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第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.4　离散型随机变量的方差
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的方差与标准差
1.已知随机变量ξ的分布列如下表,则D(ξ)=(　　)
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 0.5
A.0.95 B.3.2 C.0.7 D.3.56
2.某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示.
年薪 (万元) 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为(　　)
A.24.5 B.25.5 C.26.5 D.27.5
3.若随机事件X的概率分布列为P(X=i)=a·(i=1,2,3,4),则D(X)=(　　)
A.3 B.10 C.9 D.1
4.若随机变量X的分布列如下表:
X 1 0 -1
P
则当实数a在(0,1)内增大时,D(X)(　　)
A.增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
题组二　离散型随机变量的方差的性质
5.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(3X+5)=　　　　.
6.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表:
ξ -2 0 2
P a b
若随机变量ξ的数学期望E(ξ)=,则b=　　　　,D(2ξ+1)=　　　　.
7.已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及标准差;
(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).
题组三　几个特殊分布的方差
8.已知ξ~B,并且η=3ξ+2,则η的方差D(η)=　(　　)
A.8 B.10 C. D.
9.从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球,用X表示是否取到白球,即X=则X的方差D(X)为(　　)
A. B. C. D.
10.袋中有2个白球,3个红球,5个黄球,这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球,求恰好取到2个黄球的概率;
(2)从袋中任取2个球,记取到红球的个数为ξ,求ξ的分布列、数学期望E(ξ)和方差D(ξ).
11.“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示1次手势记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势都是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;
(2)若玩家甲、乙共进行了3次游戏,将其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,假设每次游戏的结果互不影响,求X的分布列和方差.
题组四　期望与方差的简单应用
12.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1A. B. C.3 D.
13.将3个小球放入3个盒子中,盒子的容量不限,且每个小球放入每个盒子的概率相等.记X为分配后所剩空盒的个数,Y为分配后不空盒子的个数,则(　　)
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
14.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列如下:
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a,b的值;
(2)计算ξ,η的数学期望与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的方差
1.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=,P(X=3)=,若X的数学期望E(X)=,则D(4X-3)=(　　)
A.19 B.16 C. D.
2.(多选)已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P m n m
则下列结论一定成立的是(　　)
A.P(X=1)B.E(X)=1
C.mn≤
D.D(X+1)<1
3.已知随机变量ξ的分布列如下表所示,其中≤p≤.当p=　　　　时,E(ξ)取得最大值;当p=　　　　时,D(ξ)取得最大值.
ξ 1 2 3
P p -p
4.已知随机变量X的分布列如下:
X 0 1 2
P a b c
在①a=b-c,②E(X)=1这两个条件中任选一个作为已知,判断当a在内增大时,D(X)是否随着a的增大而增大,并说明理由.
题组二　离散型随机变量的期望与方差的实际应用
5.如图,某工人的住所在A处,上班的企业在D处,开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到B,C,E,F,G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为,,,,,此外再无别的路口会遇到红灯.
(1)为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线
(2)对于(1)中所选择的路线,求其堵车次数的方差.
6.某高校设计了一个实验学科的考核方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定至少正确完成其中2道题才可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题正确完成的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列,并计算均值;
(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2道题的概率几个方面比较两位考生的实验操作能力.
7.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕将作为厨余垃圾处理.
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天的需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)烘焙店记录了100天内这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求 量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
X表示当天的利润(单位:元),以频率估计概率.
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求X的分布列、数学期望与方差;
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个这种蛋糕 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.4　离散型随机变量的方差
基础过关练
1.D　
2.B　由题表中数据可知,年薪的平均数为×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12)=50.4,所以该公司雇员年薪的方差为×[(135-50.4)2+(95-50.4)2+2×(80-50.4)2+(70-50.4)2+3×(60-50.4)2+4×(52-50.4)2+(40-50.4)2+12×(31-50.4)2]=647.76,
所以该公司雇员年薪的标准差为≈25.5.
故选B.
3.D　由题意可得+++=1,解得a=1,
则E(X)=+2×+3×+4×=3,
所以E(X2)=+4×+9×+16×=10,
所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=10-9=1.故选D.
4.B　由题意得E(X)=1×+0×+(-1)×=,
则D(X)=×+×+×=--+1=-(a+1)2+,
∴当实数a在(0,1)内增大时,D(X)减小.
故选B.
5.答案　6
解析　由题意得E(X)=(1+2+3)×=2,
则D(X)=×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=,
所以D(3X+5)=32D(X)=9×=6.
6.答案　;11
解析　由题表中数据得E(ξ)=-2a+0×b+2×=,解得a=,则b=,
所以D(ξ)=×+×+×=,
所以D(2ξ+1)=4D(ξ)=11.
7.解析　(1)由题可得E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16,
则D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384,
∴=8.
(2)∵Y=2η-E(η),
∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536.
