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第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　三次函数的单调性
1.已知函数f(x)=x3+bx2+(b+2)x+3在R上单调递增,则实数b的取值范围是(　　)
A.(-1,2)
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2.(多选)下列图象中,可以作为函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数f'(x)的图象的是(　　)
A B
C D
3.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a,b),若b-a≤2,则m的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.6
4.函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间[-1,2]上不单调,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3] B.(-3,1)
C.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
5.设函数f(x)=x3-3ax2+b.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
6.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
题组二　三次函数的极值和最值
7.函数f(x)=x3-3x(-1A.有最大(小)值,但无极值
B.有最大(小)值,也有极值
C.既无最大(小)值,也无极值
D.无最大(小)值,但有极值
8.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是 (　　)
A.(0,3) B.(-3,0)
C.(-∞,-3) D.(3,+∞)
9.已知x=1是函数f(x)=ax3-3x2的极小值点,则函数f(x)的极小值为(　　)
A.0 B.-1
C.2 D.4
10.已知函数f(x)=x3-12x+a,若f(x)在区间[-1,3]上的最大值为10,则f(x)在该区间上的最小值为　　　　.
11.若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
12.设函数f(x)=x3-x2-mx.
(1)若f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,求m的取值范围;
(2)若x=-1是函数的极值点,求函数f(x)在[0,5]上的最小值.
13.已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
题组三　三次函数的极值与最值的综合应用
14.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为　(　　)
A.(-24,8) B.(-24,1]
C.[1,8] D.[1,8)
15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在定义域[-2,2]上的图象过原点,且其图象在x=±1处的切线的斜率均为-1.有以下结论:
①f(x)是奇函数;
②若f(x)在[s,t]内单调递减,则|t-s|的最大值为4;
③若f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=0;
④若 x∈[-2,2],k≤f'(x)恒成立,则k的最大值为2.
其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值
基础过关练
1.B　由题意得f'(x)=x2+2bx+b+2,
∵f(x)在R上单调递增,
∴x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立,
∴Δ≤0,即b2-b-2≤0,
解得-1≤b≤2.
2.AC　由题意得f'(x)=x2+2ax+a2-1,则f'(x)的图象开口向上.当a=0时, f'(x)=x2-1,为偶函数,其图象可以为A中的图象.当a≠0时, f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,∴f'(x)的图象可以为C中的图象.故选AC.
3.D　由题意可得f'(x)=6x2-2mx(m>0),
令f'(x)<0,解得0即函数f(x)的单调递减区间为,
∴b-a=≤2,
∴m≤6,即m的最大值为6.
故选D.
4.B　f'(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,
如果函数f(x)在区间[-1,2]上单调,
那么a-1≥0或即a≥1或
所以a≥1或a≤-3,
所以当函数f(x)在区间[-1,2]上不单调时,-35.解析　(1)由题意知f'(x)=3x2-6ax,
则解得
(2)由(1)知f'(x)=3x2-6ax,
令f'(x)=0,得x=0或x=2a.
当a=0时, f'(x)≥0恒成立,当且仅当x=0时取等号,此时函数f(x)在R上单调递增;
当a>0时,若x∈(-∞,0)或x∈(2a,+∞),则 f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
若x∈(0,2a),则 f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当a<0时,若x∈(-∞,2a)或x∈(0,+∞),则 f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
若x∈(2a,0),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上,当a=0时,函数f(x)在R上单调递增;当a>0时,函数f(x)在
(-∞,0),(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减;当a<0时,函数f(x)在
(-∞,2a),(0,+∞)上单调递增,在(2a,0)上单调递减.
6.解析　f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根,
∴=1,∴a=0.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.
又∵二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一个根为-1,
∴≥1,∴a≤0.
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.
7.C　f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时, f'(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,因此函数f(x)无最大值和最小值,也无极值,故选C.
8.A　由题得f'(x)=-3x2+2mx,令f'(x)=0,得x=或x=0,因为f(x)在区间(0,2)上的极大值为最大值,所以0<<2,所以09.B　由题意可得f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),
因为x=1是函数f(x)=ax3-3x2的极小值点,
所以f'(1)=0,即3×1×(a-2)=0,解得a=2,故f'(x)=6x(x-1),
当x<0或x>1时, f'(x)>0,
当0所以x=1是函数f(x)=2x3-3x2的极小值点,满足题意,
所以函数的极小值为f(1)=2×13-3×12=-1.故选B.
