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第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.2　几个常用的分布
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　两点分布
1.(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A.抛掷一枚骰子,所得点数X
B.某射击手射击一次,击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,设X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数X
2.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=(　　)
A. B. C. D.
3.已知袋内有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列.
题组二　伯努利试验及其概率计算
4.伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②④
5.甲、乙两队进行羽毛球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,若甲队每局获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.某高校进行强基招生面试,共设3道题,设某学生每道题答对的概率都为,则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是　　　　.
7.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是,.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组三　二项分布
8.设随机变量X~B,则P(X=3)等于(　　)
A. B. C. D.
9.围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”,至今已有四千多年历史.围棋不仅能陶冶情操、修身养性、生慧增智,而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军,比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
10.某地区实施人工降雨以后降水量超过200 mm的概率为.现在由于干旱,要对该地区实施连续4天的人工降雨,则在这4天中至少有2天的降水量超过200 mm的概率为(　　)
A. B. C. D.
11.将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出,则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为　　　　.
12.某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才算合格.若他答每道题的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为　　　　.
13.在某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
14.某公园种植了4棵棕榈树,各棵棕榈树成活与否是相互独立的,且成活率均为,设ξ为成活棕榈树的棵数.
(1)求ξ的分布列;
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活,则需要补种,求需要补种棕榈树的概率.
题组四　超几何分布
15.(多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有(　　)
A.在10件产品中有3件次品,从中不放回地依次任意取出4件,记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学,途中有6个红绿灯路口,记此学生途中遇到红灯的次数为随机变量X
D.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,记其中男生人数为X
16.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选3名学生代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为变量X,男生的人数为变量Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
17.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)等于(　　)
A. B.
C. D.
18.(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是(　　)
A.2件都是一等品的概率是
B.2件中有1件是次品的概率是
C.2件都是正品的概率是
D.2件中至少有1件是一等品的概率是
19.某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求:
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.
20.厂家在产品出厂前需对产品进行检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验,以决定是否接收这批产品.
(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7,从中任意取出3件进行检验,求至少有2件是合格品的概率;
(2)若厂家发给商家20件产品,其中有4件不合格,按合同规定,商家从这20件产品中任取2件进行检验,只有2件产品都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　二项分布
1.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据实验数据,人在接种某种病毒疫苗后,有80%不会感染这种病毒,若有4人接种了这种疫苗,则最多1人被感染的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2.(多选)一个口袋内有12个大小、形状完全相同的小球,其中有n个红球,若有放回地从口袋中连续取四次球(每次只取一个小球),恰好两次取到红球的概率大于,则n的值可能为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,他们发现了正确结论,并得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记pk=pk·(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值时,该小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,pk=pk-1,此时这两项概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,则k取(n+1)p的整数部分时,pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有位同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为　　　　的概率最大.
4.如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此间的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间.小球每次下落时,将随机向两边等概率地落下.当有大量的小球都落下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率是　　　　.
5.A,B两人下棋,每局均无和棋且A获胜的概率为,某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛,胜者将赢得2 700元奖金.
(1)分别求A以3∶0、3∶1获胜的概率;
(2)若前两局双方战成1∶1,后因其他要事而中止比赛,问怎么分奖金才公平
题组二　超几何分布与二项分布的综合应用
6.某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测,某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示:
(1)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件,求至少有一件产品是一级品的概率;
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品,再从这10件产品中任意抽取3件,设取到二级品的件数为ξ,求随机变量ξ的分布列.
7.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.一般地,果径越大售价越高.为帮助果农创收,提高水果的果径,某科研小组设计了一套方案,并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案,对照园未采用.实验周期结束后,分别在两片果园中各随机选取100个果实,按果径分成5组进行统计:[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](单位:mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图,并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.
(1)估计实验园的“大果”率;
(2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个,再从这10个果实中随机抽取3个,记其中“大果”的个数为X,求X的分布列;
(3)以频率估计概率,从对照园这批果实中随机抽取n(n≥2,n∈N+)个,设其中恰有2个“大果”的概率为P(n),当P(n)最大时,写出n的值.
