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第1章　导数及其应用
1.2　导数的运算
1.2.2　函数的和差积商求导法则
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　导数的四则运算法则
1.函数f(x)=的导数f'(x)=(　　)
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=exln x, f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　(　　)
A. B.e
C.1 D.0
3.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=(　　)
A.1+e B.e
C.2+e D.3
4.已知函数f(x)=ex-x2, f'(x)为f(x)的导函数,若f'(a)=f(a),则a=(　　)
A.0 B.-1
C.2 D.0或2
5.已知曲线y=axb在点(-1,a)处的切线方程为8x-y+6=0,则(　　)
A.a=2,b=4 B.a=-2,b=4
C.a=-2,b=1 D.a=8,b=-1
6.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5, f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,则h'(5)=　　　　.
7.求下列函数的导函数:
(1)y=excos x;(2)y=+ln x.
题组二　求导法则的综合应用
8.一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是s=s(t)=t2+2t,则物体在t=2时的瞬时速度为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
9.设曲线f(x)=aex-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为(　　)
A.1 B.2 C.ae D.ae-1
10.设曲线f(x)=在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则=(　　)
A. B.- C.3 D.-3
11.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线的方程为　　　　　　　　.
12.已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求f'(x);
(2)求曲线y=f(x)过点(2,-14)的切线的方程.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组　导数的四则运算法则及其应用
1.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=(　　)
A. B.-
C. D.-或
2.若点A是函数f(x)=x-4ex图象上的动点(其中e是自然对数的底数),则点A到直线y=3-3x的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.17
3.若函数f(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),其导数为f'(x),则f'(2 021)=　(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
4.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数), f(0)=1,则(　　)
A. f(x)=ex(x+1) B. f(x)=ex(x-1)
C. f(x)=ex(x+1)2 D. f(x)=ex(x-1)2
5.已知f(x)=x2+2f'(1)ln x,则f (x)=　　　　　　.
6.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数y=f(x),y=g(x)的图象都相切,且与函数y=f(x)的图象的切点为(1,f(1)),则m的值为　　　　.
7.已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程.
8.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.2　导数的运算
1.2.2　函数的和差积商求导法则
基础过关练
1.C　f'(x)==
==.故选C.
2.B　f'(x)=(ex)'ln x+ex(ln x)'=exln x+ex·,∴f'(1)=e.
3.A　易得f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,∴f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+
eln e=1+e.
4.D　由题意得f'(x)=ex-ex,根据条件得ea-a2=ea-ea,解得a=0或a=2.
5.B　将(-1,a)代入8x-y+6=0,得a=-2,
易知直线8x-y+6=0的斜率为8.
因为y'=abxb-1,
所以-2b(-1)b-1=8,所以b=4.故选B.
6.答案　
解析　由题意得,h'(x)=,
由f(5)=5, f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,
得h'(5)=
==.
7.解析　(1)y'=(excos x)'=ex(cos x-sin x).
(2)y=+ln x=+1+ln x(x>0),
所以y'=-+=(x>0).
8.B　因为s=s(t)=t2+2t,所以s'=s'(t)=2t+2,则有s'(2)=2×2+2=6,即物体在t=2时的瞬时速度为6,故选B.
9.A　由f(x)=aex-ln x(a≠0),
可得f'(x)=aex-,
将x=1代入,得f'(1)=ae-1,又因为f(1)=ae,
所以曲线f(x)在x=1处的切线l的方程为y-ae=(ae-1)(x-1),
整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1.
所以l在y轴上的截距为1.故选A.
10.B　依题意得f'(x)==,则f'(1)=-3,由于曲线f(x)=在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,所以(-3)·=-1,解得=-.故选B.
11.答案　3x-y-11=0
解析　∵y'=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3,
∴当x=-1时,y'最小,即切线的斜率最小,此时斜率为3,切点为(-1,-14),
∴切线方程为y+14=3(x+1),
即3x-y-11=0.