10.答案　-17
解析　由题得f'(x)=3x2-12.
由f'(x)=0可得x=2或x=-2.
由f(2)=8-24+a=a-16, f(-1)=-1+12+a=a+11, f(3)=27-36+a=a-9,
可得f(2)则f(x)在区间[-1,3]上的最小值为f(2)=a-16=-1-16=-17.
11.答案　(-1,0)
解析　∵f(x)=3x-x3,∴f'(x)=3-3x2,
令f'(x)=0,得3-3x2=0,解得x=±1,
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∵f(x)在(a-1,a)上有最小值,
∴-1∈(a-1,a),
∴解得-1易得f(-1)=-3-(-1)=-2,
令f(x)=-2,得x3-3x-2=0,
即(x+1)2(x-2)=0,解得x=-1(二重根)或x=2,
因此a≤2.②
由①②知a的取值范围是(-1,0).
易错警示
　　由函数的最大(小)值确定参数的取值范围时不仅要考虑极值点,还要考虑端点处的函数值.
12.解析　(1)由题意得f'(x)=x2-2x-m<0在(0,+∞)上有解,
故m>x2-2x在(0,+∞)上有解.
易知二次函数y=x2-2x在(0,+∞)上的最小值为-1,所以m>-1,
因此m的取值范围是(-1,+∞).
(2)由题意得f'(-1)=1+2-m=0,解得m=3,
故f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3,
当x∈(0,3)时, f'(x)<0,函数f(x)递减.
当x∈(3,5)时, f'(x)>0,函数f(x)递增.
故f(x)在[0,5]上的极小值,也是最小值,为f(3)=-9.
13.解析　f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
若a≤0,则f'(x)≤0,且f'(x)=0仅在个别点处成立,故函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x=0时, f(x)取得最大值,为f(0)=0.
若a>0,令f'(x)=0,解得x=±.
因为x∈[0,1],所以只考虑x=的情况.
①若0<<1,即0则当0≤x<时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当②若≥1,即a≥1,
则当0≤x≤1时, f'(x)≥0,且f'(x)=0仅在个别点处成立,故函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以当x=1时, f(x)取得最大值,为f(1)=3a-1.
综上可知,当a≤0时, f(x)的最大值为f(0)=0;当014.D　f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1或x=3.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示:
x [-2,-1) -1 (-1,3) 3 (3,5]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故当x=3时,函数f(x)取得极小值,为f(3)=33-3×32-9×3+3=-24,
又因为f(-2)=(-2)3-3×(-2)2-9×(-2)+3=1,所以f(x)的最小值为f(3),即-24.
当x=-1时,函数f(x)取得极大值,为 f(-1)=(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+3=8,
又因为f(5)=53-3×52-9×5+3=8,所以函数f(x)的最大值为f(5)或f(-1),即8.
作函数f(x)在[-2,5]上的大致图象如图所示:
由图象可知,当m∈[1,8)时,函数f(x)的图象与直线y=m有三个交点.因此当m∈[1,8)时,函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点.
故m的取值范围为[1,8).
15.B　∵f(x)=x3+ax2+bx+c在定义域[-2,2]上的图象过原点,∴f(0)=0,∴c=0.
易得f'(x)=3x2+2ax+b,
∵f(x)的图象在x=±1处的切线斜率均为-1,
∴f'(1)=f'(-1)=-1,
即解得
∴f(x)=x3-4x, f'(x)=3x2-4,x∈[-2,2].
①中,∵f(-x)=-x3+4x=-f(x),且定义域为[-2,2],关于原点对称,∴f(x)是奇函数,①正确;
②中,由f'(x)≤0得-≤x≤,则f(x)在内单调递减,若f(x)在[s,t]内单调递减,则tmax=,smin=-,故|t-s|的最大值为,②错误;
③中,由奇函数的图象关于原点对称可知,最大值与最小值互为相反数,则M+m=0,③正确;
④中,当x∈[-2,2]时, f'(x)=3x2-4∈[-4,8],则k≤-4,则k的最大值为-4,④错误.
