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(共18张PPT)
2.3　空间向量基本定理及坐标表示
1.共面向量的概念:一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
2.平面向量基本定理:如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要
条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xe1+ye2.
3.相关结论:在三个向量a,b,c中,某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面.
1 | 共面向量
　　设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三
个向量的实数倍之和:p=xe1+ye2+ze3,此表达式中的系数x,y,z由p唯一确定,即若p=
xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'.
我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标.
2 | 空间向量的基本定理
1.标准正交基:空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组
成空间的一组基,我们把这组基称为标准正交基.
2.向量的坐标:空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和: p=xi+yj+zk,系
数x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z),称为向量p的坐标,记为p=(x,y,z).
3.与向量坐标有关的结论:一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这
个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.
3 | 空间向量的直角坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
　　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
运算 坐标表示
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
减法 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
数乘 λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R)
数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2
4 | 空间向量运算的坐标表示
结论 坐标表示
共线 a∥b(a≠0) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R
向量模长公式 |a|=
向量夹角公式 cos=
=
垂直 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
2.空间向量常用结论的坐标表示
　　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
知识拓展
1.四点共面的充要条件
空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 =x +
y ,或对空间中任一点O,有 = +x +y (或 =(1-x-y)· +x +y ).
2.定比分点坐标公式
已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)两点,点M在直线AB上, =λ (λ∈R且λ≠-1),则称点M
为有向线段 的定比分点,其坐标为 .
1.空间向量的基是唯一的吗
不是.由空间向量基本定理可知,任意三个不共面的向量都可以组成空间的一组
基,所以空间向量的基不是唯一的.
2.在空间直角坐标系中,向量 的坐标与其终点B的坐标相同,对吗
不对.当且仅当起点A与原点O重合时,向量 的坐标才与其终点B的坐标相同.
3.若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),能否说“a∥b = = ”
不能.当x2,y2,z2都不为0时,a∥b = = 才成立,否则有些分式无意义.
4.平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别
平面向量与空间向量的坐标运算均有加减、数乘、数量积运算,其算法是相同
的.但空间向量比平面向量多一个竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一
样的.
知识辨析
用基向量表示向量的步骤
(1)定基向量:若未给定基向量,则应根据已知条件,确定三个不共面的向量作为空
间的基向量.
(2)找目标:用已给定或确定好的基向量表示目标向量,需要根据三角形法则或平
行四边形法则,结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简.
(3)下结论:将变形、化简后的目标向量进行整理,得到最终结果.注意此结果中只
能含有基向量,不能含有其他形式的向量.
1 利用基向量解决几何问题
典例　如图,已知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD为平行四边形,M,N分别是PC,PD
上的点,且 =2,PN=ND,设 =a, =b, =c.
(1)以{a,b,c}为基表示向量 ;
(2)若 =xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
解析 (1) = + = + = + ( + + )= - + =- a+
b+ c.
(2) = - = - = ( - )- ( - )= - - ( + )+
=- - + =- a- b+ c,
所以x=- ,y=- ,z= .
方法技巧 用基向量表示空间中其他向量的关键是结合图形,运用三角形法则、
平行四边形法则等,逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”.
1.利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直
借助向量的坐标,可将向量的平行与垂直问题代数化,即借助代数运算达到判断
向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式:(1) a∥b(a≠0) x2
=λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R;(2) a⊥b x1x2+y1y2+z1z2=0.其中,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
2.由平行、垂直求参数的值
利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程,即可求出参数的值.
3.利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直
(1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量;
(2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系;
(3)若两向量平行,且两直线不重合,则两直线平行;若两向量垂直,则两直线垂直.
2 空间向量平行与垂直的坐标表示的应用
典例　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.
(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标;
(3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥
若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解析 如图,以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1
为单位长度,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,
1),D1(0,1,1).由中点坐标公式,得E ,G ,H .
(1)证明: =(1,0,1), = , = .
因为 =2 , · =1× +0× +1× =0,
所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).
又因为 =(1,1,1),
所以由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.①
因为点M在AC1上,所以设 =μ (0≤μ≤1),可得x=μ,y=μ,z=μ.②
由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以点M的坐标为 .
(3)假设存在满足条件的λ.设点P(x1,y1,z1),则 =(x1-1,y1,z1-1), =(-x1,1-y1,1-z1),
由3 = ,得
解得 所以点P的坐标为 .
