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第2章　空间向量与立体几何
2.1　空间直角坐标系
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　确定空间点的坐标
1.已知点Q是点P(1,-2,5)在坐标平面xOz内的投影,则点Q的坐标为(　　)
A.(1,0,5) B.(0,-2,5)
C.(1,-2,0) D.(1,2,5)
2.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点M是点N(3,4,5)在坐标平面xOy内的投影,则点M的坐标是(　　)
A.(3,0,5) B.(0,4,5)
C.(3,4,0) D.(0,0,5)
3.在空间直角坐标系中,若点A(-2,1,4)关于点B(-2,0,0)的对称点为C,则点C的坐标为(　　)
A.(-2,-1,-4) B.(-4,-1,-4)
C.(-6,1,4) D.
4.(多选)在空间直角坐标系O-xyz中,已知点P(1,2,3),下列叙述正确的是(　　)
A.点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3)
B.点P关于y轴对称的点的坐标为(-1,2,-3)
C.点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3)
D.点P关于yOz平面对称的点的坐标为(1,-2,3)
5.在空间直角坐标系O-xyz中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的投影的坐标为　　　　.
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AD|=2,|DC|=4,|DD1|=3,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
(1)求点B1,C1,D1,A的坐标;(2)若E为C1D1的中点,试求点E的坐标.
题组二　空间两点间的距离公式的应用
7.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点对称的点为B,则|AB|等于(　　)
A.12 B.9 C.25 D.10
在空间直角坐标系中,已知A(1,
-2,1),B(2,2,2),点P在x轴上,且满足|PA|=|PB|,则点P的坐标为(　　)
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(-3,0,0)
9.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,-2,3)关于平面xOz对称的点为B,则线段AB的长度为　　　　.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.以D为原点建立空间直角坐标系,已知点N的坐标为(2,1,0),则点M的坐标为　　　　　,线段MD,MN的长度分别为　　　　　　.
能力提升练　　　　　
题组　空间两点间的距离公式的综合应用
1.在空间直角坐标系O-xyz中,若点P(1,-3,2)在平面xOz上的投影点为B,则线段OB的长度为(　　)
A. B. C. D.3
2.(多选)已知空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是(　　)
A.点P到原点O的距离是
B.点P到x轴的距离是
C.点P到平面xOy的距离是3
D.点P到平面yOz的距离是3
3.设点A(1,2,2),B(3,4,-8),C(1,2,3),点C关于xOy平面对称的点为D,则线段AB的中点P到点D的距离为(　　)
A.2 B. C. D.
4.已知点A(t,3,1),B(3,-t,3),则A,B两点间的距离的最小值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
5.一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面xOy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线所走的路程是(　　)
A. B.
C. D.
6.如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为面BB1C1C内的一个动点,E,F分别为BD1的三等分点,则△PEF的周长的最小值为(　　)
A.4 B.+
C.3+ D.+
7.已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为　　　　.
8.已知点P(1,1,2)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,则点P关于x轴对称的点Q的坐标为　　　　.若点P在平面xOy上的投影点为M,则四面体O-PQM的体积为　　　　.
9.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问:
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|
(2)在y轴上是否存在点N,使△NAB为等边三角形 若存在,试求出点N的坐标.
10.已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0(1)求MN的长;
(2)a为何值时,MN最短
答案与分层梯度式解析
第2章　空间向量与立体几何
2.1　空间直角坐标系
基础过关练
1.A　
2.C　
3.A　由已知得B为AC的中点,所以由中点坐标公式可求得C(-2,-1,-4).故选A.
4.ABC　
5.答案　(-4,0,-6)
解析　设点M关于y轴对称的点是M',则M'(-4,7,-6),点M'在xOz平面上的投影的坐标为(-4,0,-6).
6.解析　(1)设B1(x1,y1,z1).过点B1向三个坐标平面yDz,xDz,xDy作垂线,分别交平面yDz,xDz,xDy于点C1,A1,B,故|x1|=|B1C1|=2,|y1|=|B1A1|=4,|z1|=|B1B|=3,由图可知x1,y1,z1均为正数,故点B1的坐标是(2,4,3).同理可求得C1(0,4,3),D1(0,0,3),A(2,0,0).
(2)因为E是C1D1的中点,C1(0,4,3),D1(0,0,3),所以由中点坐标公式得点E的坐标为(0,2,3).
7.D　
8.A　由题意可设P(x,0,0),由|PA|=|PB|,可得=,解得x=3.故点P的坐标为(3,0,0).故选A.
方法技巧
　　若已知两线段间的数量关系求点的坐标,则往往设出点的坐标,利用空间两点间的距离公式列方程求解.