答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.2　几个常用的分布
基础过关练
1.BCD　
2.C　由题意得P(X=0)+P(X=1)=1,因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,即a=.故选C.
3.解析　由题意得,X的可能取值为0,1,
P(X=0)==,
P(X=1)==.
可得X的分布列如表所示.
X 0 1
P
4.C　
5.B　甲队获得冠军分为以下两种情况:
①接下来的一局甲队赢,其概率为;
②接下来的一局甲队输,然后下一局甲队赢,其概率为×=.
∴甲队获得冠军的概率为+=.
故选B.
6.答案　
解析　记Ai(i=1,2,3)表示该学生答对第i道题,则P(Ai)=(i=1,2,3),
所以该学生在面试时恰好答对2道题的概率P=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××=.
7.解析　(1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1,
则P(A1)=××=.
所以甲恰好射击3次结束射击的概率为.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=××+××=,
所以乙恰好射击3次结束射击的概率为.
8.A　P(X=3)==.故选A.
9.C　记甲以3∶0获得冠军为事件A,甲以3∶1获得冠军为事件B,易知A与B互斥,
P(A)==,P(B)=××=,
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率P=P(A)+P(B)=+=,故选C.
10.B　依题意,所求概率P=+×+=或P=1--××=.故选B.
11.答案　
解析　设X表示五枚硬币中正面向上的硬币枚数,
则P(X=2)+P(X=3)=×0.52×(1-0.5)3+×0.53×(1-0.5)2=.
12.答案　 0.312 5
解析　设此人答对的试题数为X,由题意知,X~B(4,0.5),
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=×0.54+0.54=0.312 5.
13.解析　(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为=.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为×+=,
所以可看作3重伯努利试验,
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B,
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
14.解析　(1)易知ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4,
且P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)记“需要补种棕榈树”为事件A,由(1)得,P(A)=P(ξ≤2)=++=,
所以需要补种棕榈树的概率为.
15.ABD　
16.C　由题意得,P(X=2)=,
P(Y=2)=,
所以P(X=2)+P(Y=2)=.
故选C.
17.D　因为P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=+=.故选D.
18.ABD　2件都是一等品的概率为=,
2件中有一件是次品的概率为=,
2件都是正品的概率为=,
2件中至少有1件是一等品的概率为=.
故选ABD.
19.解析　(1)由题意知,7名同学中,会法语的人数为5.
从7人中选派3人,共有种选法,3人中恰有2人会法语,共有种选法,
∴选派的3人中恰有2人会法语的概率P==.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
20.解析　(1)“从中任意取出3件进行检验,至少有2件是合格品”记为事件A,
则事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”两个基本事件,
∴P(A)=×0.72×0.3+0.73=0.784.
(2)X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∵只有抽取的2件产品都合格时才接收这批产品,
∴商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格,记“商家拒收这批产品”为事件B,
则P(B)=1-P(X=0)=,
∴商家拒收这批产品的概率为.
能力提升练
1.A　由题意得,最多1人被感染的概率为+××==.
故选A.
2.ABC　设每次取到红球的概率为p(0由题意得p2(1-p)2>,即p(1-p)>,
解得易知p=,所以n=12p∈(4,8),
所以n=5或n=6或n=7.故选ABC.
3.答案　18
解析　记再进行80次投掷试验,出现点数1的次数为X,则X~B,
由k=(n+1)p=81×==13.5,结合题中结论可知,k=13时概率最大,即后面进行的80次投掷试验中出现13次点数1的概率最大,
加上前面进行的20次投掷试验中出现的5次,所以出现18次的概率最大.
4.答案　
解析　由题图可知,小球从正上方落下共会碰到4次钉子,每次碰到钉子后向左或向右继续下落的概率为,若想落到2号位置,则需向左落3次,向右落1次,
所以每个小球落入2号位置的概率为××=,所以5个小球从正上方落下,恰有3个小球落到2号位置的概率为=.
5.解析　(1)设A以3∶0、3∶1获胜的事件分别为C,D.要想3∶0获胜,则必须从第一局开始连胜3局,因此P(C)==;要想3∶1获胜,则前3局中只能胜2局,且第4局胜,因此P(D)=×××=.
