资源简介

(共22张PPT)
2.2　空间向量及其运算
1.空间向量的基本概念
(1)定义:空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.
(2)向量的模:空间向量a的大小(或长度)称为a的模,记为|a|.
(3)表示:从空间中任意一点A出发作有向线段 ,使 的方向与a相同,长度与|a|
相等,则有向线段 表示向量a,记作a= .通常把A称为向量 的起点,B称为向
量 的终点.
1 | 空间向量的基本概念
2.几类特殊的空间向量
名称 定义
零向量 长度为0的向量
相等向量 方向相同且长度相等的向量
相反向量 方向相反、长度相等的向量
1.空间向量的加减法法则
　　平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立.
(1)对于空间任意两个向量a,b,在平面α内任取一点O,作 =a, =b, =b,则a+b=
,a-b= .
(2)对于空间三个或更多的向量的求和,与平面内多个向量的加法类似,可将它们
依次用首尾相接的折线来表示,则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点
所得的向量即为这些向量的和向量.
2 | 空间向量的加减法
2.空间向量的加法运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
1.向量与实数相乘的定义:任何一个向量a都可看作某平面上的向量,它与实数λ相
乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|=|λ||a|.
当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反.
空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算.
2.单位向量:长度为1的向量称为单位向量.
对于每个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单位向量e= a.
3.共线向量:对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或
平行,记作b∥a.
　　零向量与任意向量共线.
3 | 向量与实数相乘
4.空间向量与实数的乘法的运算律
(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb.
(2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a.
1.向量的夹角:作 =a, =b,则∠AOB称为向量a,b的夹角,记作,其取值范
围为[0,π].两向量同向时,夹角为0;两向量反向时,夹角为π.
2.向量的数量积:定义a·b=|a||b|·cos为a与b的数量积.
零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=0.
3.向量数量积的性质
(1)向量垂直的关系式: a⊥b a·b=0.
注:零向量与任意向量垂直.
(2)模长公式:a·a=|a|2=a2,|a|= .
(3)夹角公式:若a,b均为非零向量,则cos= .
4.向量数量积的运算律
(1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
4 | 向量的数量积
(2)交换律:a·b=b·a.
(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
5.向量数量积的几何意义
(1)投影向量与投影长:

　　如图,将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内,可得 =a, =b,=
α,过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则 为 在 方向上的投影向量,投影向量的
模| |=| ||cos α|称为投影长, 称| |cos α为 在 方向上的投影.
(2)数量积的几何意义:a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|·cos α的
乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.
知识拓展 空间向量的三角不等式
如果a,b都是空间向量,那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
1.相等向量一定是共线向量吗
是.若a,b相等,则a=b=1×b,符合共线向量的定义,故a与b是共线向量.
2.当a=0或b=0时,a,b的夹角为0,对吗
不对.因为零向量的方向可以任取,所以当a=0或b=0时,夹角可以在[0,π]中任
意选定.
3. 在 方向上的投影一定是非负数吗
不一定. 在 方向上的投影为| |·cos< , >,当< , >为钝角时,cos< ,
>为负数,此时 在 方向上的投影为负数.
4.对于空间内任意三个向量a,b,c,a·(b·c)=(a·b)·c一定成立吗
不一定.因为b·c,a·b的结果是实数,所以a·(b·c)是与a共线的向量,(a·b)·c是与c共线
的向量,而a,c不一定共线,所以a·(b·c)与(a·b)·c不一定相等.
知识辨析
空间向量的线性表示的步骤
(1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量;
(2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量.
1 空间向量的线性表示
典例　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设 =a, =b, =c,M,N,P分别
是AA1,BC,C1D1的中点.试用向量a,b,c表示以下各向量.
(1) ;(2) + .
解析 (1)∵P是C1D1的中点,∴ = ,
∴ = + + =a+ + =a+c+ =a+c+ b.
(2)∵M是AA1的中点,∴ = ,
∴ = + = + =- a+ = a+ b+c.
∵N是BC的中点,∴ = ,∴ = + = + = + = c+a.
∴ + = + = a+ b+ c.
技巧点拨 用已知向量表示未知向量时,一定要结合图形,以图形为指导,尤其要
注意利用图形中的三角形或平行四边形进行合理转化.
　　求解两点间距离问题时,转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模
的问题,然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式,求出已知向量两两
之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|= (推广公式:|a±b|= =
)求解即可.
2 利用数量积求距离问题
典例　如图,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,并
且| |=6,求 及线段PC的长.