9.答案　4
解析　易得点A(1,-2,3)关于平面xOz对称的点为B(1,2,3),所以|AB|=|-2-2|=4.
10.答案　(1,2,3);,
解析　因为D是原点,且N(2,1,0).
所以可得M(1,2,3).
由空间两点间的距离公式,得
|MD|==,
|MN|==.
能力提升练
1.A　易得点P(1,-3,2)在平面xOz上的投影点为B(1,0,2),所以|OB|==.故选A.
2.AD　由题可知,|OP|==,A中说法错误;由点P的坐标可知,点P到x轴的距离为=,点P到平面xOy、平面yOz的距离分别为3,1,故B、C中说法正确,D中说法错误.故选AD.
规律总结
　　已知空间直角坐标系O-xyz中一点P(x0,y0,z0),则点P到x轴、y轴、z轴的距离分别为,,,点P到原点的距离为,点P到平面xOy、平面yOz、平面xOz的距离分别是|z0|,|x0|,|y0|.
3.C　由题意得D(1,2,-3),由中点坐标公式得点P的坐标为(2,3,-3),所以|PD|==.故选C.
4.C　|AB|==≥.
5.D　设点P(1,1,1)关于平面xOy对称的点为R,则R(1,1,-1),故光线所走的路程是|RQ|==.故选D.
6.D　作点E关于面BCC1B1的对称点E',连接E'F,交面BCC1B1于点P0,连接P0E.
任取面BCC1B1内的点P1(不含P0),此时|P1E|+|P1F|=|P1F|+|P1E'|>|FE'|=|P0E|+|P0F|,所以当点P在点P0的位置时,|PE|+|PF|最小.
以D为坐标原点,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,3),B(3,3,0),因为E,F分别为BD1的三等分点,所以E(2,2,1),F(1,1,2),
易知点E到面BCC1B1的距离为1,
所以E'(2,4,1),
所以|E'F|==.
又因为|EF|=|BD1|=×=,
所以△PEF的周长的最小值为+.故选D.
7.答案　(5,13,-3)
解析　设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P,则P为AC,BD的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P的坐标为.又因为点B(2,-5,1),所以点D的坐标为(5,13,-3).
易错警示
　　要注意平行四边形ABCD和以A,B,C,D为顶点的平行四边形的区别,前者只有一解,后者有一解或多解.
8.答案　(1,-1,-2);
解析　易知点P(1,1,2)关于x轴对称的点Q的坐标为(1,-1,-2),点P在平面xOy上的投影点为M(1,1,0),设点Q在平面xOy上的投影点为Q',则Q'(1,-1,0),易知点Q到平面OPM的距离即为点Q'到平面OPM的距离,即为点Q'到直线OM的距离,即为|OQ'|=,因为S△OPM=|OM|×|PM|=,所以VO-PQM=××=.
9.解析　(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
因为点M在y轴上,所以可设M(0,y,0),
由|MA|=|MB|,
可得=,
显然,此式对任意y∈R恒成立.
所以在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
(2)假设在y轴上存在点N,使△NAB为等边三角形.
由(1)可知,|NA|=|NB|,
所以只要|NA|=|AB|,就可以使△NAB是等边三角形.设N(0,y',0),
因为|NA|==,
|AB|==2,
所以=2,解得y'=±.
故在y轴上存在点N,使△NAB为等边三角形,且点N的坐标为(0,,0)或(0,
-,0).
方法技巧
　　判断某点的存在性问题的求解方法是假设该点存在,设出该点坐标,然后列方程求解,若方程有解则说明假设成立,否则说明假设不成立.
10.解析　(1)因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形,所以AB⊥BE,AB⊥BC,因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE 平面ABEF,
所以BE⊥平面ABCD,所以AB,BC,BE两两垂直.
以B为原点,BA,BE,BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
则M,N,
所以|MN|=
=
=.
(2)因为|MN|=,0所以当a=时,|MN|min=.
技巧点拨
　　空间中的最值问题往往与某动点或动直线有关,此时往往将动点的坐标或动线段的长用参数表示,并建立关于该参数的函数关系式,从而转化为函数的最值问题,借助函数思想巧妙求解.(共15张PPT)
2.1　空间直角坐标系
1 | 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系:在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线
Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的长度单位,分别建立坐标轴,依次称为x轴、
y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz.
2.相关概念:在空间直角坐标系O-xyz中,点O叫坐标原点,由两条坐标轴确定的平
面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.
1.空间直角坐标系点的坐标的概念
在空间直角坐标系O-xyz中,若点P与有序实数组(x,y,z)之间为一一对应关系,此时,
有序实数组(x,y,z)称为点P的坐标,记作P(x,y,z),其中x称为点P的横坐标,y称为点P
的纵坐标,z称为点P的竖坐标.