12.解析　(1)由f(x)=x3+x-16可得f'(x)=3x2+1.
(2)易知点(2,-14)不在曲线y=f(x)上.
设切点为(x0,+x0-16),
因为f'(x)=3x2+1,所以切线的斜率k=3+1,
故所求切线方程为y-(+x0-16)=(3+1)(x-x0).
将(2,-14)代入切线方程,
得-14-(+x0-16)=(3+1)(2-x0),
整理得(x0-3)=0,解得x0=0(二重根)或x0=3.
当x0=0时,切线斜率为1,切线方程为y-(-14)=x-2,即y=x-16;
当x0=3时,切线斜率为28,切线方程为y-(-14)=28(x-2),即y=28x-70.
综上所述,所求的切线方程为y=x-16或y=28x-70.
能力提升练
1.D　因为f'(x)=x2+2ax+a2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0, 所以f(-1)=;若y=f'(x)的图象为③,则a2-1=0,解得a=±1,又因为y=f'(x)的图象的对称轴为直线x=-a,所以-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-.
2.A　由f(x)=x-4ex,得f'(x)=1-4ex,
设与直线y=3-3x平行且与f(x)的图象相切的直线,与f(x)的图象切于点P(x0,x0-4),
所以f'(x0)=1-4=-3 x0=0,所以P(0,-4).
则点P到直线y=3-3x的距离d==,
即点A到直线y=3-3x的距离的最小值为.
故选A.
3.A　令g(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 022),
则f(x)=(x-2 021)g(x),
所以f'(x)=(x-2 021)'g(x)+(x-2 021)g'(x)=
g(x)+(x-2 021)g'(x),
所以f'(2 021)=g(2 021)+(2 021-2 021)g'(x)=g(2 021)=(2 021-2 019)×(2 021-2 020)×(2 021-2 022)=-2.故选A.
4.D　由f'(x)=ex(2x-2)+f(x),
得=2x-2,即'=2x-2,
所以=x2-2x+c(c为常数),
所以f(x)=(x2-2x+c)ex,
又因为f(0)=1,所以c=1,
所以f(x)=ex(x-1)2.故选D.
易错警示
　　已知原函数可求出唯一的导函数,已知导函数却求不出唯一的原函数,如由y'=2x-2可以得到y=x2-2x+c(c为常数),解题时容易将c遗漏导致解题错误.
5.答案　x2-4ln x
解析　由f(x)=x2+2f'(1)ln x可知f'(x)=2x+,令x=1,得f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,则f(x)=x2-4ln x.
6.答案　-2
解析　由题意得f'(x)=, 故直线l的斜率为f'(1)=1,易求得切点为(1,0),故直线l的方程为y=x-1,
由消去y,得x2+2(m-1)x+9=0,故Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=-2(m=4舍去).
7.解析　∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),
∴=ex.
令g(x)=,x∈(0,+∞),
则g'(x)==ex,
∴g(x)==ex+c(c为常数),
∴f(x)=x2(ex+c).
又∵f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,
∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,
∴f'(2)=8e2-4.
又∵f(2)=4(e2-1),
∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),
即y=(8e2-4)x-12e2+4.
8.解析　(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
故曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知,
解得-1≤k<0或k≥1,即-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,解得x≤2-或11.2　导数的运算
1.2.3　简单复合函数的求导
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　复合函数的求导法则
1.已知f(x)=cos 2x+e2x,则f'(x)=(　　)
A.-2sin 2x+2e2x B.sin 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x D.-sin 2x+e2x
2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为(　　)
A. B. C. D.1
3.(多选)下列求导结果正确的是(　　)
A.(e2x)'=2ex
B.(3x+1)'=3
C.()'=
D.(xsin x)'=sin x+xcos x
4.若函数f(x)=3x+sin 2x,则f'(x)=　　　　　　　　　　.
5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=f'·sin 3x+cos 3x,则f'=　　　　.
6.求下列函数的导数:
(1)y=;(2)y=esin(ax+b);
(3)y=sin2;(4)y=5log2(2x+1).