解析 易知PA⊥AD,PA⊥DC,且 = + + ,
∴ =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =62+42+32+0+
0+2| || |cos 120°=61-12=49.∴| |=7.线段PC的长即为 的模,即为7.
1.求空间两个向量的夹角的方法
(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;
(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后确定.
2.求两条异面直线所成的角的步骤
(1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量;
(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;
(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值;
(4)由于异面直线所成的角为锐角或直角,因此向量夹角的余弦值的绝对值等于
异面直线所成的角的余弦值,进而求出异面直线所成的角的大小.
3 利用数量积求解夹角问题
典例　在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　 .
解析 设三棱柱的底面边长和侧棱长都为1,
因为 = + , = - = + - ,
所以| |2=( + )2= +2 · + =2+2cos 60°=3,| |2=( + - )2=
+ + +2 · -2 · -2 · =2,
又因为 · =( + )·( + - )= · + · - + · + -
· = + -1+ +1- =1,
所以cos< , >= = = .
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .
答案
1.由数量积的性质a⊥b a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行
的非零向量,然后证明这两个向量的数量积为0即可.
2.用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题;
(2)用已知向量表示所证向量;
(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0;
(4)将向量问题回归到几何问题.
4 利用数量积证明两直线垂直
典例　如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,求证:AO,BO,CO两两垂直.
思路点拨　因为正四面体的各条棱长都相等,且相邻两条棱的夹角为60°,所以可
以用同一起点的向量表示 , , ,从而利用数量积的运算证明垂直关系.
证明 设 =a, =b, =c,正四面体的棱长为1,则 = + = + × ( +
)= + ( - + - )= (a+b+c), = - = - = (b+c-5a), = -
= - = (a+c-5b), = - = - = (a+b-5c),
所以 · = (b+c-5a)·(a+c-5b)= (26a·b-4b·c-4a·c-5a2-5b2+c2)= ×(26×1×1×
cos 60°-4×1×1×cos 60°-4×1×1×cos 60°-9)=0,
所以 ⊥ ,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.第2章　空间向量与立体几何
2.2　空间向量及其运算
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间向量的基本概念
1.下列说法正确的是(　　)
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.向量与的长度相等
B.在空间四边形ABCD中,与是相反向量
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
3.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
题组二　空间向量的加减法
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,+-=(　　)
A. B. C. D.
5.已知四边形ABCD,O为空间中任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)
A.空间四边形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.矩形
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,则|-|=　　　　.
7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=　　　　.(用a,b,c表示)
题组三　向量与实数相乘
如图,在三棱锥O-ABC中,设=
a,=b,=c,若=,=2,则=(　　)
A.a+b-c
B.-a-b+c
C.a-b-c
D.-a+b+c
9.光岳楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上下底面边长之比约为,则++=　　　　.
10.如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若=λ与=++同时成立,则实数λ的值为　　　　.
题组四　数量积的概念及其运算
11.已知a,b,c为空间向量,下列有关说法中正确的是(　　)
A.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c
B.(a-b)2=a2-2a·b+b2
C.(a·b)·c=a·(b·c)
D.向量a在向量b方向上的投影一定是正的
12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(a+b+c)=(　　)
A.1 B. C. D.2
13.如图,正四面体A-BCD的棱长为2,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则·的值为(　　)
A. B.1 C.2 D.4
题组五　空间向量的数量积的简单应用
14.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
15.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
16.如图是棱长为1的正四面体O-ABC,M是棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN.
(1)用向量,,表示 ;
(2)求||.
17.如图,空间四边形OABC的各边及对角线的长均为2,E是AB的中点,F在OC上,且=2,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
能力提升练　　
题组一　利用共线向量解决直线平行、三点共线问题
1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
2.设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为　　　　.
3.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P为棱B1C1的中点.求证:MN∥BP.
题组二　利用空间向量的数量积求两点间的距离(线段的长度)
5.如图,在四面体A-BCD中,M,N分别为AB和CD的中点,AD=2,BC=4,且向量与向量的夹角为120°,则线段MN的长为(　　)
A. B.
C.或 D.3或3
6.如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=AB=BD=6,则C,D间的距离为　　　　.
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求MN的长.
8.如图所示,四边形ABCD是矩形,EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,G是AD上一动点,求FG的长度的范围.
题组三　利用空间向量的数量积求异面直线所成的角
9.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a与b所成的角是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
10.在四面体O-ABC中,OA=OB=OC,∠AOB=∠AOC=60°,∠BOC=90°,则OB与AC所成角的大小为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与AC所成角的余弦值为　　　　.