(2)设前两局双方战成1∶1后A获胜,B获胜的事件分别为E,F.若A获胜,则可能3,4局连胜,或者3,4局只胜1局,且第5局胜,因此P(E)=×+×××=.由于每局均无和棋且A获胜的概率为,则B获胜的概率为.若B获胜,则可能3,4局连胜,或者3,4局只胜1局,且第5局胜,因此P(F)=×+×××=.故奖金应分给A:2 700×=2 000(元),分给B:2 700×=700(元).
方法总结
　　比赛型问题是一类常见的概率问题,对于此类问题,要注意仔细研究比赛规则,然后从最后一局开始分析,看最后一局的胜负能否确定,再分析前几局比赛的胜负情况.6.解析　(1)由题图可知,抽取的100件产品中一级品的频率是=,
故从出厂的所有产品中任取1件,该产品是一级品的概率是.
设从出厂的所有产品中随机取出3件,至少有一件是一级品的事件为A,
则P(A)=1-=.
(2)由题意可知抽取的10件产品中有一级品7件,二级品2件,三级品1件,故ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
7.解析　(1)由题中实验园的频率分布直方图得这100个果实中大果的频率为(0.110+0.010)×5=0.6,
所以估计实验园的“大果”率为60%.
(2)由题中对照园的频率分布直方图得,这100个果实中大果的个数为(0.040+0.020)×5×100=30.
采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个,其中大果有×10=3个,
从这10个果实中随机抽取3个,其中“大果”的个数X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)由题可知P(n)=0.320.7n-2,P(n-1)=×0.320.7n-3,P(n+1)=0.320.7n-1,
要使P(n)最大,则==<1且==<1,
∴1.随机变量
(1)定义:如果随机试验每一个可能结果e都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随
着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.
(2)表示:随机变量通常用X,Y,ξ,η,…表示.
2.离散型随机变量
如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来,则称X为离散型随机变量.
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.1　离散型随机变量及其分布
3.2.2　几个常用的分布
1 | 集合离散型随机变量
1.定义:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,其相应的概率为p1,p2,…,pn,记P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).(*)
或把(*)式列成下表:
上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列).
2.性质:(1) pi≥0 ,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2 | 离散型随机变量的分布列
1.两点分布
如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p ,p∈(0,1),则称
随机变量X服从两点分布,记作 X~B(1,p) .两点分布又称0-1分布.
2.二项分布
(1)伯努利试验:一般地,在相同条件下进行n次重复试验,如果每次试验只有两种
可能的结果A与 ,并且P(A)保持不变,各次试验的结果相互独立,那么称这样的试
验为伯努利试验,它也是一种n次独立重复试验.
(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A出现的次数,设每次试
验中事件A发生的概率为p,则X有概率分布:P(X=k)= pkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p.
注意到 pkqn-k正好是二项式(p+q)n的展开式中的第(k+1)项,故称随机变量X服从
3 | 几个常用的分布
二项分布,记作X~B(n,p),其中n,p为参数,p为事件发生的概率.
(3)二项分布与两点分布的关系:两点分布可看作是一种特殊的二项分布,即n=1的
二项分布.
3.超几何分布
一般地,若N件产品中有M件次品,
任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,
…,l,其中l=min{M,n},且M≤N,n≤N-M,n,M,N∈N+,称分布列
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分
布,记作X~H(N,M,n).
X 0 1 … l
P …
4.二项分布和超几何分布的关系
在产品抽样检验中,若采用有放回抽样,则抽到的次品数服从二项分布,若采用不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布.在实际工作中,抽样一般采用不放回方式,因此计算抽到的次品数为k的概率时应该用超几何分布,但当产品总数很大而抽样数不太大时,不放回抽样可看作是有放回抽样,计算超几何分布可以用计算二项分布来代替.
1.在离散型随机变量的分布列中,每个随机变量的取值所对应的概率都可以为任
意的实数吗
在离散型随机变量的分布列中,每个随机变量的取值所对应的概率均在[0,1]范围内.
2.离散型随机变量的可能取值表示的事件是彼此互斥的吗
是.