题组二　复合函数求导的综合应用
7.已知a∈R,函数f(x)=aex-1-xln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为(　　)
A.-2 B.-1 C.2 D.1
8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在40 min时的降雨强度为(　　)
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
9.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为　　　　　　.
10.已知定义域都是R的两个不同的函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),f(x)=g'(x),写出一个符合条件的函数f(x)的解析式:　　　　　　　　.
11.曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组　复合函数的导数及其应用
1.设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
2.(多选)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的值可以是　(　　)
A. B. C. D.
3.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a4.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法中正确的是(　　)
A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z)
B.函数g(x)的最大值为2
C.函数g(x)的图象上存在点P,使得其在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行
D.若方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e-xf(x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.aC.>1,b=c D.<1,b=c
6.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',则曲线y=x3过其上一点P(a,b)的切线方程为　　　　　　　.
7.设函数f(x)=aexln x+.
(1)求导函数f'(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.2　导数的运算
1.2.3　简单复合函数的求导
基础过关练
1.A　∵f(x)=cos 2x+e2x,∴f'(x)=-2sin 2x+2e2x.故选A.
2.B　由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=,
由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故选B.
3.BCD　选项A,因为(e2x)'=2e2x,所以A错误;
选项B,因为(3x+1)'=3+0=3,所以B正确;
选项C,因为()'=[]'=×=,所以C正确;
选项D,因为(xsin x)'=x'sin x+x(sin x)'=sin x+xcos x,所以D正确.
故选BCD.
4.答案　3xln 3+2cos 2x
解析　f'(x)=(3x)'+(sin 2x)'=3xln 3+(2x)'·cos 2x=3xln 3+2cos 2x.
5.答案　3
解析　∵f(x)=f'·sin 3x+cos 3x,
∴f'(x)=f'·3cos 3x-3sin 3x,
令x=,得f'=f'×3cos -3sin = f'-3×,
解得f'=3.
6.解析　(1)设y=,u=1-2x2,则y'x =y'u·u'x =()'(1-2x2)'=·(-4x)=-(1-2x2(-4x)=2x(1-2x2.
(2)设y=eu,u=sin v,v=ax+b,
则y'x =y'u·u'v·v'x =eu·cos v·a=acos(ax+b)esin(ax+b).
(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+,
则y'x =y'u·u'v·v'x =2u·cos v·2=4sin vcos v
=2sin 2v=2sin.
(4)设y=5log2u,u=2x+1,则y'x =y'u·u'x =5(log2u)'(2x+1)'==.
7.D　由题意得f'(x)=aex-1-ln x-1,故切线l的斜率k=f'(1)=a-1,又因为f(1)=a,故切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
令x=0,得l在y轴上的截距为1.
8.D　由f(t)=,
得f'(t)=·(10t)'=,
所以f'(40)==.
9.答案　y=2x-1
解析　设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,
∵f(x)为偶函数,∴x>0时, f(x)=f(-x)=ex-2+x,
∴x>0时,f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2,
又∵f(2)=3,∴曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.
10.答案　f(x)=ex+e-x(答案不唯一)
解析　根据题意,可知f″(x)=f(x),则满足条件的函数可以是f(x)=ex+e-x(答案不唯一).
11.解析　∵y=esin x,∴y'=esin xcos x,
∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线的斜率为esin 0cos 0=1,其方程为y-1=x,即x-y+1=0.
又∵直线l与x-y+1=0平行,
∴直线l的方程可设为x-y+m=0(m≠1).
由=得m=-1或m=3.
∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.
能力提升练
1.C　由题意知,求P,Q两点间距离的最小值,就是求曲线y=xe-x在其上一点处的与直线y=x+3平行的切线和直线y=x+3之间的距离.
由y=xe-x得y'=(1-x)e-x,
令y'=(1-x)e-x=1,解得x=0,
当x=0时,y=0,
故P,Q两点间距离的最小值即为点(0,0)到直线y=x+3的距离,
∴P,Q两点间距离的最小值为=.故选C.