综上可知,正确结论的序号为①③.
故选B.(共25张PPT)
1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值
1.3.4　导数的应用举例
1 | 利用导数研究函数的最大（小）值问题
1.一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该
函数在[a,b]上必有最大值和最小值,且必在极值点或区间端点处取得.
2.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最值的步
骤如下:
(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;
(2)求函数f(x)在端点处的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值.
注意:不要忽略将所求极值与区间端点处的函数值进行比较的过程.
　　利用导数解决优化问题的基本思路:
2 | 利用导数研究生活中的优化问题
1.如果在(a,b)上单调递增的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么f(x)有最值吗
没有.f(x)的值域是(f(a),f(b)),无最值.
2.函数的极值和最值有何差别 函数的最值是否唯一
函数的极值是一个局部概念,只是描述在某个点附近的函数值的特征,并不意味
着函数在整个定义域内存在最值;函数的最值是唯一的.
3.已知函数f(x)的定义域为[a,b],则它的最大(小)值点一定是极值点吗
不一定.也有可能是a,b两个端点,如y=x2在区间[1,2]上的最大值为4,最小值为1,但
其在区间[1,2]上并不存在极大值和极小值.
4.在实际问题中,如果建立的函数模型在定义域内只有一个极值点,怎样求函数的
最值
可以根据函数的变化趋势判断,函数在该极值点处取得最值.
知识辨析
　　含有参数的函数的最值问题一般有两类:
一类是求含有参数的函数的最值,对于此类问题,参数的取值范围不同会导致函
数的单调性变化,从而导致最值变化,因此求解时常常需要分类讨论,在分类讨论
解决函数的单调性的基础上,比较极值与端点值的大小,进而得到最值.
另一类是由最值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值问题的
逆向运用,求解此类问题的步骤如下:
(1)求导数f'(x),并求极值;
(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变
化影响着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的关系式,求解即可.
1 含参数的函数的最值问题
典例1　已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
思路点拨　求f'(x) 令f'(x)=0 对a进行分类讨论 得出f(x)的单调性
求函数的最值.
解析 由题意得, f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a).
令f'(x)=0,得x=- 或x=a.
①当a>0时, f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a处取得极
小值,也是最小值,即f(x)min=f(a)=-a3;
②当a=0时, f'(x)=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以
f(x)min=f(0)=0;
③当a<0时, f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以f(x)在x=- 处取
得极小值,也是最小值,即f(x)min=f = a3.
综上所述,当a>0时, f(x)的最小值为-a3;
当a=0时, f(x)的最小值为0;
当a<0时, f(x)的最小值为 a3.
解题模板 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)与0的关系.若导函数f'(x)≥
0或f'(x)≤0恒成立,且等号不恒成立,则函数在已知区间上是单调函数,最值在区间
端点处取得,否则需分类讨论求出极值,再与区间端点值比较后确定最大(小)值.
典例2　已知函数f(x)=ln x+ .
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是 ,求a的值.
思路点拨 (1)求f'(x) 求函数的单调区间.
(2)对a进行分类讨论,分别求出各种情况下的函数f(x)在[1,e]上的最小值 根据
最小值是 列方程 求出a的值.
解析 (1)函数f(x)=ln x+ 的定义域为(0,+∞), f'(x)= - = ,
∵x>0,a<0,∴f'(x)>0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
(2)分如下情况讨论:
①当a<1时, f'(x)>0,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a<1,与最小值是
矛盾;
②当a=1时,f'(x)≥0,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=1,与最小值是 矛
盾;
③当10,∴函数f(x)在[1,a)上单调递
减,在(a,e]上单调递增,
∴函数f(x)的极小值,也是最小值,为f(a)=ln a+1,由ln a+1= ,得a= ;
④当a=e时,f'(x)≤0,函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=2,与最小值是 矛
盾;
⑤当a>e时,f'(x)<0,函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+ >2,与最小值是
矛盾.
综上所述,a的值为 .