题组四　数量积的综合应用
12.(多选)如图是一个形状为平行六面体的结晶体ABCD-A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱的长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,则下列说法中正确的是(　　)
A.AC1=6
B.AC1⊥BD
C.向量与的夹角是60°
D.BD1与AC所成角的余弦值为
13.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱长.
答案与分层梯度式解析
第2章　空间向量与立体几何
2.2　空间向量及其运算
基础过关练
1.C　对于A,零向量与它的相反向量相等,故说法错误;对于B,将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故说法错误;对于C,空间向量与平面向量一样,既有大小又有方向,不能比较大小,故说法正确;对于D,一个非零空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故说法错误.故选C.
2.AD　向量与是相反向量,长度相等,故A正确;
空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不一定相反,故B错误;
空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故C错误;
由空间向量的有关概念与性质易知D正确.故选AD.
3.D　因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,=,=,=,故选D.
4.B　+-=-=+=.故选B.
5.B　由已知可得=,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形,故选B.
6.答案　
解析　| -|=|-|=||=||==.
7.答案　b-a-c
解析　如图,连接CA1,则=-=--=b-a-c.
8.A　连接OM,ON,则=-=(+)-(+)=(+)--=(+)--(-)=+-=a+b-c.故选A.
小题巧解
　　本题还可应用如下结论:如图,在△ABC中,D为BC边上一点,若=,则=+.
其解法:=-=(+)-=+-=a+b-c.
9.答案　
解析　如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=,=,
∴++=++=++=+=+=.
10.答案　
解析　连接OM.∵=++=+×2=+,
∴G为AM的中点,∴=.
又∵=λ,∴λ=.
11.B　a·b=b·c,且b≠0 |a||b|cos=|b|·|c|cos,|b|≠0,则|a|cos=|c|cos,得不出a=c,故A错误;
由空间向量数量积的运算性质可知B正确;
(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,其中λ,μ均为实数,但a,c不一定共线,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等,故C错误;
向量a在向量b方向上的投影为|a|cos,其可以为0,也可以为负数,故D错误.故选B.
易错警示
　　注意向量的投影与投影长的区别,前者可正可负可为0,后者代表投影向量的模,它一定为非负数.
12.A　根据空间向量的加法法则得a+b+c=+=,易知AC'为正方体的体对角线,所以AC'=,所以cos∠BAC'==,所以a·(a+b+c)=·=||||cos∠BAC'=1××=1.故选A.
13.B　设=a,=b,=c,
则a·b=b·c=c·a=2×2×=2.
∵=-=-(+)=a-b-c,
==(-)=a-b,
∴·=·=×(a2-2a·b+b2-a·c+b·c)=1.故选B.
14.D　设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]).由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=,故选D.
15.A　由PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,可知DA⊥PB,PD⊥AB,PA⊥CD,故B,C,D选项中两向量的数量积均为零,无法判断PC与BD是否存在垂直关系,故选A.
16.解析　(1)=+=+=+××(+)=-++.
(2)=+=+=+(-)=+=+×=+×(+)=++.
因为四面体O-ABC是棱长为1的正四面体,
所以||=||=||=1,
·=·=·=1×1×=,
所以||2==(++)2=(+++2·+2·+2·)=×=,所以||=.
17.解析　(1)由题意可得=-=-(+)=-a-b+c.
(2)因为空间四边形OABC的各边及对角线的长均为2,
所以|a|=|b|=|c|=2,且a,b,c三个向量中任意两个向量的夹角都为,
所以a·b=a·c=b·c=2×2×cos =2.
又因为·=a·=-a2-a·b+a·c=-×22-×2+×2=-,
||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=×22+×22+×22+×2-×2-×2=,即||=,
所以cos<,>===-,
所以向量与向量所成角的余弦值为-.
能力提升练
1.A　因为=+=2a+4b=2(a+2b)=2,所以与共线,又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选A.
2.答案　
解析　因为A,C,D三点共线,所以∥,
因为=+=2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2,
=e1+ke2,
所以5∶2=1∶k,
所以k=.
技巧点拨
　　对于由空间中三点共线求参数的问题,往往先将其转化为由这三点确定的两个向量共线,再利用两个非零向量共线的充要条件确定参数的值.
3.证明　设 =a,=b,=c,
则=+×(+)=+(+)=+(-+-)=(++)=(a+b+c),
则=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c,
∵=+=+(+)=-a+b+c,
∴=.由两个非零向量平行的充要条件,可知∥.又∵BN∩BG=B,∴B,G,N三点共线.
