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第3章　概率
3.1　条件概率与事件的独立性
3.1.2　事件的独立性
3.1.3　乘法公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　事件独立性的判断
1.抛掷两枚硬币,设事件A=“第一枚正面朝上”,B=“第二枚反面朝上”,则(　　)
A.事件A和B互斥
B.事件A和B互相对立
C.事件A和B相互独立
D.事件A和B相等
2.现有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.记A事件为“第一次取出的球的数字是3”,B事件为“第二次取出的球的数字是2”,C事件为“两次取出的球的数字之和是7”,D事件为“两次取出的球的数字之和是6”,则(　　)
A.A与C相互独立
B.A与D相互独立
C.B与D相互独立
D.C与D相互独立
3.(多选)抛掷一个骰子,将“向上的点数大于3”记为事件A,“向上的点数小于4”记为事件B,“向上的点数是3的倍数”记为事件C,则(　　)
A.A与B对立
B.B与C互斥
C.A与C相互独立
D.A+C=B+C
题组二　相互独立事件的概率
4.从高中应届毕业生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
A. B. C. D.
5.如图,两个转盘的指针落在每个数所在区域的机会均等,如果两个转盘互不影响,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)
A. B. C. D.
6.已知从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是,从两袋内各摸出1个球,则2个球中至少有1个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
7.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,并视为合格,否则一直到投满3次为止,每次投中与否相互独立.某同学每次投篮投中的概率均为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=　　　　.
8.为了实现中国梦的构想,在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功相互独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
题组三　事件的独立性与条件概率的关系
9.当P(A)>0时,若P(B|A)+P()=1,则事件A与B的关系是(　　)
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.无法判断
10.已知事件A与B相互独立,当P(A)>0时,若P(B|A)=0.68,则P()=(　　)
A.0.34 B.0.68 C.0.32 D.1
11.已知A,B相互独立,且P(AB)=,P(B)=,则P(|B)=　　　　.
题组四　乘法公式
12.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,发出芽后的幼苗的成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机地抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(　　)
A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72
13.10个考签中有4个难签,3个同学每人抽取一签(不放回),甲先抽,乙再抽,丙最后抽,则甲、乙、丙都抽到难签的概率为(　　)
A. B. C. D.
14.在100件产品中有5件是次品,从中连续无放回地抽取3次,每次抽取1件,则第三次才取得次品的概率为　　　　.(结果保留两位有效数字)
15.6个人用摸彩的方式决定谁得到一张电影票,他们依次摸彩.
(1)已知前两个人都没摸到,则第三个人摸到的概率为　　　　;
(2)电影票被第三个人得到的概率为　　　　.
16.一个盒子中有6个白球、4个黑球,每次从中不放回地任取1个球,连取2次.求:
(1)第一次取得白球的概率;
(2)第一、二次都取得白球的概率;
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
17.已知某厂家生产的一批产品共有100件,其中有5件是次品.某采购员前来采购,但他不知有几件次品,为慎重起见,他对产品进行不放回的抽样检查,如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是次品,则他拒绝购买这一批产品.求采购员拒绝购买这批产品的概率.
答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.1　条件概率与事件的独立性
3.1.2　事件的独立性
3.1.3　乘法公式
基础过关练
1.C　
2.A　根据题意得P(A)=,P(B)=,P(C)==,P(D)=,P(AC)=,P(AD)=,P(BD)=,P(CD)=0,
所以P(AC)=P(A)P(C),P(AD)≠P(A)P(D),P(BD)≠P(B)P(D),P(CD)≠P(C)P(D),
所以A与C相互独立,A与D,B与D,C与D均不相互独立.故选A.
方法总结
判断两事件是否相互独立的方法
(1)定义法:若一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响,则这两个事件相互独立.
(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B相互独立.
