得=1,则m=,所以P(|X-1|≤1)=P(0≤X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.
故选C.
2.D　由题意可得a1+a2+a3+a4=1,
因为{an}是公差为d的等差数列,所以an=a1+(n-1)d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,
所以a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=1,
则a1=d,
因为0故选D.
3.A　由题意及分布列的性质可得P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)
=m
=m,
故P.
故选A.
4.AB　由题意得P+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确;
P,故B正确;
P,故C错误;
P,故D错误.
故选AB.
5.解析　(1)记事件Ai表示“学生甲在罚球线处投篮,第i次投进”,事件Bi表示“学生甲在三分线处投篮,第i次投进”,其中i=1,2,
则P(A1)=P(A2)=.
记事件C表示“学生甲被录取”,则C=A1B1+A1B2,
所以P(C)=,
所以学生甲被录取的概率为.
(2)由题意得X的可能取值为2,3,4.
P(X=2)=P(,
P(X=3)=P(,
P(X=4)=P(,
所以X的概率分布为
X 2 3 4
P
6.解析　(1)甲班平均分较高.理由如下:
由题图可以看出,甲班分数的中位数为128,而乙班分数的第三四分位数为128,同时,甲班的第一四分位数明显高于乙班,由此估计甲班平均分较高.
(2)由题图可知,甲班中有的学生分数小于128,乙班中有的学生分数小于128.
设从两班中随机抽取一人,“该同学来自甲班”为事件A,“该同学分数小于128”为事件B,
则P(A)=,
所以P(B)=P(AB)+P(B)=P(B|A)·P(A)+P(B|)·P(,
P(A|B)=,
P(,
所以该同学来自甲班和乙班的概率分别为.
(3)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=2)=.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
7.解析　(1)在前4球中,甲领先的情况有两种:①甲与乙的比分是4∶0;②甲与乙的比分是3∶1.
甲与乙的比分是4∶0的概率为,
比分是3∶1的概率为2×,
故在前4球中,甲领先的概率P=.
(2)由题意可知接下来将由甲发球,若继续对战奇数个球后,甲获得胜利,则甲以11∶6或11∶8获胜,即在接下来的比赛中,甲、乙的比分为5∶0或5∶2,且最后一球均为甲获胜.
记“接下来的比赛中,甲、乙的比分为5∶0”为事件A,则P(A)=,
记“接下来的比赛中,甲、乙的比分为5∶2”为事件B,则前6球中,乙获胜两球,甲发球4次,乙发球两次,
P(B)=×,
故甲获胜的概率为.
易得X的所有可能取值为3,5,
P(X=3)=,
故X的概率分布为
X 3 5
P
1(共12张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
知识点 1 随机变量
8.1.1 随机变量及其分布列
必备知识 清单破
1.随机变量的概念
　　一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,则称 X为随机变量.
2.随机变量的表示
　　随机变量通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ,η,ζ)等表示,而用小写英文字母x, y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值.
离散型随机变量 取值为离散的数值的随机变量
连续型随机变量 取值为连续的实数区间的随机变量
3.随机变量的分类
1.概率分布列
　　一般地,随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,…,xn,且P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,称上 式为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.
2.概率分布表
知识点 2 随机变量的概率分布
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　　将上表称为随机变量X的概率分布表,概率分布列和概率分布表都叫作随机变量X的概 率分布.
3.概率分布的性质
　　概率分布里的pi(i=1,2,…,n)满足条件:
(1)pi≥0;
(2)p1+p2+…+pn=1.
随机变量X只取两个可能值0和1,我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布,并记为X~0 -1分布或X~两点分布.此处“~”表示“服从”.
知识点 3 两点分布
知识辨析
1.一天内的温度为X ℃,则X是离散型随机变量吗
2.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个吗
3.在离散型随机变量的分布列中,随机变量的取值所对应的概率可以为任意的实数吗
4.如果随机变量X只取两个不同的可能值,那么X一定服从两点分布吗
一语破的
1.不是.一天内的温度的取值不能一一列出,故不是离散型随机变量.
2.是.因为随机变量的每一个取值均代表一个试验结果,所以若试验结果是有限个,则随机变 量的取值就是有限个,若试验结果是无限个,则随机变量的取值就是无限个.
3.不可以.在离散型随机变量的分布列中,每个随机变量的取值所对应的概率均在[0,1]范围 内.
4.不一定.服从两点分布的随机变量X的两个可能取值必须是0和1.
　
1.求离散型随机变量的概率分布的步骤(其中i=1,2,…,n)
2.两个相关的随机变量的概率分布
　　一般地,若X是随机变量,则Y=f(X)也是随机变量.已知随机变量X的概率分布,求随机变量 Y=f(X)的概率分布,其关键是弄清X取每一个值时相对应的Y的值,若f(X)的取值出现重复,则
需要把它们的相应概率相加.
关键能力 定点破
定点 求离散型随机变量的概率分布
典例 某超市举办酬宾活动,单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动,活动规则如下: 盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球,其中3个红球、2个白球和2个黑球,从中不放回 地随机抽取2个球,每个球被抽到的机会均等.每抽到1个红球记0分,每抽到1个白球记50分,每 抽到1个黑球记100分.若抽取2个球的总得分为200分,则可获得10元现金,若总得分低于100 分,则没有现金,其余得分可获得5元现金.
(1)设抽取2个球的总得分为X分,求X的概率分布;
(2)设每位顾客参与一次抽奖可获得现金Y元,求Y的概率分布.
解析 (1)随机变量X的可能取值为0,50,100,150,200.
P(X=0)= = ,
P(X=50)= = ,
P(X=100)= = ,
P(X=150)= = ,
P(X=200)= = .
故X的概率分布如表所示:
X 0 50 100 150 200
P
(2)由(1)知Y=f(X)=
所以P(Y=0)=P(X=0)+P(X=50)= + = ,
P(Y=5)=P(X=100)+P(X=150)= + = ,
P(Y=10)=P(X=200)= .
故Y的概率分布如表所示:
Y 0 5 10
P
方法总结 (1)若要正确求出概率分布,则必须先准确写出随机变量的所有可能取值,再依古 典概型求出每一个可能取值的概率.至于随机变量在某一范围内取值的概率,应等于它取这 个范围内各个值的概率之和.(2)在求解过程中注重知识间的融合,常常会用到排列组合、古 典概型及互斥事件的概率、对立事件的概率等知识.

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