设点Q(x2,y2,z2),
则 = , =(x2,y2-1,z2),
又因为 = , =(-1,1,0),
所以由 ⊥ ,得x2- +y2- + (z2-1)=0,③
由 =λ ,得 ④
由③④知无解,即不存在λ满足条件.
利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系;
(2)利用题设条件写出相关点的坐标,进而得相关向量的坐标;
(3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解.
3 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长
典例　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.
(1)求BN的长;
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
解析 以C为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1为单
位长度,建立空间直角坐标系C-xyz.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴ =(1,-1,1),
∴BN=| |= = .
(2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),
∴ =(1,-1,2), =(0,1,2),
∴ · =1×0+(-1)×1+2×2=3,
| |= ,| |= ,
∴cos< , >= = = .
故A1B与B1C所成角的余弦值为 .第2章　空间向量与立体几何
2.3　空间向量基本定理及坐标表示
2.3.2　空间向量运算的坐标表示
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间向量线性运算的坐标表示
1.已知向量a=(3,0,1),b=(-2,4,0),则3a+2b等于(　　)
A.(5,8,3) B.(5,-6,4)
C.(8,16,4) D.(16,0,4)
2.已知点M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,3),若=3,则Q的坐标是(　　)
A.(-3,-2,-5) B.(3,4,1)
C.(-4,-1,0) D.(2,5,6)
3.若向量a=(1,-2,2),b=(x,3,0),c=(1,3,3)是共面向量,则实数x的值是(　　)
A.- B.-
C. D.
题组二　空间向量数量积的坐标表示
4.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则a·(a+3b)=(　　)
A.(0,34,10) B.(-3,19,7)
C.44 D.23
5.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于(　　)
A.5 B.-5 C.7 D.-1
6.如图,已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为　(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则向量a在向量b上的投影向量是　　　　.
题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
8.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka-b与2a+b互相平行,则k=(　　)
A.1 B.-2 C.-1 D.2
9.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(　　)
A. B.-
C.2 D.±
10.已知向量=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　)
A. B.
C. D.
11.已知a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),若a⊥b,则x2+y2的取值范围为(　　)
A.[2,+∞) B.[3,+∞)
C.[4,+∞) D.[5,+∞)
题组四　利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的相关问题
12.若向量a=(2,2,0),b=(1,3,z),=,则z等于(　　)
A. B.- C.± D.±
13.若空间向量=(1,2,-2),=(-1,-1,5),则||=　(　　)
A. B.3 C.2 D.
14.若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)(x≠0)的夹角为钝角,则x的取值不可能为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
15.在空间直角坐标系O-xyz中,O为原点,已知点A(2,1,0),B(3,2,2),C(-1,1,4),设向量=a,=b.
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若a与a-kb互相垂直,求实数k的值.
16.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-xyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当=2,且点P关于y轴的对称点为M时,求||;
(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究||的最小值.
能力提升练　　　　　　　　　
题组一　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是　(　　)
A.平行 B.相交
C.异面垂直 D.异面不垂直
2.(多选)已知空间中四点A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4),则下列说法正确的有(　　)
A.AB⊥BC
B.AB∥CD
C.A,B,C三点共线
D.A,B,C,D四点共面
3.(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段AB的中点,Q,R分别为线段BC,A1C上的动点(含端点),下列结论正确的是(　　)
A.存在点Q,使得A1P⊥C1Q
B.存在点R,使得A1P⊥D1R
C.当Q为BC的中点时,存在点R使得,,共面
D.当Q为BC的中点时,存在点R使得C1,Q,D1,R四点共面
4.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.
(1)证明:BD1⊥AC;
(2)证明:BD1∥平面ACE.
题组二　利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,点E为PA的中点,AB=BC=1,AD=2,PA=,则异面直线BE与CD所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,点P在侧面ABB1A1内,若D1P垂直于CM,则△PBC的面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.1
7.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=BC=BB'=2,AB⊥BC,D为AB的中点,点E在线段C'D上,点F在线段BB'上,求线段EF长的最小值.
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模;
(2)求cos<,>的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
答案与分层梯度式解析
第2章　空间向量与立体几何
2.3　空间向量基本定理及坐标表示
2.3.2　空间向量运算的坐标表示
基础过关练
1.A　
2.D　设O为坐标原点,则=+=+3=(-1,2,3)+3(1,1,1)=(2,5,6).故选D.
3.B　由题意,可知存在实数u,v,使得b=ua+vc,
即(x,3,0)=u(1,-2,2)+v(1,3,3),
所以解得故选B.