2.CD　因为y=,
所以y'===.
因为ex >0,
所以ex +≥2=2当且仅当ex=,即x=0时取等号,
所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).
又因为α∈[0,π),所以α∈.
结合选项知选CD.
3.C　由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,
令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.
由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=,
设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-,
易知F(x)在(-2,+∞)上单调递增且其图象是连续的,
当x=-1时,F(-1)=-1<0,
当x=0时,F(0)=ln 2-=ln -ln >0,
故-1由φ(x)=cos x(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x(x∈(0,π)),
令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0,
则sin=0,
又因为x∈(0,π),所以x+=π,解得x=,即c=.
综上可知,b4.AD　根据题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,=-=,∴T=2π,ω==1.
当x=时,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin,
∴f'(x)=2cos,
∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin+2cos=2sin=2sin,
令x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z,
∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,A正确;
由g(x)=2sin,x∈R可知函数g(x)的最大值为2,B错误;
易得g'(x)=2cos,
∵g'(x)≤2<3,
∴不存在点P,使得g(x)的图象在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;
方程g(x)=2即2sin=2,
∴sin=,
∴x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,
∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为,D正确.故选AD.
5.D　易得a≠0,g(x)=e-xf(x)=e-x(ax2+bx+c),
∴g'(x)=-e-x[ax2+(b-2a)x+c-b],
令g'(x)=0,即ax2+(b-2a)x+c-b=0,
设g'(x)=0的两个根分别为x1,x2,且x1由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,
由题图可知,x1=0,x2>1,
则x1+x2==2->1,解得<1,
x1x2==0,解得b=c,故C错误,D正确;
由于a,b的正负未知,因此无法确定a与b的大小关系,故A、B均错误.
故选D.
6.答案　3x-y-2=0或3x-4y+1=0
解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,
得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,
则a=f'=3-2sin +2cos =1.
又∵b=a3,∴b=1,
∴点P的坐标为(1,1).
由y=x3得y'=3x2.
当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,
此时切线的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,),
此时切线的斜率k'=3,
∴切线的方程为y-=3(x-x0).
将P(1,1)的坐标代入切线方程,
得1-=3(1-x0),
∴2-3+1=0,即2-2-+1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,
解得x0=-(x0=1舍去),
∴切点坐标为,
又∵切线的斜率为3×=,
∴切线方程为y+=,
即3x-4y+1=0.
综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
7.解析　(1)由f(x)=aexln x+,
得f'(x)=(aexln x)'+'
=aexln x++.
(2)易知切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,
将x=1代入切线方程,得y=2,
将x=1代入函数f(x)的方程,得f(1)=b,
所以b=2.
将x=1代入导函数f'(x)的方程中,
得f'(1)=ae=e,所以a=1.第1章　导数及其应用
1.2　导数的运算
1.2.1　几个基本函数的导数
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　利用导数公式求函数的导数
1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为(　　)
A.- B. C.- D.0
2.下列结论正确的个数为(　　)
①若f(x)=ln 2,则f'(x)=;②若f(x)=,则f'(3)=-;③若f(x)=2x,则f'(x)=x·2x-1;④若f(x)=log2x,则f'(x)=.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设f0(x)=sin x, f1(x)=f'0(x), f2(x)=f'1(x),……, fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 022(x)=(　　)
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
4.已知函数f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于(　　)
A.4 B.-4 C.5 D.-5
5.求下列函数的导数:
(1)f(x)=;(2)f(x)=lg x;(3)f(x)=5x;(4)f(x)=-2sin.