1.解决不等式恒成立问题的方法
(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最值或数形结合解决
有关不等式恒成立问题.
(2)将主元与参数分离变量,将不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解决.
在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,可转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有
f(x)≤a成立,可转化为f(x)max≤a.
2.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为函数最值问题来证明.
2 利用函数的最值解决与不等式有关的问题
典例　设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)在(1)的基础上,若h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在(1)的基础上,若对任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+n,求实数n的取值范围.
思路点拨 (1)将f(x)配方 利用二次函数的性质求最小值h(t).
(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),t∈(0,2) 求g(t)的最大值 根据恒成立列不等
式 解得实数m的取值范围.
(3)求h'(t) 求h(t)在区间(0,2)上的最大值 令φ(t)=-2t+n 根据恒成立列不
等式 解得实数n的取值范围.
解析 (1)由题意得f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时, f(x)取得最小值,为f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)记g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t∈(0,2),则g'(t)=-3t2+3,
令g'(t)=0,得t=1或t=-1(舍去).
当t变化时,g'(t)与g(t)的变化情况如表所示.
∴当t=1时,g(t)取得极大值,也是最大值,为g(1)=1-m.
∵h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,
∴g(t)<0对任意t∈(0,2)恒成立,
即g(t)在(0,2)内的最大值小于0,
t (0,1) 1 (1,2)
g'(t) + 0 -
g(t) ↗ 极大值 ↘
∴1-m<0,
∴m>1.
∴m的取值范围为(1,+∞).
(3)由(1)知h(t)=-t3+t-1,
∴h'(t)=-3t2+1,
令h'(t)=0,得t= 或t=- (舍负).
当00,
当 当t= 时,h(t)取得极大值,也是最大值,
∴当x∈(0,2)时,h(t)max=h =- + -1= .
令φ(t)=-2t+n,t∈(0,2),
则φ(t)>n-4.
由题意可知 ≤n-4,
解得n≥ .
∴实数n的取值范围为 .
1.利用导数解决实际问题时,常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、
效率最高等问题,求解时需要分析问题中各个变量之间的关系,抓主元,找主线,把
“问题情境”翻译为数学语言,抽象成数学问题,再选择合适的数学方法求解,最
后经过检验得到实际问题的解.
2.解决优化问题的方法并不单一,运用导数求最值是解决这类问题的有效方法,有
时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合,多举并用,达到最佳效果.
3 导数在解决实际问题中的应用
典例　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件
需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件
的销售收入为R(x)万元,且
R(x)=
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的利润最大
(注:年利润=年销售收入-年总成本)
思路点拨 (1)利用函数值与自变量之间的关系,分段得出函数解析式.
(2)根据(1)中得到的函数解析式的特点,利用导数和基本不等式,求出函数的最大
值及此时自变量的值.
解析 (1)当0当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x.
∴W=
(2)①当0且当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0,
∴当x=9时,W取得极大值,也是最大值,且Wmax=8.1×9- -10=38.6.
②当x>10时,W=98- ≤98-2 =38,
当且仅当 =2.7x,即x= 时,等号成立,
故当x= 时,Wmax=38.
综合①②知,当x=9时,W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的利润最大.
素养　通过导数及其应用发展逻辑推理和数学运算的素养
素养解读
　　一直以来,以函数与导数为背景的题目都是高考题中的压轴题,着重考查
“四能”以及逻辑推理和数学运算的核心素养,发展探究、创新意识.这类题的
命制一般包含两个方面,一方面是求含参函数的有关性质,解题时需要对参数进
行分类讨论,主要运用分类讨论思想,通过掌握基本形式和规则,探索和表述解题
过程;另一方面是综合考查函数的单调性、极值、最值、零点等知识,求解时需
要结合转化与化归思想、函数与方程思想等,通过理解运算对象、掌握运算法
则、探究运算思路求得运算结果.
典例呈现
例题　已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时, f(x)≥ x3+1,求a的取值范围.
解题思路 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f(x)≥ x3+1等价于 e-x≤1.
设函数g(x)= e-x(x≥0),
则g'(x)=- e-x
=- x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x
=- x(x-2a-1)(x-2)e-x.