3.二项分布与两点分布的关系是什么
二项分布是两点分布的一般形式,两点分布可看作是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.
4.超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M吗
不一定.当抽取的产品数n不大于总体中的次品数M时,k的最大值为n.
知识辨析
求离散型随机变量的分布列的步骤(其中i=1,2,…,n):
1 求离散型随机变量的分布列
典例　从甲地到乙地要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在
各路口遇到红灯的概率分别为 , , .
(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地,求这辆车未遇到红灯的概率;
(2)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列.
解析 (1)设“一辆车独立地从甲地到乙地未遇到红灯”为事件A,则P(A)=
× × = .
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)= ,
P(X=1)= × × + × × + × × = ,
P(X=2)= × × + × × + × × = ,
P(X=3)= × × = ,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
解后反思 (1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是分清X取每一个值对应的随机事件,从而利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率.
(2)在求分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以检验分布列是否正确.
利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤
(1)根据题意设出随机变量;
(2)分析随机变量是否服从二项分布;
(3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值;
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
2 二项分布
典例　某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估,满分为10分,大部分大学食堂的评分在7~10分之间,以下表格记录了它们的评分情况:
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个,求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率;
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况,若从全国的
大学食堂中任选3个,记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数,求X的分布列.
解析 (1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A,
则P(A)= = .
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为 .
分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂个数 1 3 8 3
(2)任选一个大学食堂,其评分不低于9分的概率为= ,因此X~B ,
所以P(X=0)= × = ,
P(X=1)= × × = ,
P(X=2)= × × = ,
P(X=3)= × = ,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
超几何分布是不放回抽样,且计数时无顺序之分,这是识别超几何分布模型的关键.
(1)套用超几何分布模型时,将实际背景与超几何分布的模型进行比较,将问题涉
及的对象转化为“产品”“次品”等进行分析,有利于正确使用超几何模型解题.
(2)得出相应的分布列之后,就可以依据分布列进行相关事件的判断,如“产品合
格的概率”“考试通过的概率”等.
3 超几何分布
典例　某企业使用新技术对某款芯片进行试生产,该厂家生产了两批同种规格
的芯片,第一批占60%,次品率为6%;第二批占40%,次品率为5%.为确保质量,现在
将两批芯片混合,工作人员从中抽样检查.
(1)从混合的芯片中任取1个,求这个芯片是合格品的概率;
(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本,再从样本
中抽取3个芯片,求这3个芯片中第二批芯片的个数X的分布列.
解析 (1)设事件B为“任取一个芯片是合格品”,事件A1为“产品取自第一批”,
事件A2为“产品取自第二批”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|
A1)=0.94,P(B|A2)=0.95.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.94+0.4×0.95=0.944.
(2)由条件可知,样本中第一批芯片的个数为9,第二批芯片的个数为6,
易知X的可能取值为0,1,2,3,
且P(X=0)= = = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.1　离散型随机变量及其分布
　　　　　　　　　　　　　　　基础过关练　
题组一　随机变量及离散型随机变量的概念
1.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射击手在一次射击中的得分X;
③一天内的气温X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码X.
其中X是离散型随机变量的是(　　)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④
2.(多选)某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,记射击次数为X,则 “X=5”表示的试验结果包括(　　)
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标
D.第4次击中目标
3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是(　　)
A.5 B.9 C.10 D.25
4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回袋中5次”的事件为(　　)
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
5.在一个盒子中放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片,标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.写出随机变量X的可能取值,并说明随机变量X所表示的随机试验的结果.
题组二　离散型随机变量的分布列
6.已知离散型随机变量X的分布列如下,则P(X≥3)等于(　　)
X 1 2 3 4
P
A. B. C. D.
7.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)记“有序数组(m,n)满足m+n=0”为事件A,试列举A包含的基本事件;
(2)设X=m2,求X的分布列.
9.某机构对于某地区的10 000户家庭的年可支配收入的调查中,获得如下的统计数据:60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款,20%的家庭将年可支配收入存入银行,其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%,获得的年收益率为-2%的概率为5%,存入银行的年收益率为2%,风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率,假设该地区的每户家庭的年可支配收入均为10万元.
