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(共16张PPT)
1.3.2　函数的极值与导数
1 | 函数极值的定义
1.极大值与极大值点
设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值
都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为
f(x)的一个极大值点.
2.极小值与极小值点
设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值
都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为
f(x)的一个极小值点.
3.极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点.
　　如果函数y=f(x)在某个区间内有导数,就可按下列步骤求它的极值:
(1)求导数f'(x).
(2)求f(x)的驻点,即求方程f'(x)=0的解.
(3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在x0左右两侧的符号(即讨论f(x)的单调
性),确定极值点:
①若f'(x)在x0两侧的符号为“左正右负”,则x0为极大值点;
②若f'(x)在x0两侧的符号为“左负右正”,则x0为极小值点.
(4)求出各极值点的函数值,就得到函数y=f(x)的全部极值.
2 | 函数极值的求法
1.导数为0的点一定是函数的极值点吗
不一定.如函数f(x)=x3,其导数为f'(x)=3x2.当x=0时,有f'(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点.
2.函数的极大值一定会大于函数的极小值吗
不一定.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,但f(x1)3.函数y=f(x)一定有极大值和极小值吗
不一定.在定义域上单调的函数一定没有极值.
知识辨析
4.函数的极大(小)值是不是唯一的
不一定.一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以有一个或多个.
5.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调,对吗
对.
6.在可导函数的极值点处,切线一定与x轴平行或重合吗
一定.可导函数在极值点处的导数为零,即切线的斜率为0,故切线与x轴平行或重合.
1.求可导函数f(x)的极值时可直接按照求极值的步骤进行求解,特别地,由f'(x)=0求
出全部的根后,可通过列表把x, f'(x), f(x)在每个区间内的变化情况表示出来,再求
极值.
2.有关含参数的函数的极值问题
　　求含参数的函数的极值时,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通
常要考虑以下几个方面:
①方程f'(x)=0有无实数根;
②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;
③方程f'(x)=0的实数根之间的大小关系.
通过列表得到函数的极值.
1 利用导数解决函数的极值问题
典例 已知函数f(x)=(x2+mx-2m2+3m)·ex(x∈R),当m∈R且m≠ 时,求函数的极
值.
思路点拨　求f'(x) 解方程f'(x)=0 分类讨论,列表 得解.
解析 由题意得, f'(x)=[x2+(m+2)x-2m2+4m]ex.
令f'(x)=0,得x=-2m或x=m-2.
由m≠ 知,-2m≠m-2.
分以下两种情况讨论:
①若m> ,则-2m当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞,-2m) -2m (-2m,m-2) m-2 (m-2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
得极小值,且极小值为f(m-2)=(4-3m)em-2.
②若m< ,则-2m>m-2.
当x变化时,f '(x), f(x)的变化情况如表所示.
∴函数f(x)在x=m-2处取得极大值,且极大值为f(m-2)=(4-3m)em-2;函数f(x)在x=-2m处
取得极小值,且极小值为f(-2m)=3me-2m.
x (-∞,m-2) m-2 (m-2,-2m) -2m (-2m,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数f(x)在x=-2m处取得极大值,且极大值为f(-2m)=3me-2m;函数f(x)在x=m-2处取
　　由函数的极值求参数的值或范围,解题的切入点是明确极值存在的条件:极
值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数f'(x);
②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数的值或范围.
注意:求出参数的值后,一定要验证其是否满足题目的条件.
2 利用函数的极值求参数的值或范围
典例 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的值;
(2)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极
值点,求实数m的取值范围.
思路点拨 (1)求f'(x) 建立关于a,b的方程组 解方程组 求出a,b的值并
检验;
(2)由题意知,f'(x)的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,据此列不等式组
解关于m的不等式组 得到m的取值范围.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意得 整理得
解得 或
当a=-3,b=3时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,
故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.
当a=4,b=-11时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11.
(2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个交点,如图所示.
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
易错警示 解决利用极值求函数中的参数问题时,要注意f'(x0)=0是x0为极值点的
必要不充分条件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,应注意检验极值的存在
条件,防止漏掉检验导致解题错误.
1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函
数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个
数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
2.利用导数解决函数的零点问题时,可通过极值的正用和逆用,结合分类讨论、数
形结合等思想方法进行有效处理,解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.
3 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题
典例　已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数f(x)的图象与y= f'(x)+5x+m的图象有三
个交点,求实数m的取值范围.