技巧点拨
　　要证明空间中三点共线,可转化为证明这三点确定的两个向量共线.
4.证明　易得=++,
又因为BM=BA1,B1N=B1D1,
所以=-++
=-(+)++(+)
=+=+.
又因为P为棱B1C1的中点,
所以=+=+==,
从而与为共线向量.
因为直线MN与BP不重合,
所以MN∥BP.
方法总结
　　证明两直线平行时,先分别从两直线上取有向线段来表示两个向量,然后利用向量的线性运算结合向量共线的充要条件证明两向量共线,再根据两有向线段不在同一条直线上得到两直线平行.
5.A　取AC的中点E,连接ME,EN,又∵M,N分别为AB和CD的中点,
∴ME∥BC,EN∥AD,且ME=BC=2,EN=AD=1,
∵向量与向量的夹角为120°,
∴向量与向量的夹角为120°,
又∵=+,
∴||2=(+)2=+2·+=22+2×2×1×+12=3,
∴||=,即线段MN的长为.故选A.
6.答案　12
解析　因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以·=0,·=0,因为二面角α-AB-β的平面角为120°,所以<,>=180°-120°=60°,又因为||2=(++)2=+++2·+2·+2·=3×62+2×62×cos 60°=144,
所以||=12.
7.解析　(1)易得=++=++,
因为=-=c-a,=-=-=b-a,
所以=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)由∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,
得a·b=0,a·c=b·c=2,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=20,即|a+b+c|=2,
由(1)知=a+b+c,故||=|a+b+c|=,即MN的长为.
8.解析　连接AF,过E作EH∥BF,交AB于点H,如图,易得四边形EFBH为平行四边形,
∵EF=2,AB=4,∴AH=2,
又∵AE=2,EH=2,∴∠EAH=60°,
设=x(0≤x≤1),则=-=x-(+)=x--,
∴||=
=
==2,
当x=时,||取得最小值,为;当x=0或x=1时,||取得最大值,为2,
∴FG的长度的范围是[,2].
9.C　易得=++,∴·=(++)·=·++·=0+12+0=1,又∵||=2,||=1,∴cos< ,>===,∴直线a与b所成的角是60°.故选C.
10.B　在四面体O-ABC中,,,不共面,且=-,令OA=OB=OC=1,
依题意,·=(-)·=·-·=1×1×cos 90°-1×1×cos 60°=-.
设OB与AC所成角的大小为θ,因为OB与AC是异面直线,所以0°<θ≤90°,则cos θ=|cos<,>|==,解得θ=60°,所以OB与AC所成角的大小为60°.故选B.
11.答案　
解析　设正方体的棱长为1,则||=,||=.
·=(+)·(+)=(+)·(+)=·++·+·=0+12+0+0=1.
因为cos<,>===,
所以直线BC1与AC所成角的余弦值为.
12.BD　A选项,由题意可知=++,则==+++2·+2·+2·=62+62+62+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°=216,
∴||=6,∴选项A不正确.
B选项,=-,=++,所以·=(++)·(-)=·++·--·-·=6×6×cos 60°+62+6×6×
cos 60°-62-6×6×cos 60°-6×6×cos 60°=0,∴⊥,即AC1⊥BD,∴选项B正确.
C选项,∵==-,∴||2=|-|2=-2·+=62-2×6×6×cos 60°+62=36,即||=6,又∵·=(-)·
=·-=6×6×cos 60°-62=-18,
∴cos<,>===-,∴向量与的夹角是120°,∴选项C不正确.
D选项,∵=+=-+,=+,∴||2=|-+|2=++-2·+2·-2·=62+62+62-2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°-2×6×6×cos 60°=72,即||=6,
||2=|+|2=++2·=62+62+2×6×6×cos 60°=108,即||=6,
·=(-+)·(+)=·+--·+·+·=6×6×cos 60°+62-62-6×6×cos 60°+6×6×
cos 60°+6×6×cos 60°=36.
设BD1与AC所成的角为θ,由BD1与AC为异面直线可知θ∈,则cos θ=|cos<,>|===,∴选项D正确.故选BD.
13.解析　(1)证明:=+,=+.
在正三棱柱中,BB1⊥平面ABC,△ABC为正三角形,
所以·=0,·=0,
<,>=π-<,>=π -=.
因为·=(+)·(+)
=·+·++·
=||·||·cos<,>+
=-1+1=0,
所以⊥,即AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·=||·||·cos<,>+=-1.
又因为||====||,
所以cos<,>==,
所以||=2,
即侧棱长为2.

展开更多......

收起↑