(1)求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率;
(2)每户家庭获得的年收益为X万元,求X的分布列.
10.袋中装有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.
(1)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;
(2)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为X,求X的分布列.
题组三　离散型随机变量分布列的性质
11.若离散型随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,若P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为(　　)
A.4 B.6 C.9 D.10
12.已知随机变量X的分布列如表所示,则P(X=2)=(　　)
X 1 2 3
P a 2a 3a
A. B. C. D.
13.已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数):
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则P(1≤X≤3)等于(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
14.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
则常数a的值为(　　)
A. B. C.或 D.1或
15.已知离散型随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求P;
(3)求P.
16.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量分布列的性质及其应用
1.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P的值为　(　　)
A. B. C. D.
2.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以“x”“y”(x,y∈[0,9],且x,y∈N)代替,如下表所示:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则P=(　　)
A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
3.已知随机变量ξ的分布列如下:
ξ 0 1 2
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.已知随机变量ξ的分布列如下:
ξ -2 0 2 3
P a
若P(ξ2≤x)=,则实数x的最小值为　　　　.
5.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为　　　　　　　　　.
题组二　求离散型随机变量的分布列
6.某大型商场为了了解客户对其销售的某品牌五种型号电视机的满意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表:
电视机 的型号 65E3F 65E3G 65E5G 65E7G 65E8G
回访客户 (人数) 700 150 200 600 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
满意率是指:该品牌该型号电视机的回访客户中,满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意相互独立,且每种型号电视机的回访客户对此型号电视机满意的概率与表格中该型号电视机的满意率相等.
(1)从所有的回访客户中随机抽取1人,求这个客户满意的概率;
(2)从65E3F型号、65E3G型号电视机的所有回访客户中各随机抽取1人,设其中满意的人数为X,求X的分布列.
7.为了让更多的人了解中国传统文化,某地举办了一场中国传统文化知识大赛,为了了解本次大赛参赛人员的成绩情况,从参赛的人员中随机抽取n名人员,将他们的成绩(满分100分)作为样本,对所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示,已知抽取的参赛人员中成绩在[50,60)内的频数为3.
(1)求n的值;
(2)已知抽取的n名参赛人员中,成绩在[80,90)和[90,100]内的女士都有2人,现从成绩在[80,90)和[90,100]内的参赛人员中各随机抽取2人,记这4人中女士的人数为X,求X的分布列.
8.甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛,若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两班级之间的演出班级(不含甲、乙)的个数X的分布列.
答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.1　离散型随机变量及其分布
基础过关练
1.B　
2.ABC　
3.B　因为在有放回抽取的条件下取出两个球,所以每次抽取的球的号码均可能是1,2,3,4,5中的某个,故两次抽取的球的号码之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选B.
4.C　根据题意可知,如果没有抽到红球,那么将黑球放回,然后继续抽取,抽取次数X的可能取值为1,2,3,…,所以“放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以X=6,故选C.
5.解析　因为x,y的可能取值均为1,2,3,所以|x-2|=0或1,|y-x|=0或1或2,
所以X的可能取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片标号为x,第二次抽到的卡片标号为y,则随机变量X取各值的意义如下:
X=0表示(2,2);
X=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
X=2表示(1,2),(3,2);
X=3表示(1,3),(3,1).
6.A　P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=.故选A.
7.D　易知X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.2×0.3=0.06,P(X=1)=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38,P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D.
8.解析　(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件有(-2,2),(2,-2),
(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)m的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以X=m2的所有可能取值为0,1,4,9,
且P(X=0)=,P(X=1)==,
P(X=4)==,P(X=9)=.
故X的分布列为
X 0 1 4 9
P
9.解析　(1)由已知得,这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为1-20%=80%.
(2)由已知得,X的可能取值为10×5%=0.5,10×(-2%)=
-0.2,10×2%=0.2,10×3%=0.3,
P(X=0.5)=60%×95%=0.57,
P(X=-0.2)=60%×5%=0.03,
P(X=0.2)=20%=0.2,
P(X=0.3)=1-60%-20%=20%=0.2,
所以X的分布列为
X -0.2 0.2 0.3 0.5
P 0.03 0.2 0.2 0.57
10.解析　(1)摸出的2个小球为异色球的情况种数为+=19,从8个小球中摸出2个小球的情况种数为=28,故所求概率 P=.