思路点拨　根据题意得到f'(x),将函数f(x)的图象与y= f'(x)+5x+m的图象有三个交
点转化为方程f(x)= f'(x)+5x+m有三个不相等的实根,进一步转化为函数g(x)=f(x)-
f'(x)-5x-m的图象与x轴有三个交点,利用导数求g(x)的极值,通过判断极值的符号
得到m的取值范围.
解析 由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,则y= f'(x)+5x+m= (3x2-12x+9)+5x
+m=x2+x+3+m.
函数f(x)的图象与y= f'(x)+5x+m的图象有三个交点等价于方程x3-6x2+9x+3=x2+x+
3+m有三个不相等的实根,即x3-7x2+8x-m=0有三个不相等的实根.
令g(x)=x3-7x2+8x-m,则g(x)的图象与x轴有三个交点.
易得g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
令g'(x)=0,得x= 或x=4.
当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表:
x -∞, ,4 4 (4,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
则函数g(x)的极大值为g = -m,极小值为g(4)=-16-m.
由g(x)的图象与x轴有三个交点,
得 解得-16∴实数m的取值范围为 .第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.2　函数的极值与导数
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　函数极值的概念及其求解
1.若f'(x0)存在,则f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处取极值的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知f(x)=,则f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上单调递增
B.在(-∞,1)上单调递减
C.有极大值,无极小值
D.有极小值,无极大值
3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A. f(x2)是极小值 B. f(x3)是极小值
C. f(x4)是极大值 D. f(x5)是极大值
4.函数f(x)=x+2cos x在上的极大值点为(　　)
A.0 B. C. D.
5.已知函数f(x)=ax3+bx2+6,其导数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值是　　　　.
6.若函数f(x)=x2f'(2)+ln x,则f'(2)=　　　　,f(x)的极大值点为　　　　.
7.求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点,若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=4x3+x2+2x+6;
(3)f(x)=-2;
(4)f(x)=x2-2ln x.
8.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.
题组二　含参函数的极值问题
9.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则(　　)
A.a>-3 B.a<-3 C.a>- D.a<-
10.若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-2,+∞) B.[-e,+∞)
C.[-e2,+∞) D.[-1,+∞)
11.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=　　　　.
12.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围是　　　　.
13.设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为0,求a的值;
(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.
14.已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组　函数极值的综合应用
1.已知函数f(x)=ln x-ax的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,则f(x)的极大值为(　　)
A.-ln 2-1 B.-ln 2+1
C.-1 D.1
2.已知函数f(x)=ksin x+2x+1(k∈R),当k∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时, f(x)在(0,2π)内的极值点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(多选)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是(　　)
A.0
C. f(x0)+2x0<0 D. f(x0)+2x0>0
4.函数f(x)=ax2-2ln x-1有两个零点,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,e) B.(0,e)
C.(0,1) D.(-∞,1)
5.(多选)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若a≤0,则函数f(x)没有极值
B.若a>0,则函数f(x)有极值
C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是
D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪
6.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
7.已知函数f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2(a>0).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)有两个极值点.
①求a的取值范围;
②证明f(x)的极小值小于-2ln 2+.
8.已知函数f(x)=ln x-(a+2)x+ax2(a∈R).
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)恰有两个零点,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.2　函数的极值与导数
基础过关练
1.B　
2.C　由题意得f'(x)=,当x<1时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当x>1时, f'(x)<0, f(x)单调递减,则f(1)=是函数的极大值,函数无极小值.
故选C.
3.B　由题图可知x∈(a,x1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,x∈(x1,x3)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,x∈(x3,b)时, f'(x)≥0(当且仅当x=x5时取等号), f(x)单调递增,所以f(x1)是极大值,f(x3)是极小值,故选B.
4.B　由题意得, f'(x)=1-2sin x,
令f'(x)=0,得x=.
易得当0≤x<时, f'(x)>0;
当∴当x=时, f(x)取得极大值.
5.答案　6
解析　由题意得f'(x)=3ax2+2bx.由题图可知,当x<0时, f'(x)<0,当00,当x>2时, f'(x)<0,
故x=0时函数f(x)取得极小值,为f(0)=6.
6.答案　-;
解析　∵f(x)=x2f'(2)+ln x,∴f'(x)=xf'(2)+,∴f'(2)=2f'(2)+,∴f'(2)=-,
∴f'(x)=-x+=,当00, f(x)单调递增,当x>时, f'(x)<0, f(x)单调递减,故x=为函数的极大值点.