4.C　
5.B　∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),
∴两式相加得2a=(2,-4,0),
∴a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2),
∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5,故选B.
6.D　建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),O1,C1(0,1,1),
∴=,=(-1,1,1),
∴·=·(-1,1,1)=++1=2.故选D.
方法总结
　　求空间几何体中两向量的数量积时,可先建立适当的空间直角坐标系,再将各向量用坐标表示出来,之后便可利用数量积的坐标运算轻松求解.
7.答案　
解析　向量a在向量b上的投影向量是·=×=.
8.B　根据题意,得ka-b=k(1,1,0)-(-1,0,2)=(k+1,k,-2),2a+b=2(1,1,0)+(-1,0,2)=(1,2,2),
根据ka-b与2a+b平行,得==,解得 k=-2.故选B.
9.D　由题意得=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),
又∵∠C=90°,∴·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,
∴k=±.
故选D.
10.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).
若OA⊥平面ABC,则⊥,⊥,
即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=.
故选D.
11.C　∵a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),a⊥b,
∴a·b=3x-4y-10=0,∴y=x-,
∴x2+y2=x2+=+4≥4,
∴x2+y2的取值范围为[4,+∞).
故选C.
12.C　由题意得a·b=|a||b|cos =8,
又∵|a|=2,|b|=,
∴·=8,可得z=±.故选C.
13.D　=+=(0,1,3),
∴||==.故选D.
14.D　由题意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-若a与b共线,则==,无解,所以a与b不共线,所以-15.解析　(1)由题意得a=(1,1,2),b=(-3,0,4),
故a·b=1×(-3)+1×0+2×4=5,|a|=,|b|=5,
所以cos==,
故a与b夹角的余弦值为.
(2)由a与a-kb互相垂直知,a·(a-kb)=a2-ka·b=0,
由(1)知|a|2=6,a·b=5,故k===.
16.解析　由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).
(1)由=2得P,
所以M,所以||=.
(2)当点P是面对角线AB的中点时,P,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1],
则||=
==,a∈[0,1],
所以当a=时,||取得最小值,为,此时点Q.
方法归纳
　　利用空间向量的坐标运算求线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).
能力提升练
1.C　由题图易知,NO,AM为异面直线.建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),
∴=(-1,0,-2),=(-2,0,1).
∵·=0,∴直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C.
2.ABD　易知=(-1,0,2),=(0,2,0),=(-2,2,4),=(-1,0,2),=(-1,2,2).
因为·=0,所以 ⊥,即AB⊥BC,所以A正确;
因为=,且A,B,C,D四点不共线,所以AB∥CD,故B正确;
因为不存在实数λ,使=λ,所以 A,B,C三点不共线,故C错误;
易知当=λ+μ(λ,μ∈R)时,A,B,C,D四点共面,即(-1,2,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,4),
所以(-1,2,2)=(-λ-2μ,2μ,2λ+4μ),
所以　解得
所以=-+,又因为,,有公共点A,所以A,B,C,D四点共面,故D正确.
故选ABD.
3.BD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),B(2,2,0),P(2,1,0),
令=m(0≤m≤1),=n(0≤n≤1),则Q(2m,2,0),R(2n,2-2n,2n).
因为=(0,1,-2),=(2m,0,-2),所以·=4≠0,即与不垂直,A不正确;
又因为=(2n,2-2n,2n-2),所以·=6-6n,当n=1时,·=0,即存在点R,使得A1P⊥D1R,B正确;
当Q为BC的中点时,Q(1,2,0),=(1,0,-2),若存在点R使得,,共面,则=x+y,x,y∈R,
即(2n,2-2n,2n-2)=x(0,1,-2)+y(1,0,-2),
故解得n=-1 [0,1],C不正确;
当Q为BC的中点时,Q(1,2,0),若C1,Q,D1,R四点共面,则=λ+μ,λ,μ∈R,而=(1,2,-2),则(2n,2-2n,2n-2)=λ(0,2,0)+μ(1,2,-2),即解得n=∈[0,1],D正确.
故选BD.
4.证明　(1)连接A1C1,B1D1,BD,设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系,
则A,B,C,D,A1,D1,
∴=(-a,0,b),=(0,a,0),
∴·=0,∴⊥,即BD1⊥AC.
(2)设E(x,y,z),∵A1E=2ED,∴=2,即=2,
解得x=-a,y=-a,z=,
即E,
∴=.