题组二　导数公式的应用
6.曲线f(x)=在点A(1,f(1))处的切线方程是　(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y+2=0 D.x-y-2=0
7.以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作该曲线的切线l,则l的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B.[0,π)
C. D.∪
8.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
9.若曲线y=在点(m,)处的切线与两个坐标轴所围成的三角形的面积为18,则m=(　　)
A.64 B.32
C.16 D.8
10.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是(　　)
A. f(x)=x2 B. f(x)=e-x
C. f(x)=ln x D. f(x)=
11.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,则a1+a2+a3+…+a2 021=　　　.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.2　导数的运算
1.2.1　几个基本函数的导数
基础过关练
1.D　∵f(x)=cos 30°=,∴f'(x)=0.
2.B　若f(x)=ln 2,则f'(x)=0,所以①错误;
若f(x)=,则f'(x)=-,所以f'(3)=-,所以②正确;
若f(x)=2x,则f'(x)=2xln 2,所以③错误;
若f(x)=log2x,则f'(x)=,所以④正确.
故正确的个数为2.故选B.
3.B　f0(x)=sin x, f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x, f2(x)=f'1(x)=(cos x)'=-sin x, f3(x)=f'2(x)=(-sin x)'=-cos x, f4(x)=f'3(x)=(-cos x)'=sin x,……,又因为2 022=5×404+2,
故f2 022(x)=f2(x)=-sin x,故选B.
4.A　易得f'(x)=axa-1,∴ f'(-1)=a(-1)a-1=-4,
∴a=4.
5.解析　(1)因为f(x)==,所以f'(x)==.
(2)因为f(x)=lg x,所以f'(x)=.
(3)因为f(x)=5x,所以f'(x)=5xln 5.
(4)因为f(x)=-2sin=2sin·=2sincos=sin x,所以f'(x)=(sin x)'=cos x.
6.A　由f(x)==x-1得f'(x)=-x-2,因此所求切线的斜率k=-1-2=-1,又因为f(1)==1,所以所求切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选A.
7.A　易知切线l的斜率存在.∵y=sin x,∴y'=cos x,
∵cos x∈[-1,1],
∴切线l斜率的范围是[-1,1],
∴倾斜角的范围是∪,故选A.
8.B　由f(x)=ln x,得f'(x)=,
则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-.
易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),在(0,+∞)上g(x)为增函数且图象是连续不间断的,
又因为g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-=ln 2-ln>0,
所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.
9.A　易得y'=-,所以曲线y=在点(m,)处的切线方程为y-=-(x-m).
令x=0,得y=,令y=0,得x=3m,
则××3m=18,解得m=64.
10.ACD　在A中, f'(x)=2x,令x2=2x,解得x=0或x=2,故A符合题意;在B中, f'(x)='=ln =-e-x,令e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合题意;在C中, f'(x)=,令ln x=,由函数y=ln x与y=的图象(图略)知该方程存在实数解,故C符合题意;在D中,f'(x)=-,由=-,解得x=-1,故D符合题意.故选ACD.
11.答案　lg 2 022
解析　因为y=xn+1,所以y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,
所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1).
令y=0,得x=,即xn=,
因此an=lg =lg(n+1)-lg n,
所以a1+a2+a3+…+a2 021=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+(lg 4-lg 3)+…+(lg 2 022-lg 2 021)=lg 2 022-lg 1=lg 2 022.(共16张PPT)
1.常数函数导数为0:(c)'=0;
2.恒等函数导数为1:(x)'=1;
3.(x2)'=2x;
4.(x3)'=3x2;
5. '=- ;
6.( )'= .
1.2　导数的运算
1 | 常见幂函数的导数
1.(c)'=0;
2.(xα)'=αxα-1(α≠0);
3.(ex)'=ex;
4.(ax)'=axln a(a>0,a≠1);
5.(ln x)'= ;
6.(logax)'= (a>0,a≠1);
7.(sin x)'=cos x;
8.(cos x)'=-sin x;
9.(tan x)'= .
2 | 基本初等函数的求导公式
1.和、差的导数
(f(x)±g(x))'=f '(x)±g'(x).
2.积的导数
(cf(x))'= cf'(x)(c为常数);
(f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) .
3.商的导数
'= .
3 | 函数的求导法则
1.一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x))是关于x的函
数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.
