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1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.1　函数的单调性与导数
1.函数f(x)的单调性与其导数f'(x)的正负的关系
若在区间(a,b)内,f ' (x)>0,则函数f(x)在此区间内单调递增,(a,b)为f(x)的单调递增区间;
若在区间(a,b)内,f ' (x)<0,则函数f(x)在此区间内单调递减,(a,b)为f(x)的单调递减区间.
特别地,如果在区间(a,b)上恒有f '(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上是常数函数.
2.一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,那么函数在这个范围
内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个
范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
函数的单调性与导数的关系
1.已知函数f(x),若在定义域上都有其导数f '(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调
递减吗
不一定.如函数f(x)= ,在定义域上都有f'(x)=- <0,但f(x)在其定义域上不是单调
函数.
2.“在某个区间上f '(x)>0”是“f(x)是此区间上的增函数”的充要条件吗
不是.在某个区间上的个别点处满足f'(x)=0不会影响f(x)在该区间上的单调性,故
为充分不必要条件.
3.函数y= 的单调递减区间可以写成(-∞,0)∪(0,+∞)吗
不可以.函数y= 的单调区间不能用“∪”连接,可用“,”或“和”连接.
知识辨析
4.对于函数y=f(x),其图象变化得越快,则其导函数f'(x)的值越大,对吗
不对.函数y=f(x)的图象变化得越快,其导函数f'(x)的绝对值越大.
5.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗
不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而函数在某区间上单调时,这个
区间可以是函数单调区间的一个子区间.
1.导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负,
图象下降”的原则.根据导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负.解
决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象.
2.由函数f(x)的图象判断其导函数f'(x)的图象,其思维方式是利用函数f(x)的图象
得到函数的单调性,进而得到函数f'(x)的正负;由f'(x)的图象判断f(x)的图象,其思维
方式是利用函数f'(x)的正负来确定原函数f(x)的单调性.
1 导数与原函数图象间的关系
典例　已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的导函数f'(x)的图象大致是 (　 )
解析 由题中函数f(x)的图象可知,函数f(x)在(-∞,0)上先单调递减,然后单调递增,
再单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则其导函数在(-∞,0)上,从左往右先小于零,然
后大于零,再小于零,在(0,+∞)上大于零,排除A,B,C,故选D.
答案 D
1.利用导数判断函数的单调性的步骤
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)结合定义域求出导数f'(x)的零点;
(3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,分析f'(x)在各区间上的正负,由
此得出函数 f(x)在定义域内的单调性.
2.含参数的函数的单调性问题
解决含有参数的函数的单调性问题,要考虑参数对单调性的影响,必要时要进行
分类讨论,主要考虑:①含参数的方程f'(x)=0是否有根;②方程f'(x)=0的根是否在定
义域内;③方程f'(x)=0的不同根的大小.
2 利用导数研究函数的单调性
典例　已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间.
思路点拨 (1)求f'(x) 根据题意得f'(1)=f'(3) 解方程求出a.
(2)对f'(x)变形 分类讨论 确定f'(x)的符号 结合定义域求出单调区间.
解析 (1)由题意知f '(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互
相平行,∴f '(1)=f '(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,解得a= .
(2)由(1)知f '(x)= (x>0).
①当a≤0时,∵x>0,∴ax-1<0,
∴在区间(0,2)上, f'(x)>0;在区间(2,+∞)上,f '(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当02,在区间(0,2)和 上, f '(x)>0;在区间 上, f '(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和 ,单调递减区间是 .
③当a= 时, f'(x)= ≥0,当且仅当x=2时取等号,故f(x)的单调递增区间是(0,
+∞),无单调递减区间.
④当a> 时,0< <2,在区间 和(2,+∞)上, f '(x)>0;在区间 上,f '(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是 .
综上,当a≤0时, f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞);
当0当a= 时, f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;
当a> 时, f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是 .
　　已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的值(或范围)的步骤:
(1)求f(x)的导数f'(x);
(2)将f(x)在(a,b)上单调递增(减)问题转化为不等式恒成立问题,即f'(x)≥0(f'(x)≤0)
在(a,b)内恒成立;
(3)利用函数的最值解决不等式恒成立问题;
(4)注意验证等号能否取到.
3 已知函数的单调性求参数的值（或范围）
典例 (1)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1)在区间(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值
范围;
(2)已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.
思路点拨 (1)求f'(x) 由f'(x)≤0分离参数a 确定实数a的取值范围.(2)思路
一:f'(1)=0 确定实数a的值.
思路二:对参数a进行分类讨论 得到实数a的值.