2.特殊点的坐标
在空间直角坐标系中,原点O的坐标为(0,0,0),x轴上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的
点的坐标为(0,y,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z),xOy平面内的点的坐标为(x,y,0),yOz
平面内的点的坐标为(0,y,z),xOz平面内的点的坐标为(x,0,z).
记忆方法:无谁谁为0.
2 | 空间点的坐标表示
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则
|AB|= .
特别地,原点O到空间中任意一点P(x,y,z)的距离为|OP|= .
3 | 空间两点间的距离公式
知识拓展
1.线段中点坐标公式
已知空间中任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点M的坐标为
.
2.三角形重心坐标公式
已知△ABC的三个顶点分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心
G的坐标为 .
3.空间中的对称问题
在空间直角坐标系内,已知点P(x,y,z),则有如下结论:
(1)点P关于原点对称的点是P1(-x,-y,-z);
(2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x,-y,-z);
(3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x,y,-z);
(4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x,-y,z);
(5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x,y,-z);
(6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x,y,z);
(7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x,-y,z).
记忆方法:关于谁对称谁不变,其余坐标变为相反数.
1.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存
在唯一的对应关系
是.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点的坐标是唯一的有序实数组(x,y,
z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间中也有唯一的点与之对应.
2.在空间直角坐标系中,x轴上的点的坐标满足x=0,对吗
不对.x轴上的点的坐标形式为(x,0,0),即x轴上的点的坐标满足y=0,z=0.
3.在空间直角坐标系中,xOz平面上的点的坐标满足y=0,对吗
对.xOz平面上的点的坐标形式为(x,0,z).
4.空间两点间的距离公式对同在坐标平面内的两点适用吗
适用.空间两点间的距离公式适用于空间中任意两点,对同在某一坐标平面内的
两点也适用.
知识辨析
5.已知点A(3,4,5),则点A到原点O的距离是多少
由原点到空间中任意一点的距离公式得|OA|= =5 .
1.建立空间直角坐标系应遵循的原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
(2)充分利用几何图形的对称性;
(3)充分利用图中已有的垂直关系.
2.确定空间中点的坐标的方法
(1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影.方法是过点P作三个平面分别垂直于x
轴、y轴、z轴于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C的坐
标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则(x,y,z)就是点P的坐标.
(2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1,由 的长度及
其方向确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的
横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
1 空间直角坐标系点的坐标的确定
典例　在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是1,且侧棱AA1⊥底面ABC,试建
立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
解析 取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO,OO1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC,OO1
⊥BO,以O为原点,有向直线OB,OC,OO1分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立
空间直角坐标系,如图所示.

∵三棱柱的各棱长均为1,∴OA=OC=O1C1=O1A1= ,OB= ,
∵点A,B,C均在坐标轴上,
∴A ,B ,C .
由题意知A1,B1,C1在xOy平面内的射影分别为点A,B,C,且AA1=1,
∴A1 ,B1 ,C1 .
解题指导 需注意的是,空间点的坐标受空间直角坐标系的制约,同一个点在不
同的空间直角坐标系中的坐标一般是不同的,故本题若建立其他的空间直角坐标
系,则得到的各点的坐标也会随之改变.
1.计算空间两点间的距离
(1)若两点坐标已知,则直接代入空间两点间的距离公式求解.
(2)若点的坐标未知,则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系
求出点的坐标,再代入空间两点间的距离公式求解.
2.利用空间两点间的距离公式确定点的坐标
设出点的坐标,利用空间两点间的距离公式构造方程求解.此外,要注意点的坐标
的巧设,如在x轴上的点的坐标可设为(x,0,0),在xOy平面上的点的坐标可设为(x,y,
0).
3.根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长,从而判断三角形的形状.
2 空间两点间的距离公式的应用
典例 (1)已知△ABC的三个顶点分别为A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5),求△ABC中
最短边的边长及AC边上中线的长度;
(2)若点P在x轴上,它到点P1(0, ,3)的距离为它到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,求点P
的坐标;
(3)已知三角形的三个顶点分别为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试判断该三角形
的形状.
解析 (1)由空间两点间的距离公式得,
|AB|= =3,
|BC|= = ,
|AC|= = ,
∵ >3> ,
∴△ABC中最短的边是BC,其长度为 .
由中点坐标公式得,AC的中点坐标为 ,
∴AC边上中线的长度为
= .
(2)∵点P在x轴上,
∴不妨设点P(x,0,0),
则|P1P|= = ,
|P2P|= = .
∵|P1P|=2|P2P|,
∴ =2 ,
解得x=±1,
∴点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).
(3)易得|AB|=
=3,
|BC|= =3 ,
|AC|= =3.
∵|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2,
∴△ABC是等腰直角三角形.

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