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考 前 必 背
第6章　空间向量与立体几何
一、共线向量、共面向量定理
1.共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.
2.共面向量定理
(1)如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.
(2)已知不共面,若,且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.
二、空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3.
2.推论
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得.
三、空间向量的坐标运算
1.空间向量的线性运算的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
运算 坐标表示
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
减法 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
数乘 λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R)
数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2
　　2.空间向量常用结论的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
结论 坐标表示
向量的模 |a|=
向量的夹 角公式 cos=(a,b为非零向量)
向量垂直 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
向量平行 a∥b(a≠0) b=λa x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(λ∈R)
　　3.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|.
四、空间向量的应用
1.设直线l,m的方向向量分别为u,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行 l∥m u∥v u=λv,λ∈R
线面平行 l∥α u⊥n1 u·n1=0
面面平行 α∥β n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
线线垂直 l⊥m u⊥v u·v=0
线面垂直 l⊥α u∥n1 u=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
线线角 l,m的夹角θ∈
线面角 l,α的夹角θ∈
二面角 α,β所成的角θ∈[0,π],|cos θ|=
　　2.空间距离的计算
(1)点到平面的距离:P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离d=.
(2)点到直线的距离:(i)P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离d=;(ii)P是直线l外一点,PO⊥l,O为垂足,A是l上任意一点,设e是直线l的方向向量,记φ=<,e>,则cos φ=,故点P到直线l的距离d=||sin φ.
第7章　计数原理
一、两个基本计数原理
1.分类计数原理:N=m1+m2+…+mn.
2.分步计数原理:N=m1×m2×…×mn.
二、排列与组合
1.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=.
2.组合数公式:.
3.解决排列、组合问题的常用方法
(1)合理分类,准确分布;(2)特殊优先,一般在后;(3)先取后排,间接排除;(4)相邻捆绑,间隔插空;(5)抽象问题,构造模型;(6)均分除序,定序除序.
三、二项式定理
1.二项式定理:(a+b)n=an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*).
2.通项:Tr+1=an-rbr.
3.二项式系数的性质
(1);
(2);
(3)当r<时,;当r>时,,即当n为偶数时,二项式系数中最大;当n为奇数时,二项式系数中相等且最大;
(4)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即+…++…+=2n;
(5)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+…=+…=2n-1.
第8章　概率
一、条件概率
1.条件概率公式
设A,B为两个事件,P(A)>0,则A发生的条件下B发生的概率为P(B|A)=.
2.条件概率的性质
(1)P(A|A)=1;
(2)P( |A)=0;
(3)若A B,则P(B|A)=1;
(4)若B1,B2互斥,则P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A).
3.乘法公式
P(AB)=P(B|A)P(A).
4.全概率公式
一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且它们的和Ai=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
5.贝叶斯公式
一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)=.
二、离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的分布列、期望与方差
名称 表现形式(或公式) 性质
概率分布 Xx1x2…xnPp1p2…pn
pi≥0,i=1,2,…,n; p1+p2+…+pn=1
期望 E(X)=μ=x1p1+x2p2+…+xnpn E(aX+b)=aE(X)+b
方差 D(X)=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn==pi-μ2 (1)D(aX+b)=a2D(X); (2)D(X)=E(X2)-[E(X)]2
　　2.几种常见的概率分布
名称 概念(或公式) 数字特征
二项分布 P(X=k)=pkqn-k,其中0超几何分布 P(X=r)=,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,r=m,m+1,m+2,…,l,m=max{0,n-N+M},l=min(n,M).记作X~H(n,M,N) E(X)=
正态分布 随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2) E(X)=μ, D(X)=σ2; P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5
　　3.正态密度曲线
(1)正态密度曲线
将函数P(x)=(x∈R)的图象称为正态密度曲线.这里有两个参数μ和σ,其中σ>0,μ∈R.
(2)正态密度曲线的特征
①当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时,以x轴为渐近线;
②正态曲线关于直线x=μ对称;
③σ越大,曲线越扁平;σ越小,曲线越尖陡;
④在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
(3)正态总体在三个特殊区间内的取值
落在区间(μ-σ,μ+σ)内的概率约为68.3%;
落在区间(μ-2σ,μ+2σ)内的概率约为95.4%;
落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率约为99.7%.
事实上,μ就是随机变量X的均值,σ2就是随机变量X的方差,它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度.
第9章　统计
一、线性回归分析
1.样本相关系数的公式
n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的样本相关系数
r=
=.
　　2.样本相关系数r的性质
(1)-1≤r≤1;
(2)r>0时,y与x呈正相关关系,r<0时,y与x呈负相关关系;
(3)|r|越接近1,y与x相关的程度就越强,|r|越接近0,y与x相关的程度就越弱.
通常情况下,当|r|>0.5时,认为线性相关关系显著;当|r|<0.3时,认为几乎没有线性相关关系.
3.经验回归方程
经验回归方程为,其中yi.
二、独立性检验
1.2×2列联表
Ⅱ 合计
类1 类2
Ⅰ 类A a b a+b
类B c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
　　χ2=,其中n=a+b+c+d.
2. χ2独立性检验
要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行:
(1)提出假设H0:Ⅰ与Ⅱ没有关系;
(2)根据2×2列联表与χ2的公式计算χ2的值;
(3)根据临界值(下表),做出判断.
P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
　　例如:
(1)若χ2>10.828,则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”;
(2)若χ2>6.635,则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”;
(3)若χ2>2.706,则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”;
(4)若χ2≤2.706,则认为没有充分证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”,但也不能作出结论“H0成立”,即Ⅰ与Ⅱ没有关系.
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