2.对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),其求导法则为y'x=y'u·u'x,即y
对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
4 | 复合函数的概念及求导法则
1.若f(x)=3x,则f'(x)=x·3x-1,正确吗
不正确.f(x)=3x为指数函数,它的导数为f'(x)=3xln 3.
2.若f'(x)=1,则f(x)的原函数一定是f(x)=x吗
不一定.若f'(x)=1,则f(x)=x+c(c为常数).
3.函数y=e-x的导数是y'=e-x吗
不是.y= 是复合函数,它的求导法则是y'x=y'u·u'x,因此其导数为y'=-e-x.
4.已知函数f(x)=x- x2-ln x,则f'(-1)=3,对吗
不对.由f(x)=x- x2-ln x,得f'(x)=1-x- ,但应注意函数的定义域为{x|x>0},所以f'(-1)
的值不存在.
知识辨析
　　求函数的导数时需要注意以下几个方面:
(1)认真分析函数表达式,若其符合导数公式的形式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式求解的类型,一般遵循“先化简再求导”的原则,例如,
若待求导的函数是幂函数,则根指数要化成分数指数形式;若待求导的函数是三
角函数,则往往需要利用三角恒等变换公式对函数式进行化简等.
1 利用导数公式及求导法则求函数的导数
典例　求下列函数的导数.
(1)y=2cos2 -1;
(2)y=3x+lg x;
(3)y=x2+tan x;
(4)y= .
解析 (1)∵y=2cos2 -1=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
(2)∵y=3x+lg x,
∴y'=3xln 3+ .
(3)∵y=x2+tan x,
∴y'=(x2)'+(tan x)'
=2x+ .
(4)∵y= ,
∴y'=
=
= .
1.复合函数求导的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数;
(2)求导时分清是对哪个变量求导;
(3)计算结果尽量简单.
2 复合函数求导
典例　求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;
(2)y= ;
(3)y=5log2(1-x);
(4)y=sin3x+sin 3x.
解析 (1)函数y=e2x+1可看成函数y=eu和u=2x+1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函数y= 可看成函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=- .
(3)函数y=5log2(1-x)可看成函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(1-x)'
= = .
(4)函数y1=sin3x可看成函数y1=u3和u=sin x的复合函数,函数y2=sin 3x可看成函数y2=sin v和v=3x的复合函数,
∴y'x=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'
=3u2cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.
1.利用导数的运算法则解决切线问题,有以下几种常见题型:
(1)求曲线在某点处的切线方程;
(2)已知切线的方程或斜率求切点;
(3)切线问题的综合应用.
2.切线问题的处理方法:
(1)对函数进行求导;
(2)若已知切点,则直接求出切线斜率、切线方程;
(3)若切点未知,则先设出切点,用切点横坐标表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.
在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找切点是关键.
3 利用导数的运算解决切线问题
典例　已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4.
(1)求曲线C在点(1,-4)处的切线方程;
(2)(1)中求出的切线与曲线C是否还有其他交点 若有,求出交点;若没有,说明理
由.
解析 (1)易得y'=12x3-6x2-18x,
当x=1时,y'=-12,
即曲线C在点(1,-4)处的切线的斜率为-12,
∴所求切线方程为y+4=-12(x-1),
即12x+y-8=0.
(2)有其他交点.
将切线方程与曲线C的方程联立,得方程组
消y并整理,得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,
∴x3(3x-2)-(3x-2)2=0,
∴(x+2)(3x-2)(x-1)2=0,
解得x1=-2,x2= ,x3=x4=1.
将x=-2代入切线方程12x+y-8=0,得y=32;
将x= 代入切线方程12x+y-8=0,得y=0.
综上,除切点(1,-4)外,还有两个交点(-2,32)和 .
导师点睛 解决切线问题要以切点为突破口,已知切点直接用,未知切点先设后
用,此处还应注意:①曲线在切点处的导数等于切线的斜率;②切点在曲线上;③切
点在切线上.

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