由g'(x)=0,得x1=2a+1,x2=2,x3=0,而定义域是[0,+∞),故g'(x)的正负与0,2,2a+1的大小
有关,故需进行分类讨论.
(i)若2a+1≤0,即a≤- ,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2)上单调递增,
而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不符合题意.
(ii)若0<2a+1<2,即- 当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.
由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥ .
所以当 ≤a< 时,g(x)≤1.
(iii)若2a+1≥2,即a≥ ,则g(x)≤ e-x.
由于0∈ ,故由(ii)可得 e-x≤1.
故当a≥ 时,g(x)≤1.
综上,a的取值范围是 .
思维升华
　　与导数相关的题目主要以压轴题的形式出现,相对比较综合,难度较大.不要
错误地认为完成了解题思路就理解了此类问题,应该勤下笔、勤反思、多计算、
多思考,增强数学运算、逻辑推理能力以及创新能力,争取做到举一反三,灵活解
决问题.第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.4　导数的应用举例
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　利用导数研究函数的最值
1.函数f(x)=x+2cos x在上的最大值为(　　)
A.2 B.+
C.+1 D.+
2.已知函数f(x)=x3-3x+2,则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为(　　)
A.-3e B.-2e C.e D.2e
3.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值为(　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
4.已知函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-e,2) B.(-e,1-e)
C.(1,2) D.(-∞,1-e)
5.若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=ln x的图象分别交于点P,Q,当P,Q两点距离最近时,a=(　　)
A. B. C.1 D.
6.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)在上的最大值为　　　　.
7.已知函数f(x)=+ln x-1.
(1)求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间上的最大值.
题组二　利用导数解决优化问题
8.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为(　　)
A. B.
C. D.2
9.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品的零售价定为P(单位:元),则销售量Q(单位:件)与零售价P有如下关系:Q=8 300-170P-P2.则该商品的零售价定为　　　　元时毛利润最大(毛利润=销售收入-进货支出).
10.将一块2 m×6 m 的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求①至⑦全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)当x取何值时,水箱的容积最大
11.某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策,在对口帮扶单位的支持下建立了一个工厂,已知该工厂生产每件产品的成本为a元,当每件产品的售价为x(3≤x≤8)元时,年销量为(9-x)2万件.当每件产品的售价定为6元时,年利润为27万元.
(1)试求每件产品的成本a的值;
(2)求当每件产品的售价定为多少元时,年利润最大,并求出最大年利润.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　函数最值的求解与应用
1.已知定义在[m,n]上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的个数为(　　)
①f(x)的值域为[f(d), f(n)];
②f(x)在[a,b]上单调递增,在[b,d]上单调递减;
③f(x)的极大值点为x=c,极小值点为x=e;
④f(x)有两个零点.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知函数f(x)=ln x,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)恒成立,则实数k的最大值是(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.(多选)已知定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,则下列说法中正确的是(　　)
A.函数g(x)=-2是函数f(x)=的一个承托函数
B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数
C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e]
D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数
4.已知λ>0,对任意的x∈(0,+∞),不等式e2λx-≥0恒成立,则λ的最小值为　　　　.
5.已知函数f(x)=-m(m∈R),若当x∈(0,+∞)时,函数f(f(x))与f(x)有相同的最小值,则实数m的最小值为　　　　.
6.已知函数f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)ln x,若f(x1)=g(x2)=m>1,则的最小值为　　　　.
7.已知函数f(x)=x3-ax2+1,a>0.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)是否存在实数a,使得f(x)在[0,2]上的最小值为 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
8.已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,且对任意x∈(0,+∞), f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(3)当x>y>e-1时,求证:ex-y>.
题组二　利用导数解决优化问题
9.如图所示,在等腰梯形ABDE中,AE=ED=BD=a,当等腰梯形ABDE的面积最大时,θ=(　　)
A. B. C. D.
10.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产1万吨该产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)=则总利润最大时,年产量是(　　)
A.100万吨 B.150万吨
C.200万吨 D.300万吨
11.如图是一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥.当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为　　　　 m时,帐篷的体积最大.
