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第1章　导数及其应用
1.1　导数概念及其意义
1.1.3　导数的几何意义
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　导数的几何意义
1.已知函数f(x)在R上的导函数存在,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是(　　)
A. f'(a)B. f'(b)C. f'(a)D. f'(c)2.若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)
A B C D
3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)=(　　)
A.1 B.-
C. D.-1
4.曲线f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为　　　　　　　.
5.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则a=　　　　,b=　　　　.
题组二　导数几何意义的综合应用
6.已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角α的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A. B.[-1,0]
C.[0,1] D.
7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是(　　)
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C. f >
D. f <
8.曲线y=f(x)=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为　　　.
9.曲线y=f(x)=在点P处的切线与直线y=x垂直,则点P的坐标为　　　　　　　.
10.过点M(1,1)且与曲线f(x)=x3+1相切的直线方程为　　　　　　　　　　　.
11.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为　　　,此时点P的坐标为　　　.
12.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.1　导数概念及其意义
1.1.3　导数的几何意义
基础过关练
1.A　易知 f'(a), f'(b), f'(c)分别是函数f(x)的图象在x=a、x=b和x=c处的切线的斜率,则有f'(a)<02.A　因为函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上切线的斜率是递增的,故选A.
3.C　根据题中图象,可知切线过两点(2,0),(0,-1),所以切线的斜率k=f'(1)==,故选C.
4.答案　2x-y-4=0
解析　因为==,当d→0时, → 2,所以f'(1)=2,即切线的斜率k=2,所以切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.
5.答案　1;-1
解析　===d+2+a,
当d→0时, →2+a,
由切线方程知切线斜率k=3,∴2+a=3,∴a=1.
又∵点(1,1)在曲线f(x)上,
∴1+a+b=1,∴b=-a=-1.
6.D　设点P的横坐标为x0,
因为
=
==2x0+d+2,
当d→0时,→2x0+2,所以曲线C在点P处的切线的斜率为2x0+2,所以曲线C在点P处的切线的倾斜角α满足tan α=2x0+2.
因为α∈,所以tan α∈[1,+∞),
所以2x0+2≥1,即x0≥-,
所以点P的横坐标的取值范围为.
7.AD　由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此函数f(x)的图象在其上任一点处的切线的斜率为负,并且从左到右,切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.
选项A、B中,由f(x)的图象可知其割线斜率 恒为负数,即x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,故A正确,B不正确;选项C、D中,f表示x=对应的函数值,即图中点B的纵坐标,表示x=x1和x=x2所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f<,故C不正确,D正确.故选AD.
8.答案　54
解析　因为===d2+9d+27,当d→0时,→27,所以曲线在点(3,27)处的切线的斜率为27,其方程为y-27=27(x-3),即y=27x-54,此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,-54),
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=×2×54=54.
9.答案　或
解析　易知曲线在点P处的切线的斜率为-4,
设P,因为===-,当d→0时,→-,所以-=-4 x0=±,则点P的坐标为或.
10.答案　27x-4y-23=0和y-1=0
解析　易知点M不在曲线f(x)=x3+1上,设过点M(1,1)的直线与曲线f(x)=x3+1相切于点P(x0,+1),
因为==3+3dx0+d2,
当d→0时, →3,所以曲线在点P处的切线的斜率k=3①,过点M和点P的切线的斜率k=②,由①②得3=,解得x0=0(二重根)或x0=,所以k=0或k=,因此过点M(1,1)且与曲线f(x)=x3+1相切的直线有两条,其方程分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y-1=0.
11.答案　;
解析　由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,抛物线y=x2在点P处的切线平行于直线y=x-2,设点P的横坐标为x0,y=f(x)=x2,因为===d+2x0,当d→0时,→2x0,所以2x0=1,解得x0=,所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
12.解析　设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
因为
=
=
=3+3x0d+d2-4x0-2d,
当d→0时,→3-4x0,所以曲线C在点P处的切线的斜率为3-4x0,由题意知3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,所以切点的坐标为或(2,3).
当切点的坐标为时,有=4×+a,解得a=.
当切点的坐标为(2,3)时,有3=4×2+a,解得a=-5.
所以当a=时,切点坐标为;当a=-5时,切点坐标为(2,3).

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