解析 (1)因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,
所以f'(x)=2ax+ ≤0对任意x∈(1,+∞)恒成立,即a≤- 对任意x∈(1,+∞)
恒成立.
令g(x)=- ,x∈(1,+∞),
易得g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
故g(x)>g(1)=- ,故a≤- .
即实数a的取值范围为 .
(2)由题意得f'(x)=3x2-a.
解法一:由题意可知, f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,a=
3满足条件,所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,则x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0在R上恒成立,当且仅当x=0且a=0时取等号,
此时, f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
若a>0,由f'(x)>0,得x> 或x<- .
因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解题意时,要注意“函数在区间(1,+∞)上单调”与“函数的一个单
调区间为(1,+∞)”的区别,其中,后者的区间(1,+∞)是函数的一个完整的单调区
间,前者的区间(1,+∞)是函数的一个单调区间的子区间.
1.利用导数证明(解)不等式的关键是构造函数,因此熟悉以下结论可以达到事半
功倍的效果.
(1)对于f'(x)>g'(x),可构造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),则可构造h(x)=
f(x)-ax.
(2)对于f'(x)+g'(x)>0,可构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)+f(x)>0,可构造h(x)=exf(x).
(4)对于f'(x)-f(x)>0,可构造h(x)= .
(5)对于xf'(x)+f(x)>0,可构造h(x)=xf(x).
(6)对于xf'(x)-f(x)>0,可构造h(x)= .
4 利用导数证明（解）不等式
(7)对于 >0,分类讨论:①若f(x)>0,则构造h(x)=ln f(x);②若f(x)<0,则构造h(x)=
ln[-f(x)].
2.利用导数证明不等式的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移项,构造函数F(x)=f(x)-g(x),转化为证明
F(x)>0(x∈(a,b)).
(2)确定函数F(x)的单调性,若F'(x)>0,则F(x)在(a,b)上是增函数;若F'(x)<0,则F(x)在
(a,b)上是减函数.
(3)将区间的端点值a或b代入F(x),若函数F(x)是增函数,且F(a)=f(a)-g(a)≥0,则当x
∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x);若F(x)是减函数,且F(b)≥0,则当x∈(a,b)时,f(x)-g
(x)>0,即f(x)>g(x).
典例　求证:当x>1时, +1> .
证明 ∵x>1,∴要证 +1> ,
即证 (x-1)>2ln x,
即证x- -2ln x>0.
令φ(x)=x- -2ln x,x>1,
则φ'(x)=1+ - = ,
易知φ'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴φ(x)>φ(1)=0,
即x- -2ln x>0,
即原不等式成立.第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.1　函数的单调性与导数
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是(　　)
A B
C D
2.已知f'(x)是f(x)的导函数, f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　　　　.
4.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为　　　　　　　　.
题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.函数f(x)=xex的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
6.函数f(x)=x2ln x的单调递增区间为(　　)
A.(0,) B.
C.(,+∞) D.
7.下列区间中,函数y=xcos x-sin x在其内是减函数的是(　　)
A. B.(π,2π)
C. D.(2π,3π)
8.函数f(x)=(x2+x+1)ex 的单调递减区间为　　　　.
9.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=x+(b>0).
10.已知函数f(x)=ax2+2x-ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
11.函数f(x)=x2-2x+mln x 在定义域上是增函数,则实数m的取值范围为(　　)
A.m≥ B.m>
C.m≤ D.m<
12.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
13.若函数f(x)=(x2+k)ex在区间(-3,2)上单调递增,则实数k的取值范围是(　　)
A.k≥1 B.k>1
C.k≥3 D.k≥8
14.若函数f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2),则a=　　　　.
15.若函数f(x)=(x2+mx)ex 的单调递减区间是,则实数m的值为　　　　,函数f(x)的单调递增区间是　　　　　　　.
16.已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;
(2)若a>0,求f(x)的单调区间.
能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用导数比较大小
1.已知a=e,b=3log3e,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c2.已知x∈且a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a3.已知a=,b=,c=ln ,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a4.(多选)已知 f(x)是奇函数,当x>0时, f'(x)-f(x)>1, f(1)=3,则(　　)
A. f(4)>ef(3) B. f(-4)>e2f(-2)
C. f(4)>4e3-1 D. f(-4)<-4e2-1
题组二　利用导数解不等式
5.已知函数f(x)=2x -x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
6.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)-f'(x)<1, f(0)=2 021,则不等式f(x)>2 020·ex+1(e为自然对数的底数)的解集为　(　　)
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(2 020,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(2 020,+∞)
7.已知f'(x)是偶函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=1,当x>0时,3f(x)+xf'(x)>0,则使得不等式(x-2 022)3f(x-2 022)>1成立的x的取值范围是　(　　)
A.(2 021,+∞) B.(-∞,2 021)
C.(2 023,+∞) D.(-∞,2 023)
8.设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),对任意x都有f (x)-f(-x)=2sin x,当x≤0时,f'(x)<-1,若f(t)≤f +sin,则实数t的取值范围为　　　　.