12.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位:L/h)关于行驶速度x(单位:km/h)的解析式为y=x3-x+8(0(1)当该种型号的汽车以40 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量为多少
(2)当该种型号的汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少 最少为多少
答案与分层梯度式解析
第1章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.4　导数的应用举例
基础过关练
B　易求得f'(x)=1-2sin x,由f'(x)>0得sin x<,∵x∈,∴x∈,
∴当x∈时,函数f(x)单调递增.由f'(x)<0得
sin x>,∵x∈,∴x∈,∴当x∈时,函数f(x)单调递减.
∴x=是函数f(x)在上的极大值点,∴函数的极大值,也是最大值,为f=+2cos =+2×=+,故选B.
2.B　因为f(x)=x3-3x+2,所以f'(x)=x2-3,
则g(x)=f'(x)ex=(x2-3)ex,
则g'(x)=(x2+2x-3)ex,令g'(x)=0,解得x=-3或x=1,
当0≤x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当10,g(x)单调递增,
所以当x=1时,函数g(x)取得极小值,也是最小值,为g(1)=-2e.
故选B.
3.C　由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-.
令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).
当x∈(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,
所以当x=1时, f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1.
由题意知m≥1,因此实数m的最小值为1.故选C.
4.A　由题意得f'(x)=ex+3x2+a-3,易知f'(x)在区间(0,1)上单调递增,若f(x)在区间(0,1)上有最小值,
则即
解得-e这时存在x0∈(0,1),使得f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增,
即函数f(x)在(0,1)上有极小值,也是最小值,
所以a的取值范围是(-e,2).
故选A.
5.D　由题意知|PQ|=a2+1-ln a.设h(x)=x2+1-ln x(x>0),则h'(x)=2x-=(x>0),令h'(x)=0,得4x2-1=0,解得x=(负值舍去).
当x在(0,+∞)上变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表:
x
h'(x) - 0 +
h(x) ↘ 极小值 ↗
由表可知,当x=时,h(x)取得极小值,也是最小值,
因此,当|PQ|最小,即P,Q两点距离最近时,a的值为,故选D.
6.答案　2ln3-
解析　因为f(x)=2ln x+ax2-3x,所以f'(x)=+2ax-3,
由题意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=,则f(x)=2ln x+x2-3x,f'(x)=+x-3=,
令f'(x)=0,可得x=1或x=2,当x在上变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x 1 (1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-,极小值为f(2)=2ln 2-4,
又因为 f(3)=2ln 3-,
且f(3)-f(1)=2ln 3-+=2ln 3-2=2(ln 3-1)>0,所以f(1)所以 f(x)max=f(3)=2ln 3-.
7.解析　(1)易得f'(x)=-+=,
因此f'(2)==,即曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线的斜率为.
又因为f(2)=ln 2-,
所以曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y-=(x-2),即x-4y+4ln 2-4=0.
(2)由(1)知,f'(x)=,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(1,e]时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
因为f=e-2, f(e)=,且e-2>,
所以f(x)在区间上的最大值为f=e-2.
8.C　设底面边长为x(x>0),则直三棱柱的表面积S=x2+V,∴S'=(x3-4V),当0时,S'>0,故当x=时,S取得极小值,也是最小值.因此,当x=时,该直三棱柱的表面积最小.
9.答案　30
解析　设毛利润为L(P)元.由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,则L'(P)=-3P2-300P+11 700,
令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
因为在P=30附近的左侧L'(P)>0,右侧L'(P)<0.
所以L(30)是L(P)的极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是毛利润L(P)的最大值,且L(30)=23 000.
故答案为30.
10.解析　(1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为=(3-x)m,
故y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8x2+6x(0(2)由(1)得y'=6x2-16x+6,
令y'=0,
解得x=(舍去)或x=,
所以y=2x3-8x2+6x(0所以当x=时,水箱的容积最大.
11.解析　(1)设该产品的年利润为y万元,则y=(x-a)(9-x)2(3≤x≤8),
当x=6时,y=9×(6-a)=27,解得a=3.
(2)由(1)知y=(x-3)(9-x)2(3≤x≤8),
则y'=(x-9)2+2(x-3)(x-9)=(x-9)(3x-15),
由y'=0,得x=5或x=9(舍去).