3.AC　抛掷一个骰子的所有结果组成的集合U={1,2,3,4,5,6},共6个样本点,设事件A包含的样本点组成的集合为M,事件B包含的样本点组成的集合为N,事件C包含的样本点组成的集合为Q,则M={4,5,6},N={1,2,3},Q={3,6},M∩N= ,M∪N=U,故事件A与B对立,故A正确;
事件B与事件C有相同的样本点,不互斥,故B错误;
P(A)=,P(C)=,P(AC)=,可得P(AC)=P(A)P(C),则事件A与C相互独立,故C正确;
A+C≠B+C,故D错误.故选AC.
4.D　根据题意可得该学生三项均合格的概率为××=.故选D.
5.A　记“左边转盘指针落在奇数所在区域”为事件A,“右边转盘指针落在奇数所在区域”为事件B,则P(A)==,P(B)==,易知事件A,B相互独立,所以两个指针同时落在奇数所在区域的概率为×=,
故选A.
C　∵从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是,
∴从两袋内各摸出1个球,2个球中至少有1个红球的概率P=1-=.故选C.
7.答案　0.4
解析　由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,
整理可得p3-3p2+3p-0.784=0,即(p-0.4)(p2-2.6p+1.96)=0,因为p2-2.6p+1.96>0恒成立,
所以该方程存在唯一的实数根,即p=0.4.
8.解析　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,
∴恰有两个项目成功的概率为++=.
(2)三个项目全部失败的概率为××=,
∴至少有一个项目成功的概率为1-=.
方法总结
较复杂事件的概率的求解策略
(1)分解法:将其分解成互斥事件的和或相互独立事件的积,再利用相应的概率公式求解.
(2)间接法:利用对立事件的概率公式求解,即将所求事件的概率转化为其对立事件的概率,这体现了正难则反的思想.
9.C　∵P(B|A)+P()=P(B|A)+1-P(B)=1,∴P(B|A)=P(B),即=P(B),∴P(AB)=P(A)P(B),∴事件A与B相互独立.
故选C.
10.C　因为事件A与B相互独立,且P(A)>0,所以P(B|A)===P(B),故P(B)=0.68,所以P()=1-P(B)=0.32.故选C.
11.答案　
解析　因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)·P(B)=,
又因为P(B)=,所以P(A)=,
所以P(|B)===P()=1-=.
12.D　记“水稻种子发芽”为事件A,“发芽的种子成长为幼苗”为事件B,则“水稻种子成长为幼苗”为事件AB.∵P(B|A)=,∴P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72.
13.A　设A,B,C分别表示甲、乙、丙都抽到难签,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=.
14.答案　 0.046
解析　设Ai表示“第i次取得次品(i=1,2,3)”,B表示“第三次才取得次品”,则B=A3,
∴P(B)=P(A3)=P()P(|)P(A3|)
=××≈0.046.
15.答案　 (1)　(2)
解析　(1)由题意可知,所求概率P=.
(2)设Ai表示电影票被第i个人摸到,
则P(A3)=P()P(|)P(A3|)=××=.
解后反思
　　该类问题在概率中被称为“机遇问题”,求解的关键是分清事件之间的关系,充分利用P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…)求解.
16.解析　设A表示第一次取得白球,B表示第二次取得白球,则AB表示第一、二次都取得白球,B表示第一次取得黑球而第二次取得白球,
则P(B|A)=,P(B|)==.
(1)易得P(A)==.
(2)易得P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)易得P(B)=P()P(B|)=×=.
17.解析　设Ai={被抽查的第i件产品是次品},i=1,2,3,4,5,A={采购员拒绝购买这批产品},
则A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5,从而=,
由题意,得P()=,P(|)=,P(|)=,P(|)=,P(|)=.
∴P()=P()=P(|)P(|)P(|)P(|)P()
=≈0.769 6.
故P(A)=1-P()=0.230 4.(共9张PPT)
1.事件A,B独立
若事件A与事件B独立,则事件A的发生不会影响事件B发生的概率,即有P(B|A)=
P(B).反之,若P(B|A)=P(B)成立,则P(AB)=P(A) =P(A)·P(B|A)=P(A)P(B).