9.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f >0的解集.
题组三　利用导数研究函数单调性的综合应用
10.函数f(x)=的大致图象是(　　)
11.已知函数f(x)=x3+bx2-4x+d在上单调递减,则实数b的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选)已知偶函数f(x),若对于任意的x∈,f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)都成立,则下列不等式中不成立的是(　　)
A.fB.fC. f(0)>f
D. f13.(多选)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A. f(2)>f(3)
B.ln π>
C.若f(x)=m有两个不相等的实根x1,x2,则x1x2D.若2x=5y,x,y均为正数,则2x<5y
14.已知定义在R上的函数f(x),如果对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1),那么称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:
①y=ex+1;②y=3x-2(sin x-cos x);
③y=x3+3x2+3x+1;④y=
以上函数是“H函数”的是　　　　.(填序号)
15.已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a∈R).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;
(2)当a≤时,讨论f(x)的单调性.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.1　函数的单调性与导数
基础过关练
1.A　由y=f(x)的图象知f(x)在(0,+∞)上是减函数,故y=f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故排除B、D;f(x)在(-∞,0)上先增后减再增,故y=f'(x)在(-∞,0)上先大于0,再小于0,然后大于0,故排除C.故选A.
2.D　由题中f'(x)的图象可以看出,在(a,b)内, f'(x)>0,且在内, f'(x)单调递增,在内, f'(x)单调递减,所以函数f(x)在(a,b)内单调递增,且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选D.
3.答案　(-1,2)和(4,+∞)
解析　由题中函数f'(x)的图象可得,当x∈(-1,2)或x∈(4,+∞)时, f'(x)>0,此时f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,2)和(4,+∞).
4.答案　∪(2,+∞)
解析　由题图知f(x)在和(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以f'(x)>0的解集为∪(2,+∞),f'(x)<0的解集为,
由xf'(x)>0得或
所以xf'(x)>0的解集为∪(2,+∞).
5.D　f'(x)=ex+xex=ex(x+1),由f'(x)>0,得x>-1,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,+∞).故选D.
6.B　易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x=x(2ln x+1).
令f'(x)>0,得2ln x+1>0,解得x>,
故函数f(x)=x2ln x的单调递增区间为.故选B.
7.D　y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
结合选项可知当2π所以函数在(2π,3π)上是减函数,故选D.
8.答案　(-2,-1)
解析　f'(x)=(2x+1)ex +(x2+x+1)ex =ex(x2+3x+2)=ex (x+1)(x+2),
令f'(x)<0,解得-2所以函数f(x)的单调递减区间为(-2,-1).
9.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=6x-.
令f'(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去).
当x变化时, f(x), f'(x)的变化情况如下表所示:
x
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 1+ln 3 ↗
∴函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)易得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=1-=(x+)(x-).
令f'(x)=0,解得x=或x=-.
当x变化时, f(x), f'(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞, -) - (-, 0) (0, ) (, +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ -2 ↘ ↘ 2 ↗
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞);单调递减区间为
(-,0),(0,).
10.解析　(1)f'(x)=2ax+2-.
由题意知f'(1)=2a+=0,解得a=-.
(2)由(1)得f(x)=-x2+2x-ln x,
则f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-x+2-=.
令f'(x)>0,得1令f'(x)<0,得02.
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
11.A　易得f(x)的定义域为{x|x>0},
f'(x)=2x-2+.
若f(x)在定义域上是增函数,
则f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
即2x-2+≥0在(0,+∞)上恒成立,变形可得m≥2x-2x2在(0,+∞)上恒成立,
又因为2x-2x2=2x(1-x)≤,当且仅当x=时等号成立,所以m≥.故选A.
12.D　易得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴函数y=f'(x)有两个不同的零点,
∴Δ=36-12a>0,∴0∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.
13.A　f'(x)=2xex+(x2+k)ex=(x2+2x+k)ex,
∵f(x)在(-3,2)上单调递增,∴f'(x)≥0在(-3,2)上恒成立,
∴x2+2x+k≥0在(-3,2)上恒成立,
即k≥-x2-2x在(-3,2)上恒成立,
令g(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1(x∈(-3,2)),
当x∈(-3,2)时,g(x)∈(-8,1].