当x∈[3,5)时,y'>0;当x∈(5,8]时,y'<0.
所以当x=5时,y取得极大值,也是最大值,为32.
故当每件产品的售价定为5元时,年利润最大,最大年利润为32万元.
能力提升练
1.B　根据题中导函数f'(x)的图象可知,
当x∈[m,c)时, f'(x)>0,∴函数f(x)在[m,c)上单调递增,
当x=c时, f'(x)=0,
当x∈(c,e)时, f'(x)<0,∴函数f(x)在(c,e)上单调递减,
当x=e时, f'(x)=0,
当x∈(e,n]时, f'(x)>0,∴函数f(x)在(e,n]上单调递增,∴函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,故②错误,③正确;
根据上述f(x)的单调性可知,函数f(x)的最小值为f(m)或f(e),最大值为f(c)或f(n),故①错误;
当f(m)>0且f(e)>0时,函数无零点,故④错误.故选B.
2.B　∵f(x)=ln x,∴f(x1)-f(x2)=ln x1-ln x2=ln .
∵[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)恒成立,且x1,x2∈(0,+∞),
∴k≤ln -ln 恒成立,
令t=(t>0),g(t)=tln t-ln t(t>0),
则g'(t)=ln t+1-(t>0),
易知g'(t)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=0,
∴当t∈(0,1)时,g'(t)<0,g(t)单调递减,
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
∴g(t)min=g(1)=0,∴k≤0.
故实数k的最大值是0.故选B.
3.BC　对于A,∵当x>0时, f(x)=ln x∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2不能对一切实数x都成立,故A错误.
对于B,令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1,∵t(x)≥0对一切实数x恒成立,
∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数,故B正确.
对于C,令h(x)=ex-ax,则h'(x)=ex-a,
若a=0,由题意知,结论成立;
若a>0,令h'(x)=0,得x=ln a,
易知函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数,
∴当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a,
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,∴a-aln a≥0,∴ln a≤1,∴0若a<0,则当x→-∞时,h(x)→-∞,故不成立,
综上,当0≤a≤e时,函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,故C正确.
对于D,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立,
故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC.
4.答案　
解析　原不等式可变形为2λe2λx-ln x≥0.
令f(x)=2λe2λx-ln x,x>0,
则f'(x)=4λ2e2λx-,易知f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
且存在唯一零点x0>0,满足4λ2-=0,
则=,该式左右两边同时取对数,得ln(4λ2)+2λx0=-ln x0,
∴f(x0)=2λ-ln x0=2λ×+ln(4λ2)+2λx0≥0,即ln(4λ2)+2λx0+≥0,∵x0>0,λ>0,
∴2λx0+≥2=2,当且仅当λx0=时取等号,
∴ln(4λ2)+2≥0,∴λ≥.
故答案为.
5.答案　e-1
解析　易得f'(x)=.当x∈(0,+∞)时,令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,即f(x)min=f(1)=e-m.
对于函数f(f(x)),设t=f(x),则f(f(x))=f(t),
当且仅当t=1时f(t)取到最小值e-m,
所以1=-m,x>0有解,
所以m=-1,x>0有解,令g(x)=-1,x>0,
则g'(x)=,则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,即g(x)min=g(1)=e-1,即m的最小值为e-1.
6.答案　e
解析　g(x)=(x+1)ln x=(eln x+1)ln x=f(ln x),
则f(x1)=f(ln x2)=m(m>1),
易知f(x1)=x1(+1)>1,所以x1>0,
当x>0时,函数f(x)的导函数 f'(x)=(x+1)ex+1>0恒成立,
所以f(x)=x(ex+1)在(0,+∞)上单调递增,所以x1=ln x2,
则====,
令h(x)=(x>1),则h'(x)=(x>1),
当x∈(1,e)时,h'(x)<0;
当x∈(e,+∞)时,
h'(x)>0,
所以h(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,
又h(e)==e,
所以的最小值为e.
7.解析　(1)当a=1时, f(x)=x3-x2+1, f'(x)=x2-2x, f'(1)=-1,又因为f(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-=-(x-1),即3x+3y-4=0.
直线3x+3y-4=0在x轴、y轴上的截距均为,
因此,所求三角形的面积为××=.