3.1.2　事件的独立性
3.1.3　乘法公式
1 | 事件的独立性
2.事件A1,A2,A3,…,An相互独立
(1)概念:如果n(n>2)个事件A1,A2,A3,…,An中任何一个事件发生的概率都不受其余
事件发生与否的影响,则称A1,A2,A3,…,An相互独立.
(2)公式: 一般地,当n(n>2)个事件A1,A2,A3,…,An相互独立时,有公式P(A1A2…An)=
P(A1)P(A2)·…·P(An)成立.
注意:上式并不表示A1,A2,A3,…,An相互独立.
3.事件的独立性的性质
(1)若事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).
(2)如果事件A与事件B相互独立,那么事件A与 , 与B, 与 也相互独立.
1.几个概率公式
(1)对于两个事件A,B,由P(B|A)= 可得 P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)>0① .
(2)若三个事件A,B,C不相互独立,且P(AB)>0, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)② .
(3)将①,②式推广到n个事件,则有:
若Ai(i=1,2,3,…,n)为随机事件,且P(A1A2A3…An-1)>0,则
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1) ③,③式常称为概率的乘法公式.
2.概率的乘法公式与相互独立事件的概率乘法公式的联系
若事件Ai(i=1,2,3,…,n)相互独立,则③式变为 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)④ .由此可知,④式实质上是③式的一种特殊情形.④式称为相互独立事件的概率乘法公式.
2 | 事概率的乘法公式
1.两个事件相互独立与互斥有什么区别
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,而相互独立的两个事件是可以同时
发生的,相互独立事件和互斥事件之间没有必然的联系.
2.公式P(AB)=P(A)P(B),P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)使用的前提条件是什么
P(AB)=P(A)P(B)使用的前提条件是事件A与事件B相互独立,同样地,只有当A1,A2,
…,An相互独立时,这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积,
即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).

知识辨析
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
1 相互独立事件的概率
典例　某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、乙、丙三人10
0米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为 , , .若对这三名短
跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大.
解析 设甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C
相互独立,且P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
(2)三人都不合格的概率为P0=P( )=P( )P( )P( )= × × =
.
(3)恰有两人合格的概率为P2=P(AB )+P(A C)+P( BC)= × × + ×
× + × × = .
恰有一人合格的概率为P1=1-P0-P2-P3=1- - - = .
结合(1)(2)的计算结果可知,恰有一人合格的概率最大.
技巧点拨 解决此类问题的关键是三个公式的联用:P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互
斥),P(A)=1-P( ),P(AB)=P(A)·P(B)(A,B相互独立).
乘法公式的特点及注意事项
1.若P(A)>0,则已知P(A),P(B|A),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值.
2.在利用公式P(A1A2·…·An)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2·…·An-1)(P(A1A2…
An-1)>0)计算概率时,注意要根据题意正确表示出相关事件并求出其中涉及的概率.
2 乘法公式及其应用
典例　在某次空战演习中,若甲机先向乙机开火,则击落乙机的概率是0.2;若乙机未被击落,则进行还击,击落甲机的概率为0.3;若甲机未被击落,则再次进攻,击落乙机的概率是0.4,分别计算这几个回合中,甲、乙被击落的概率.
解析 设A=“乙机被击落”,B=“甲机被击落”,A1=“乙机第一回合被击落”,
A2=“乙机第二回合被击落”,由题意知A1,A2互斥,且A=A1∪A2,
依题意,有P(A1)=0.2,P(B| )=0.3,P(A2| )=0.4,
由概率的乘法公式可得P(B)=P( B)=P( )P(B| )=0.8×0.3=0.24,
从而P(A2)=P( A2)=P( )P( | )·P(A2| )=0.8×0.7×0.4=0.224,
由概率的加法公式可得P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.424.
即这几个回合中,甲、乙被击落的概率分别为0.24,0.424.

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