故k≥1.故选A.
14.答案　1
解析　f'(x)=3ax2-12.
∵f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2),
∴-2和2为方程f'(x)=0的两个实根,
∴12a-12=0,∴a=1.
15.答案　-;,(1,+∞)
解析　f'(x)=[x2+(m+2)x+m]ex .
因为f(x)的单调递减区间是,
所以f'(x)=0的两个根分别为-和1,
所以所以m=-.
所以f'(x)=ex =(x-1)(2x+3)ex.
令f'(x)>0,得x<-或x>1.
故函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞).
16.解析　(1)∵f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R),∴f'(x)=3x2-2ax.
∵曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+y-1=0,
∴ 解得
(2)由(1)得f'(x)=3x2-2ax=3x.
令f'(x)=0,得x=0或x=.
∵a>0,∴当f'(x)>0时,x∈(-∞,0)∪;当f'(x)<0时,x∈.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为.
能力提升练
1.D　设f(x)=,x≥e,则f'(x)=≥0在[e,+∞)上恒成立,
∴函数f(x)在[e,+∞)上单调递增,
易得a=f(e),b=f(3),c=f(5),且e<3<5,∴a故选D.
2.C　构造函数f(x)=(x>0),
则a==f(2sin2x),b==f(cos x),c==f(sin x).
因为f'(x)==-<0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为x∈,所以2sin2x-sin x=sin x(2sin x-1)>0,且sin x>cos x,故a3.C　构造函数f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,所以f(x)=ex-x-1≥f(0)=0,即ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号),令x=-,则>1-=,即有b>a;当x>-1时,对ex≥x+1的左右两边同时取常用对数,可得ln(x+1)≤x(当且仅当x=0时取等号),令x=,可得ln <,即有a>c.综上,b>a>c.
4.ACD　因为当x>0时, f'(x)-f(x)>1,所以f'(x)-f(x)-1>0,所以 >0,所以'>0.
令g(x)=,则当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.
易知g(4)>g(3),即>,所以f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),故A正确;
易知g(4)>g(2),即>,所以f(4)>e2f(2)+e2-1>e2f(2),所以-f(4)<-e2f(2),又因为f(x)是奇函数,所以f(-4)易知g(4)>g(1),即 >,又因为f(1)=3,所以f(4)>4e3-1,故C正确;
由C选项的分析得f(4)>4e3-1>4e2+1,所以-f(4)<-4e2-1,又因为f(x)是奇函数,所以f(-4)<-4e2-1,故D正确.故选ACD.
5.D　f'(x)=2xln 2-1.
令f'(x)=0,得2x =,此方程有唯一解,设为x0.
易知f'(x)=2xln 2-1在R上递增,所以函数f(x)在(-∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,
又因为f(0)=f(1)=0,所以f(x)>0的解集是(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.
6.C　令g(x)=,则g'(x)=,
因为f(x)-f'(x)<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.
因为f(0)=2 021,
所以g(0)=f(0)-1=2 020.
不等式f(x)>2 020·ex+1可转化为 >2 020,即g(x)>g(0).
由函数g(x)在R上单调递增知x>0.故选C.
解题模板
　　构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一种重要题型,解决此类问题的关键是合理构造函数.
7.C　设F(x)=x3f(x),则F'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)],
因为x>0时,3f(x)+xf'(x)>0,所以x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增,
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),所以F(-x)=(-x)3f(-x)=-x3f(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,所以F(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
因为f(1)=1,所以F(1)=13f(1)=f(1)=1.
故不等式(x-2 022)3f(x-2 022)>1即F(x-2 022)>F(1),所以x-2 022>1,
所以x>2 023,故选C.
8.答案　
解析　由f(x)-f(-x)=2sin x,可得f(x)-sin x=f(-x)+sin x,
令g(x)=f(x)-sin x,x∈R,则g(x)是偶函数,
当x≤0时,g'(x)=f'(x)-cos x<-1-cos x≤0,
所以g(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
易得sin t-sin=sin t-=sin t-cos t=sin,
由f(t)≤f+sin,
得f(t)≤f+sin t-sin,
即f(t)-sin t≤f-sin,
即g(t)≤g,则g(|t|)≤g,所以|t|≤,解得t≤.故答案为.
9.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-a=.
①若a≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②若a>0,则当00;当x>时, f'(x)<0.
故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a≤0时, f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时, f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)知f(x)的定义域为(0,+∞),
∴∴0设F(x)=f(x)-f
=ln x-ax-ln+a
=ln x-ln-2ax+2,x∈,
则F'(x)=+-2a=≥0,∴F(x)在上单调递增.