(2)存在实数a,使得f(x)在[0,2]上的最小值为.
易得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),令f'(x)=0得x=2a或x=0.
当0<2a<2,即0x (0,2a) 2a (2a,2)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 1- 单调递增
则f(x)在[0,2]上的极小值,也是最小值,为f(2a)=1-=,解得a=;
当2a≥2,即a≥1时, f'(x)≤0在[0,2]上恒成立,且f'(x)=0仅在有限个点处成立,此时f(x)单调递减,
故f(x)min=f(2)=-4a=,解得a=<1,舍去.
综上,存在a=,使得f(x)在[0,2]上的最小值为.
8.解析　(1)易知函数的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=a-=.
当a≤0时, f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,没有极值点;
当a>0时,令f'(x)<0,得00,得x>,
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,即f(x)在x=处取得极小值,无极大值.
综上,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上没有极值点;当a>0时, f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)由(1)知,f'(x)=.
∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(1)=0,∴a=1,
∴f(x)≥bx-2 1+-≥b,
令g(x)=1+-,
则g'(x)=--=,
令g'(x)=0,得x=e2,
易知g(x)在(0,e2]上单调递减,在[e2,+∞)上单调递增,
∴g(x)在x=e2处取得极小值,也是最小值,即g(x)min=g(e2)=1-,∴b≤1-.
(3)证明:当x>y>e-1时,不等式ex-y>等价于>,
令H(x)=,x>e-1,则只需证明H(x)在(e-1,+∞)上单调递增.
易得H'(x)=,x>e-1,
令h(x)=ln(x+1)-,x>e-1,易知h(x)在(e-1,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(e-1)=1->0,即H'(x)>0,
∴H(x)在(e-1,+∞)上单调递增,
即>,
∴当x>y>e-1时,ex-y>.
9.B　如图,过点D作DC⊥AB于点C,
设等腰梯形ABDE的面积为S,
则S=(AB+ED)·CD,
因为AB=a+2acos θ,CD=asin θ,
所以S=(a+2acos θ+a)·asin θ=a2sin θ(1+cos θ),则S'=a2·(2cos2θ+cos θ-1),令S'=0,得cos θ=或cos θ=-1,由于0<θ<,所以cos θ≠-1,所以cos θ=,此时θ=.当θ∈时,S'>0;当θ∈时,S'<0.故当θ=时,S取得极大值,也是最大值.故选B.
10.D　当年产量为x万吨时,总成本为(20 000+100x)元,设总利润为f(x)元,
则f(x)=
即f(x)=
∴f'(x)=
①当0≤x≤400时,令f'(x)=0,得x=300,
由f'(x)<0得300由f'(x)>0得0≤x<300,此时f(x)是增函数,
∴当0≤x≤400时,f(x)的极大值,也是最大值,为f(300)=300×300-×3002-20 000=25 000;
②当x>400时, f(x)是减函数,
∴f(x)<60 000-100×400=20 000.
综上可知,当x=300时, f(x)有最大值.故选D.
11.答案　2
解析　设OO1=x m,则1由题意可得正六棱锥的底面边长为= m,
于是底面正六边形的面积为6××()2=(8+2x-x2)m2.
设帐篷的体积为V(x)m3 ,则V(x)=(8+2x-x2)×1+×(8+2x-x2)×(x-1)=(16+12x-x3),
则V'(x)=(12-3x2).
令V'(x)=0,解得x=-2(不符合题意,舍去)或x=2.
当10,V(x)单调递增;
当2所以当x=2时,V(x)取得极大值,也是最大值.
综上所述,当x=2时,V(x)最大.
12.解析　(1)该种型号的汽车以40 km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5 h,
故耗油量为×2.5=17.5 L.
(2)当该种型号的汽车匀速行驶的速度为x km/h时,从甲地到乙地需 h,设耗油量为H(x)L,
依题意得H(x)==-+(0则H'(x)=-=(0令H'(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,H'(x)<0;当x∈(80,120]时,H'(x)>0.所以当x=80时,H(x)取得极小值,也是最小值,为11.25.
故当该种型号的汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少,最少为11.25 L.

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