(2)由题意知,随机变量X的可能取值为1,2,3.符合条件的摸法有以下三种:
①摸得1个红球,1个黑球,1个白球,共有=12种不同摸法,
②摸得2个红球,1个其他颜色的球,共有=24种不同摸法,
③摸得的3个球均为红球,共有=4种不同摸法,
故符合条件的不同摸法有40种.
故P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
可得X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P
11.D　 因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=0.2,所以n=10.故选D.
12.C　依题意得a+2a+3a=1,解得a=,
所以P(X=2)=2×=,故选C.
13.C　因为0.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,所以a=0.2,
所以P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.2+0.3=0.6.
故选C.
14.A　由离散型随机变量分布列的性质知,
∴a=,
故选A.
易错警示
　　本题不仅要注意分布列中各概率之和为1,还要注意每一个概率值均在区间[0,1]内.
15.解析　由题意得随机变量X的分布列如表所示.
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性质得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
(2)解法一:P=P+P+P(X=1)=++=.
解法二:P=1-P=1-=.
(3)∵∴P=P+P
=+=.
16.解析　(1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
且P(Y=0)=,
P(Y=1)=+==,
P(Y=4)=+==,
P(Y=9)=.
可得随机变量Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)∵P(Y能力提升练
1.B　由已知得+++=1,解得a=,所以P=P(X=3)==,故选B.
2.B　根据分布列的性质可知,随机变量的所有取值的概率之和为1,得x=2,y=5.故P=P(X=2)+P(X=3)=0.35.
3.B　由题意知a,b,c∈[0,1],且可得b=.
因为函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,
所以方程x2+2x+ξ=0有两个相等的实数根,可得Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,
所以P(ξ=1)=.故选B.
4.答案　 4
解析　由题意,可得+++a=1,解得a=,
由随机变量ξ的分布列可知,ξ2的可能取值为0,4,9,
可得P(ξ2=0)=,P(ξ2=4)=+=,P(ξ2=9)=,
因为P(ξ2≤x)=,所以x的取值范围为4≤x<9,则实数x的最小值为4.
5.答案　
ξ 0 1
P
解析　ξ的可能取值为0,1,.
若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条,
所以P(ξ=0)==,
若两条棱平行,则它们之间的距离为1或,而距离为的棱共有6对,
则P(ξ=)==,
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
6.解析　(1)由题意及题表中数据知,抽取的回访客户的总人数是700+150+200+600+350=2 000,
满意的回访客户的人数为700×0.5+150×0.3+200×0.6+600×0.3+350×0.2=765,
故所求概率为=.
(2)易知X的可能取值为0,1,2.
设事件A为“从65E3F型号电视机的所有回访客户中随机抽取的人满意”,
事件B为“从65E3G型号电视机的所有回访客户中随机抽取的人满意”,易知A,B为相互独立事件.
根据题意,可知P(A)=0.5,P(B)=0.3,
则P(X=0)=P( )=[1-P(A)][1-P(B)]=0.5×0.7=0.35,
P(X=1)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5×0.7+0.5×0.3=0.5,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.3=0.15.
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.35 0.5 0.15
解析　(1)由题中频率分布直方图知,成绩在[50,60)内的频率为1-
(0.040 0+0.030 0+0.012 5+0.010 0)×10=0.075,
∵成绩在[50,60)内的频数为3,
∴n==40.
(2)由(1)及题中频率分布直方图知,
抽取的参赛人员中成绩在[80,90)内的人数为0.012 5×10×40=5,
成绩在[90,100]内的人数为0.010 0×10×40=4,
易知X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
技巧点拨
　　求离散型随机变量的概率分布列的关键是弄清楚离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件,然后利用古典概型、排列组合等知识求出X取每个值时的概率,最后列出表格即可.
8.解析　(1)由题意得,甲、乙两班级的出场序号均为偶数的概率P1==,故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率P2=1-P1=.
(2)易知X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P

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