又∵F=0,∴当x∈时,F(x)<0;当x∈时,F(x)>0.
∴f(x)-f >0的解集为.
10.A　f'(x)=.
令f'(x)=0,得-x2+x+1=0,解得x=.
当x∈时, f'(x)<0;
当x∈时, f'(x)>0;
当x∈时, f'(x)<0,
∴函数f(x)在和上单调递减,在上单调递增,排除D.
当x=0时, f(0)=0,排除B.
当x=-1时, f(-1)=0,排除C.故选A.
11.D　f'(x)=3x2+2bx-4,
若f(x)在上单调递减,
则当x∈时,3x2+2bx-4≤0恒成立.
①x∈(0,1)时,问题转化为b≤-x+在(0,1)上恒成立,
令g(x)=-x+,x∈(0,1),
显然g(x)在(0,1)上单调递减,
故g(x)>g(1)=,
故b≤;
②x=0时,原不等式即-4≤0,显然成立;
③x∈时,问题转化为b≥-x+在上恒成立,
令h(x)=-x+,x∈,
显然h(x)在上单调递减,
故h(x)故b≥-2.
综上,b∈.
12.ABC　构造函数g(x)=,
则g(x)为偶函数,且g'(x)=,由题意可知g'(x)>0在上恒成立,
∴g(x)在上单调递增.
易得g=g==2f,
g=g==f,
g==f,
由函数g(x)在上单调递增,可知g即f对于A、B, f=f对于C,g(0)对于D,f<2f,即f 故选ABC.
13.BD　由f(x)=,可知其定义域为(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e.
当x∈(0,e)时, f'(x)>0,此时f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时, f'(x)<0,此时f(x)单调递减,所以f(x)≤f(e)=,当x趋近于+∞时, f(x)趋近于0,当x趋近于0时, f(x)趋近于-∞.
对于A, f(2)==ln , f(3)==ln ,
∵>,且>0,>0,∴>,
∴f(3)>f(2),故A错误;
对于B,∵<∴f()∴ln π >,故B正确;
对于C,∵f(x)=m有两个不相等的实根x1,x2,
∴f(x1)=f(x2)=m,
不妨设0∵x2>e,∴∵f(x)在(0,e)上单调递增,
∴只需证f(x1)令g(x)=f(x)-f(x>e),
则g'(x)=(ln x-1),
当x>e时,ln x>1,>,∴g'(x)>0,
∴g(x)在(e,+∞)上单调递增,
∵x2>e,∴g(x2)>g(e)=0,即f(x2)-f>0,这与①矛盾,故C错误;
对于D,设2x=5y=k,且x,y均为正数,则x=log2k=,y=log5k=,
∴2x=ln k,5y=ln k,
易知=ln ,=ln ,且>,
∴>>0,∴0<<,∴2x<5y,故D正确.
故选BD.
14.答案　①②③
解析　x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1)可化为[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,
所以函数f(x)为R上的增函数,即“H函数”为R上的增函数.
①y=ex+1显然是R上的增函数,故①符合.
②y'=3-2cos x-2sin x=3-2sin≥3-2>0,所以函数y=3x-2(sin x-cos x)为R上的增函数,故②符合.
③y'=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,当且仅当x=-1时取等号,所以函数y=x3+3x2+3x+1为R上的增函数,故③符合.
④当x>0时,y=ln|x|=ln x,在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,y=ln|x|=ln(-x),在(-∞,0)上单调递减,所以y=不是R上的增函数,故④不符合.
15.解析　(1)当a=-1时, f(x)=ln x+x+-1(x>0),则f'(x)=+1-(x>0),所以f'(2)=1.
又因为f(2)=ln 2+2,
故所求切线方程为y-(ln 2+2)=x-2,即y=x+ln 2.
(2)因为f(x)=ln x-ax+-1(x>0),
所以f'(x)=-a+=-(x>0).
令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).
(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
(ii)当a≠0时,令g(x)=0,
解得x=1或x=-1.
当a=时,g(x)≥0, f'(x)≤0,当且仅当x=1时取等号,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当00, f'(x)<0;若x∈,则g(x)<0, f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,1),上单调递减,在上单调递增.
当a<0时,-1<0,
若x∈(0,1),则g(x)>0, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
若x∈(1,+∞),则g(x)<0, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0方法技巧
　　解决含参函数的单调性问题时,常常要对参数的取值进行分类讨论,分类时主要考虑三点:一是导函数有没有零点;二是导函数的零点是否在定义域内;三是导函数的零点间的大小关系.

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