资源简介

(共9张PPT)
1.公式:设Ai(i=1,2,…,n)为n个事件,若满足
(1)AiAj= (i≠j),
(2) A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω(Ω为样本空间),
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任一事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)
P(B|An)= P(Ai)P(B|Ai). 此公式称为全概率公式.
3.1.4　全概率公式
*3.1.5　贝叶斯公式
1 | 全概率公式
2.公式的直观意义:如图,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等
于所有这些概率的和,即P(B)= P(BAi)= P(Ai)P(B|Ai).
(1)对于随机事件A与B,A发生的条件下B发生的概率为
P(B|A)= .
此公式称为贝叶斯公式(又称逆概率公式).
(2)设A1,A2,…,An满足AiAj= (i≠j),且A1∪A2∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则
对任一事件B(其中P(B)>0),由条件概率及全概率公式,有
P(Ai|B)= = (i=1,2,…,n).
2 | 贝叶斯公式*
1.全概率公式中,A1,A2,…,An可以是任意一组随机事件,对吗
不对.必须是一组两两互斥的随机事件,且并事件是样本空间.
2.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事
件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生可能性的概率之和,对吗
不对.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
3.贝叶斯公式实质是条件概率,对吗
对.贝叶斯公式是在“结果”已经发生的条件下,寻找各“原因”发生的条件概率.
知识辨析
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求最后结果的概率,解题步骤如下:
先求划分后的每个小事件的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n;再求每个小事件发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|Ai),i=1,2,…,n;最后利用全概率公式计算P(B),即P(B)=
P(Ai)P(B|Ai).
1 全概率公式及其应用
典例　已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8,0.1,0.1,某顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取出一箱,顾客开箱随机查看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求顾客买下该箱玻璃杯的概率.
解析 记事件B为顾客买下该箱玻璃杯,事件Ai为取出的一箱中有i只残次品,i=0,1,2.
则P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1,
P(B|A0)=1,P(B|A1)= = ,P(B|A2)= = ,
由全概率公式可得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×1+0.1× +0.1× ≈0.94.
即顾客买下该箱玻璃杯的概率约为0.94.
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因,在运用贝叶斯公式时,一般已知和未知的条件如下:
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai)已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实,且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知,即P(B|Ai)已知;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到;
(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).
2 各种贝叶斯公式及其应用*
典例　甲盒装有1个白球2个黑球,乙盒装有3个白球2个黑球,丙盒装有4个白球1
个黑球.现采取掷骰子的方式选盒,出现1、2或3点选甲盒,出现4、5点选乙盒,出
现6点选丙盒,在选出的盒里随机摸出一个球,经过秘密选盒摸球后,宣布摸得一个
白球,求此球来自乙盒的概率.
解析 设A1={摸出的球来自甲盒},A2={摸出的球来自乙盒},A3={摸出的球来自丙
盒},B={摸得白球},则P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
由贝叶斯公式可知此白球来自乙盒的概率为
P(A2|B)= =

= = .第3章　概率
3.1　条件概率与事件的独立性
3.1.4　全概率公式
*3.1.5　贝叶斯公式
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　全概率公式
1.为了提升全民身体素质,某校十分重视学生体育锻炼.该校一篮球运动员进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为,若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2.甲、乙两个箱子里各装有5个大小、形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球,则从乙箱中取出的球是红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3.甲小组有2个男生和4个女生,乙小组有5个男生和3个女生,现随机从甲小组中抽出1人放入乙小组,然后从乙小组中随机抽出1人,则从乙小组中抽出女生的概率是　　　　.
4.假设播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子,所有种子均能结出穗.播种一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则播种这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为　　　　.
5.2022年北京冬奥会的志愿者中,来自甲、乙、丙三所高校的人员情况:甲高校学生志愿者7名,教职工志愿者2名;乙高校学生志愿者6名,教职工志愿者3名;丙高校学生志愿者5名,教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各任取一名,求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率;
(2)先从这三所高校中任选一所,再从这所高校的志愿者中任取一名,求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
题组二　贝叶斯公式*
6.(多选)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S.则(　　)
A.任意一位病人有症状S的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
7.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.001.若从该城市居民中随机选出一人,通过胸透被诊断为患肺结核,求这个人确实患有肺结核的概率.
8.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车的概率.
答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.1　条件概率与事件的独立性
3.1.4　全概率公式
*3.1.5　贝叶斯公式
基础过关练
1.B　记“篮球运动员第1球投进”为事件A,“篮球运动员第2球投进”为事件B,
由题知,P(B|A)=,P(B|)=,
又知P(A)=,所以P()=,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
=×+×==.
故选B.
2.B　设事件A表示从甲箱中随机取出一球是红球,事件B表示从甲箱中随机取出一球是白球,事件C表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球,取出的球是红球,则P(A)=,P(C|A)==,P(B)=,P(C|B)==,
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=,故选B.
3.答案　
解析　根据题意,记事件A1为从甲小组中抽出的1人为男生,事件A2为从甲小组中抽出的1人为女生,事件B为从甲小组中抽出1人放入乙组,再从乙小组中抽出1人,为女生,
则P(A1)=,P(A2)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
4.答案　0.482 5
解析　用B表示事件“从这批种子中任选一粒播种,所结的穗含有50颗以上麦粒”.从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4,则P(A1)=95.5%,P(A2)=2%,P(A3)=1.5%,P(A4)=1%,P(B|A1)=0.5,P(B|A2)=0.15,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,
所以P(B)=P(B|Ai)P(Ai)=0.5×95.5%+0.15×2%+0.1×1.5%+0.05×1%=
0.482 5.
5.解析　(1)设事件A为“从这三所高校的志愿者中各任取一名,这三名志愿者全是学生”,则P(A)=××=;
设事件B为“从这三所高校的志愿者中各任取一名,这三名志愿者全是教职工”,则P(B)=××=;
设事件C为“从这三所高校的志愿者中各任取一名,这三名志愿者中既有学生又有教职工”,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1--=.
(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者,事件E1为选甲高校,事件E2为选乙高校,事件E3为选丙高校,
则P(E1)=P(E2)=P(E3)=,P(D|E1)=,P(D|E2)=,P(D|E3)=.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率P(D)=P(E1)P(D|E1)+P(E2)P(D|E2)+P(E3)P(D|E3)=×+×+×=.
6.ABC　由题意得P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
由贝叶斯公式得P(D1|S)===0.4,
P(D2|S)===0.45,
P(D3|S)===0.15.
故选ABC.
7.解析　设事件A表示“被诊断为患肺结核”,C表示“患有肺结核”.
由题意得,P(C)=0.001, P()=0.999,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.002.
由贝叶斯公式得,
P(C|A)==.
8.解析　设事件B表示“汽车中途停车修理”,A1表示“该汽车是货车”,A2表示“该汽车是客车”,则B=A1B∪A2B,由题意得,P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得,
P(A1|B)=
==.

展开更多......

收起↑