7.解析　(1)由题意得, f'(x)=3x2-6x-9,
令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,
解得x=-1或x=3,即函数f(x)的驻点为x=-1和x=3.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴x=-1是f(x)的极大值点,且极大值为f(-1)=10;
x=3是f(x)的极小值点,且极小值为f(3)=-22.
(2)由题意得, f'(x)=12x2+2x+2,易知f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)没有驻点.
(3)由题意得,函数f(x)的定义域为R,
f'(x)==-.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1,即函数f(x)的驻点为x=-1和x=1.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x (-∞, -1) -1 (-1,1) 1 (1, +∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴x=-1是f(x)的极小值点,且极小值为f(-1)=-3;
x=1是f(x)的极大值点,且极大值为f(1)=-1.
(4)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞)且 f'(x)=2x-,
令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),即函数f(x)的驻点为x=1.
易知当x∈(0,1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
∴x=1是f(x)的极小值点,且极小值为f(1)=1,无极大值点.
8.解析　(1)由题可得, f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得
解得
(2)由(1)知, f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
∴f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
易知当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
9.B　设f(x)=eax+3x,则f'(x)=3+aeax.
由题意得f'(x)=3+aeax=0有正根,
则a<0,此时x=ln.
由x>0,得a<-3.故选B.
10.D　f'(x)=3e3x-2e2x-ex =ex (3e2x-2ex -1)=ex (ex -1)(3ex +1),
令f'(x)=0,则ex -1=0,解得x=0.
在区间(-∞,0)上, f'(x)<0, f(x)为减函数,
在区间(0,+∞)上, f'(x)>0, f(x)为增函数,
结合f(x)的图象(图略)可知,
若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则必有f(0)=-a-1≤0,解得a≥-1,
即a的取值范围为[-1,+∞),故选D.
11.答案　11
解析　f'(x)=3x2+6mx+n,则
即解得或
当时, f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,不符合题意,舍去;
当时, f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1;令f'(x)<0,得-3所以f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上单调递增,在(-3,-1)上单调递减,符合题意,则m+n=2+9=11.
12.答案　(-1,0)
解析　当a>0时,方程a(x+1)(x-a)=0的较小的根为函数f(x)的极大值点,
故无解;
当a=0时, f'(x)=0恒成立, f(x)无极值点,不符合题意;
当a<0时,方程a(x+1)(x-a)=0的较大的根为函数f(x)的极大值点,
故即-1因此a的取值范围是(-1,0).
13.解析　(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,
则 f'(2)=(2a-1)e2.
由题意知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.
(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1,则当x∈时, f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,
所以f(x)在x=1处取得极小值,满足题意.
若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,
所以f'(x)>0,
所以1不是f(x)的极小值点,不满足题意.
综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
14.解析　(1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=+1,则f'(1)=2,
又因为f(1)=1,所以切点坐标为(1,1),
所以所求切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax2+(1-a)x+1(x>0),
所以g'(x)=-ax+1-a=(x>0),
当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
当a>0时,g'(x)=,
令g'(x)=0,得x=或x=-1(舍去),
所以当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0,
所以当x=时,g(x)取得极大值,为g=-ln a,无极小值.
综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值.
能力提升练
1.A　因为f(x)=ln x-ax,所以f'(x)=-a(x>0),
又因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,
所以f(1)=-a=-b-1, f'(1)=1-a=-1,解得a=2,b=1.
所以f'(x)=-2=(x>0),
当00, f(x)单调递增,当x>时, f'(x)<0, f(x)单调递减,故f(x)在x=处取得极大值,极大值为f=ln -1=-ln 2-1.
2.C　由f(x)=ksin x+2x+1,得f'(x)=kcos x+2,
令f'(x)=0,得kcos x+2=0,∴cos x=-.
∵k∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴-∈(-1,0)∪(0,1).
作y=cos x(0由图可知,当0易知x1,x2均为f(x)的极值点,故函数f(x)在(0,2π)上有两个极值点.故选C.
3.AD　∵函数f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x,
易得f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)上单调递增,
f'=>0,且当x→0时, f'(x)→-∞,
∴0∴A正确,B错误.
由题意得,f'(x0)=ln x0+1+2x0=0,
∴f(x0)+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0)>0,
∴C错误,D正确.故选AD.
4.C　易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为函数f(x)=ax2-2ln x-1有两个零点,
所以方程ax2-2ln x-1=0有两个不同的实数根,即a=有两个不同的实数根.
令g(x)=,x>0,则g(x)=(x>0)的图象与直线y=a有两个不同的交点,
易得g'(x)==,令g'(x)=0,可得x=1,
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则g(x)单调递减,所以g(x)在x=1处取得极大值,且极大值为g(1)=1.