设=λ+μ(λ,μ∈R),则(-a,0,b)=λ(0,a,0)+μ,
即解得
即=-+3,
∴,,共面.
又∵BD1 平面ACE,∴BD1∥平面ACE.
5.A　由题意可知,AB,AD,AP所在直线两两垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E,
故=(-1,1,0),=,
故|cos<,>|===,
则异面直线BE与CD所成角的余弦值为.故选A.
解后反思
　　用坐标法求解立体几何问题的关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直、线线垂直的条件,找到两两相互垂直的三条直线,将这三条直线分别作为x轴、y轴和z轴,进而得到有关点的坐标并求解.
6.A　以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,1为单位长度,建立空间直角坐标系,如图,
依题意有M(2,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),
设P(2,a,b),0≤a≤2,0≤b≤2,
则=(-2,2,-1),=(2,a,b-2),
由于CM⊥D1P,故·=0,故-4+2a-b+2=0,
解得b=2a-2.
根据正方体的性质可知,BC⊥BP,
故△PBC为直角三角形,
而B(2,2,0),故=(0,2-a,-b),=(-2,0,0),所以||=,||=2,
所以△PBC的面积为||||==,
当a==时,面积取得最小值,为=,故选A.
7.解析　依题意,BA,BC,BB'两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),D(0,1,0),B'(0,0,2),C'(2,0,2),=(2,-1,2),=(0,0,2),
设=λ,λ∈[0,1],则E(2λ,1-λ,2λ),
设F(0,0,z),0≤z≤2,则=(-2λ,λ-1,z-2λ).
若线段EF的长最小,则必满足EF⊥BB',则有·=0,可得z=2λ,即=
(-2λ,λ-1,0),
因此,||===≤,当且仅当λ=时等号成立,所以线段EF长的最小值为.
8.解析　由题意可知,CA,CB,CC1两两垂直,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)依题意,B(0,1,0),N(1,0,1),
∴=(1,-1,1),∴||=.
(2)依题意,A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),·=1×0-1×1+2×2=3,||=,||=,
∴cos<,>==.
(3)证明:依题意,C1(0,0,2),M,
∴=,
又由(2)可得=(-1,1,-2),
∴·=-++0=0,
∴⊥,∴A1B⊥C1M.第2章　空间向量与立体几何
2.3　空间向量基本定理及坐标表示
2.3.1　空间向量的分解与坐标表示
　　　　　　　　　　　　　　基础过关练
　　
题组一　空间向量共面问题
1.在下列等式中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　)
A.=--
B.=++
C.++=0
D.+++=0
2.在四面体A-BCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足=x+y,=s+t+u,若=(y,t均不为0),则下面有关线段AQ与DP的关系的表述中,正确的是(　　)
A.AQ与DP所在直线是异面直线
B.AQ与DP所在直线平行
C.线段AQ与DP必相交
D.线段AQ与DP延长后相交
3.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于　　　　.
4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)求证:A,E,C1,F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
题组二　空间向量基本定理及相关概念的理解
5.已知{a,b,c}能构成空间的一组基,则下面的各组向量中,不能构成一组基的是(　　)
A.a+b,b,c
B.a,a-b,c
C.a-c,b-c,a-b
D.a,b,a+b+c
6.已知空间中四个点O,A,B,C,{,,}为空间的一组基,则下列说法正确的是(　　)
A.O,A,B,C四点共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.||=||=||=1
7.已知{a,b,c}是空间的一组基,则下列向量中能与a+b,a-b构成一组基的是(　　)
A.a B.b C.c D.a+2b
题组三　空间向量基本定理的应用
8.如图,在四面体O-ABC中,设=a,=b,=c,=3,若F为BC的中点,P为EF的中点,则=(　　)
A.a+b+c B.a+b+c
C.a+b+c D.a+b+c
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,若=2,则=(　　)
A.a+b+c B.a+b+c
C.-a+b+c D.a-b+c
10.如图,在四面体O-ABC中,D,E分别在AB,OC上,且AD=DB,OE=2EC,若=α+β+γ,则α+β+γ=　　　　.
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AD=AB=1,AA1=2,∠A1AB=∠DAA1=60°,=3,=2,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示;
(2)求MN的长度.
