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第1章　导数及其应用
1.1　导数概念及其意义
1.1.1　函数的平均变化率
1.1.2　瞬时变化率与导数
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　函数的平均变化率
1.函数f(x)=x2在区间[2,4]上的平均变化率等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.函数y=f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数f(x)的图象上,若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为,则割线AB的倾斜角为　　　　.
4.如图所示的是函数f(x)的图象,则函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为　　　　;函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　.
题组二　瞬时速度
5.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+d]内的平均速度为-3d-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(　　)
A.-3 B.3
C.6 D.-6
6.一个物体的运动方程为s=s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是米,时间t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　)
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.8米/秒
7.若一物体的运动方程为s=s(t)=(位移s的单位:m,时间t的单位:s),则物体在1 s时的瞬时速度为　　　m/s.
题组三　利用导数的定义求导数
8.若函数f(x)=在x=x0处的瞬时变化率是,则x0的值是(　　)
A. B. C.1 D.3
9.设函数f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,则a=　　　　.
10.函数f(x)=x2++5在x=2处的导数值为　　　　.
11.设函数f(x)在R上可导,则当d趋近于0时,趋近于　　　　.
12.服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.1　导数概念及其意义
1.1.1　函数的平均变化率
1.1.2　瞬时变化率与导数
基础过关练
1.C　函数f(x)=x2在区间[2,4]上的平均变化率为==6.
2.D　根据题意,函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为==m+1,则m+1=3,解得m=2.
3.答案　
解析　易知函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率,即kAB=,所以割线AB的倾斜角为.
4.答案　;
解析　由题中函数f(x)的图象可得f(x)=
所以函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为==;
在区间[0,2]上的平均变化率为==.
5.D　当d趋近于0时,-3d-6趋近于-6,所以该质点在t=1时的瞬时速度是-6,故选D.
6.C　
=
==5+d.
当d趋近于0时,5+d趋近于5,
所以物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒,故选C.
7.答案　-12
解析　物体在1 s附近某一时间段内的平均速度为
=
=3d-12,
当d趋近于0时,3d-12趋近于-12,
所以物体在1 s时的瞬时速度是-12 m/s.
8.A　=
==,
当d→0时, → ,
∴=,∴x0=.
9.答案　1
解析　f(-1+d)-f(-1)=a(-1+d)3+2-a(-1)3-2=ad3-3ad2+3ad,
∴=ad2-3ad+3a.
当d→0时,ad2-3ad+3a→3a.
∴f'(-1)=3a=3,∴a=1.
10.答案　
解析　f(2+d)-f(2)=(2+d)2++5-22--5=4d+d2-,
所以=4+d-,
当d→0时,4+d- → .
故函数f(x)在x=2处的导数值为.
11.答案　f'(1)
解析　因为函数f(x)在R上可导,且=×,当d→0时, →f'(1),所以 →f'(1).
12.解析　f'(10)=1.5表示服药后10 min时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.(共14张PPT)
　　若在直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示,则从时刻a到时
刻b的位移为f(b)-f(a).因为所花时间为b-a,所以在时间段[a,b]内动点P的平均速度
为v[a,b]= .
一般地,我们把 称为函数y=f(x)在区间[a,b]内的平均变化率,它反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减).
1 | 平均速度与函数的平均变化率
1.1　导数概念及其意义
1.定义:运动物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.数学表达式:若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就
是平均速度v(t,d)= 在d趋近于0时的极限.
2 | 瞬时速度
1.瞬时变化率
一般地,若函数y=f(x)的平均变化率 在d趋近于0时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率.
2.导数
(1)导数的定义:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比
值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0
处的导数或微商,记作f '(x0),可简单表述为 →f '(x0)(d→0).
(2)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f '(x0).相应地,此切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0).
3 | 函数的瞬时变化率与导数
1.d趋近于0能表示为d=0吗
不能.d趋近于0表示d无限接近0,但不等于0,否则 无意义.
2.瞬时速度是刻画某物体的位移在时间段[a,b]上变化快慢的物理量吗
不是.刻画某物体的位移在时间段[a,b]上变化快慢的物理量是平均速度.
3.函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正负有关吗
无关.函数y=f(x)在x=x0处的导数值是指 在d趋近于0时的极限值,
与d的正负无关.
4.若直线l与曲线相切,则直线l与曲线只有一个交点吗
不一定.可以有多个甚至无穷个交点.
知识辨析
5.函数y=f(x)的图象在某点处存在切线的充要条件是函数y=f(x)在该点处存在导
数,对吗
不对.当函数y=f(x)在某点处的导数不存在时,其图象在该点也可能存在切线.
　　函数的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比,其作用是
刻画函数值在区间[a,b]上变化的快慢.它的几何意义是函数f(x)的图象上P1(a,f(a)),
P2(b,f(b))两点连线(即割线P1P2)的斜率.
1 函数的平均变化率
典例　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,若汽车在时间段[t0,t1],
[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为 , , ,则三者的大小关系为　　　 .
解析 由题意,结合题图易得 = =kOA, = =kAB, = =kBC,由题图
知 > > .
答案 > >
求函数y=f(x)在x=x0处的导数的三个步骤
(1)求函数值的变化量,即 f(x0+d)-f(x0);
(2)求函数的平均变化率,即 ;
(3)求(2)中的表达式在d趋近于零时的值,即为f'(x0).
2 求函数在某点处的导数
典例　已知f(x)= ,且f '(m)=- ,则m的值等于 (　 )
A.-4　 B.2　
C.-2　 D.±2
解析 因为f(m+d)-f(m)= - = ,所以 = .当d→0
时, →- ,因此f '(m)=- ,于是有- =- ,即m2=4,解得m=±2.
答案 D
1.曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程:
(1)点P(x0, f(x0))为切点;
(2)切线斜率k=f'(x0);
(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.曲线y=f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程:
(1)点P可能是切点,也可能不是切点.
(2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关.
(3)求切线方程的一般步骤:
①设出切点(x1, f(x1));
②求出函数f(x)在点(x1, f(x1))处的导数f'(x1);
③写出切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0,f(x0))代入,求得x1;
④将x1代入切线方程,化简得切线方程.
3 曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线
典例　已知曲线f(x)= x3+ .
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解析 (1)
=
=x2+dx+ d2,
当d→0时, →x2,
∴曲线f(x)在点P(2,4)处的切线的斜率k=f'(2)=4,故切线的方程为y-4=4(x-2),即
4x-y-4=0.
(2)设曲线f(x)= x3+ 与其过点P(2,4)的切线相切于点A ,
由(1)可知,曲线在点A处的切线的斜率k'=f'(x0)= ,
∴所求切线方程为y- = (x-x0),
即y= ·x- + ,
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2 - + ,即 -3 +4=0,
∴ + -4 +4=0,
即 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
∴x0=-1或x0=2,
∴切点为(-1,1)或(2,4),
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
易错警示 求曲线的切线方程时,首先要区分是“在某点处”还是“过某点”.
如果是“过某点”,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求
出切点坐标,进而求出切线方程.求过某点的切线方程时,如果点在已知曲线上,容
易认为该点就是切点,从而造成错误.

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