令g(x)=>0,可得x>;
令g(x)=<0,可得0画出g(x)=(x>0)的大致图象如图,
由图象可得,当00)的图象与直线y=a有两个不同的交点,即原函数有两个零点.故选C.
解题模板
　　利用导数研究含参函数的零点个数(方程根的个数)问题时,一般需要先分离参数,根据分离后的结果,构造新的函数,再利用导数研究函数的单调性,确定函数极值,利用数形结合的方法求解.变量分离可以避免对参数的分类讨论.
5.ABD　由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-=,
当a≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值,
当x→0时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→-∞,∴f(x)有且只有一个零点.
当a>0时,在上有f'(x)<0, f(x)单调递减,在上有f'(x)>0, f(x)单调递增,∴当x=时, f(x)取得极小值,极小值为f=1+ln a,当x→0时,ln x→-∞, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,当1+ln a=0,即a=时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即06.答案　
解析　由题知x>0, f'(x)=ln x+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点,因此f'(x)=0有两个不等的实根,即函数y=ln x+1与y=2ax(x>0)的图象有两个不同的交点,则a>0.设函数y=ln x+1在其图象上任一点(x0,1+ln x0)处的切线为l,则kl=,当l过坐标原点时,= x0=1,令2a=1 a=,∴07.解析　(1)当a=2时, f(x)=ln(x+1)+2x2+2x+2,
∴f'(x)=+4x+2,∴f'(0)=3.
又∵f(0)=2,∴f(x)的图象在点(0, f(0))处的切线方程为y=3x+2.
(2)①易知f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2的定义域为(-1,+∞),
f'(x)=+a(2x+1)=.
令g(x)=2ax2+3ax+a+1,
若f(x)有两个极值点,则f'(x)=0在(-1,+∞)上有两个不相等的实数根,
即g(x)=0在(-1,+∞)上有两个不相等的实数根,
故解得a>8.
∴当f(x)有两个极值点时,a的取值范围为(8,+∞).
②证明:由g(-1)=g=1>0,g=1-<0,
可知函数g(x)在区间上有两个变号零点,设为x1,x2,且x1则x1∈,x2∈.
当-10,即f'(x)>0,∴f(x)在(-1,x1)上单调递增;
当x1当x>x2时,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在(x2,+∞)上单调递增.
故函数f(x)有唯一的极小值点x2,且-∵g(x2)=0,∴a=-,
∴f(x2)=ln(x2+1)-(+x2)+2=ln(x2+1)-+2.
令φ(x)=ln(x+1)-+2,
则φ'(x)=-=,
当-∴φ(x)在上单调递减,
∴φ(x)<φ=-2ln 2+,即f(x)的极小值小于-2ln 2+.
易错警示
　　解决函数的极值问题时,要注意函数的定义域,解题时防止因忽视定义域导致解题错误.如本题中f(x)有两个极值点可转化为方程2ax2+3ax+a+1=0在(-1,+∞)上有两个不同的实数解,而不是在R上有两个不同的实数解.
8.解析　(1)当a=0时, f(x)=ln x-2x, f'(x)=-2,
所以f(1)=-2, f'(1)=-1.
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y+2=-(x-1),即x+y+1=0.
(2)易得f'(x)=-(a+2)+2ax==(x>0).
①当a≤0时, f(x)与f'(x)在(0,+∞)上的变化情况如表:
x
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
②当0x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在,上单调递增,在上单调递减.
③当a=2时, f'(x)≥0,当且仅当x=时取等号,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
④当a>2时, f(x)与f'(x)在(0,+∞)上的变化情况如表:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在,上单调递增,在上单调递减.
(3)由(2)可知,
①当a≤0时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,
当x=时, f(x)取得极大值,极大值为f=-ln 2-1-.
当x→0时, f(x)→-∞,当x→+∞时, f(x)→-∞,故若f(x)恰有两个零点,则f>0,即-ln 2-1->0,解得a<-4ln 2-4.
所以当a<-4ln 2-4时, f(x)恰有两个零点.
②当0当x=时, f(x)取得极大值,
因为f=-ln 2-1-<0,
所以f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,不符合题意.
③当a=2时, f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,不符合题意.
④当a>2时, f(x)在,上单调递增,在上单调递减,
当x=时, f(x)取得极大值,
因为f=-ln a-1-<0,
所以f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,不符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-4ln 2-4).

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