题组四　空间向量的坐标表示
12.在空间直角坐标系中,若M(0,1,3),N(2,1,1),则=(　　)
A.(-2,0,2) B.(2,0,-2)
C.(2,2,0) D.(2,2,-1)
13.若向量p在标准正交基{a,b,c}下的坐标是(1,3,2),则p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(　　)
A.(4,-2,2) B.(2,1,2)
C.(2,-1,2) D.(1,3,2)
14.在标准正交基{i,j,k}下,已知向量a=-2i+8j+3k,b=-5i+2k,则向量a+2b在i上的投影为　　　　,在j,k上的投影之积为　　　　.
15.如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标为　　　　.
16.如图,在空间直角坐标系O-xyz中有一长方体OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5.
(1)写出点B'的坐标,并将用标准正交基{i,j,k}表示;
(2)求的坐标.
17.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求,的坐标.
答案与分层梯度式解析
第2章　空间向量与立体几何
2.3　空间向量基本定理及坐标表示
2.3.1　空间向量的分解与坐标表示
基础过关练
1.C　对于A、B、D,均不满足=x+y+z,且x+y+z=1,故A、B、D均错误;
对于C,++=0 =--,因此,,共面,又因为,,有公共点M,所以M,A,B,C四点共面,故C正确.
2.C　若x=s=0,则=y,=t+u,所以=+u,所以,,共面,又因为,,有公共点A,所以A,P,D,Q四点共面;若x≠0,且s≠0,则由=得=,令==m,则=m+u,所以,,共面,又因为,,有公共点A,故A,P,D,Q四点共面,又因为AQ与DP所在直线不平行,所以AQ与DP必相交.故选C.
3.答案　
解析　若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),
∴
解得λ=.
4.解析　(1)证明:=++=+++=+++=(+)+(+)=+,∴,,共面,
又∵,,有公共点A,
∴A,E,C1,F四点共面.
(2)∵=-=+-(+)
=+--
=-++,
∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=.
5.C　如图,可知a-c,b-c,a-b三个向量共面,不能构成空间的一组基,故选C.
方法归纳
　　判断给出的三个向量是不是空间的一组基,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,则常用反证法或借助一些常见的几何图形进行判断.
6.C　∵{,,}为空间的一组基,
∴,,三个向量不共面,即O,A,B,C四点不共面.,,不一定为单位向量,故选C.
7.C　因为a=(a+b)+(a-b),b=(a+b)-(a-b),a+2b=(a+b)-(a-b),所以由空间向量基本定理可知a,b,a+2b均与a+b,a-b共面,不能构成一组基,故A、B、D错误,故选C.
8.A　如图,连接OF,
因为P为EF的中点,=3,F为BC的中点,
所以=(+)=
=++ =a+b+c,故选A.
9.A　由题意得=++=++=++=++(-)=++=a+b+c.故选A.
10.答案　-
解析　连接OD,∵AD=DB,OE=2EC,
∴=-=-(+)=--+,
∴
∴α+β+γ=-.
11.解析　(1)由题意得=+=+=+(+)=+(+)=a+b+c.
(2)由题意得=++=+-=(++)+-(+)=-+++--=++=a+b+c.
因为∠A1AB=∠DAA1=60°,且底面ABCD是正方形,AD=AB=1,AA1=2,
所以·=a·b=0,·=b·c=|b||c|·cos 60°=1,·=a·c=|a||c|cos 60°=1.
因此,||==×=,
所以MN的长度是.
12.B　
13.C　由已知得p=a+3b+2c,
设p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(x,y,z),
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以(x+y)a+(x-y)b+zc=a+3b+2c,
则所以
所以p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(2,-1,2).
14.答案　-12;56
解析　易得a+2b=-12i+8j+7k,所以a+2b在i,j,k上的投影分别为-12,8,7,其在j,k上的投影之积为8×7=56.
15.答案　(-4,3,2)
解析　由D(0,0,0),=(4,3,2),可得B1(4,3,2),即AD=4,CD=3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2),因此=(-4,3,2).
16.解析　(1)因为OA=6,OC=8,OO'=5,
所以点B'的坐标为(6,8,5),
从而=(6,8,5)=6i+8j+5k.
(2)易得点C'的坐标为(0,8,5),所以=(0,8,5).
17.解析　如图所示,建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥Oy,P1P4⊥Ox,SO在Oz轴上.
∵P1P2=2,而P1,P2均在xOy平面内,∴P1(1,1,0),P2(-1,1,0).
在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,
∴P3(-1,-1,0),
又∵SP1=2,OP1=,
∴在Rt△SOP1中,SO=,∴S(0,0,).
∴=(1,1,-),=(0,-2,0).

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