8.A　由ξ~B可得D(ξ)=4××=,因为η=3ξ+2,所以D(η)=9D(ξ)=9×=8,故选A.
9.A　由题意可知X服从两点分布,且P(X=1)=,故D(X)=×=.故选A.
10.解析　(1)从袋中任取3个球的情况共有种,恰好取到2个黄球的情况共有种,
故从袋中任取3个球,恰好取到2个黄球的概率P==.
(2)由题意可知,ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
数学期望E(ξ)=×0+×1+×2=,
方差D(ξ)=×+×+×=.
11.解析　(1)易知玩家甲、乙在1次游戏中出示的手势的所有可能结果有3×3=9(种),
其中玩家甲胜玩家乙的结果有甲出“石头”乙出“剪刀”,甲出“剪刀”乙出“布”,甲出“布”乙出“石头”,共3种,
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为=.
(2)易知X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X~B,所以X的方差D(X)=3××=.
方法总结
　　若离散型随机变量服从二项分布,则其均值和方差既可以利用定义求解,也可以代入二项分布的均值和方差的计算公式求解.
12.C　∵E(X)=,D(X)=,
∴
解得或(不合题意,舍去),
∴x1+x2=3.
13.C　因为一共有3个盒子,所以X+Y=3,
因此E(X)=E(3-Y)=3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2D(Y)=D(Y).
由题意可知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)===,
P(X=2)===,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=,
故E(X)=×0+×2+×1=,
所以E(Y)=3-E(X)=3-=,故选C.
14.解析　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,∴a=0.3.
同理,0.3+b+0.3=1,解得b=0.4.
(2)易得E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,
E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,
则D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,
D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.
由于E(ξ)>E(η),所以在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人的技术都不够全面,各有优势与劣势.
能力提升练
1.A　由题知P(X=0)=,设P(X=1)=a,则P(X=2)=--a=-a,因此E(X)=0×+1×a+2×+3×=,解得a=,因此离散型随机变量X的分布列如下:
X 0 1 2 3
P
则D(X)=×+×+×+×=,
因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A.
2.BCD　由分布列的性质得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,当m=,n=时,P(X=1)=P(X≠1),故A错误;易得E(X)=n+2m=1,故B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥2,即mn≤,当且仅当n=2m=时,等号成立,故C正确;由n=1-2m>0,得03.答案　;
解析　由题意可得E(ξ)=1×p+2×+3×=-2p,因为≤p≤,所以当p=时,E(ξ)取得最大值.
D(ξ)=p×+×+×=-4p2+p+,
故当p=-=时,D(ξ)取得最大值.
4.解析　若选择①,则有
可得b=,c=-a,
则E(X)=b+2c=-2a,
所以D(X)=·a+·b+·c=-4a2+2a+=-4+,
所以当a∈时,D(X)随着a的增大而增大,当a∈时,D(X)随着a的增大而减小.
若选择②,则有
可得a=c,
因此D(X)=a+c=2a,
所以当a在内增大时,D(X)随着a的增大而增大.
5.解析　(1)设这位工人选择行驶路线A—B—C—D、A—F—E—D、A—B—G—E—D时堵车的次数分别为X1,X2,X3,则X1,X2的可能取值均为0,1,2,X3的可能取值为0,1,2,3.
P(X1=0)=×=,
P(X1=1)=×+×=,
P(X1=2)=×=,
所以E(X1)=0×+1×+2×=.
P(X2=0)=×=,
P(X2=1)=×+×=,
P(X2=2)=×=,
所以E(X2)=0×+1×+2×=.
P(X3=0)=××=,
P(X3=1)=××+××+××=,
P(X3=2)=××+××+××=,
P(X3=3)=××=,
所以E(X3)=0×+1×+2×+3×=.
综上,E(X2)最小,所以这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D.
(2)由(1)知E(X2)=,P(X2=0)=,
P(X2=1)=,P(X2=2)=,
则D(X2)=×+×+×=,
所以该条行驶路线堵车次数的方差为.
6.解析　(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ,则ξ的可能取值是1,2,3.
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
E(ξ)=1×+2×+3×=2.
设考生乙正确完成实验操作的题数为η,
易知η~B,
所以P(η=0)==,P(η=1)=×=,P(η=2)==,P(η=3)==.
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
E(η)=3×=2.
(2)由(1)知E(ξ)=E(η)=2,D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=,D(η)=3××=,P(ξ≥2)=+=,P(η≥2)=+=.所以D(ξ)P(η≥2),
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定;从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.
方法总结
　　利用数学期望与方差研究实际问题中两个变量X,Y水平高低的一般步骤:
(1)分别求出两个变量X,Y的分布列;
(2)根据分布列求得各自的数学期望与方差;
(3)分别比较两个变量的数学期望与方差的大小,再得出相应的结论.
7.解析　(1)由题意,当n∈[0,16),且n∈N时,利润y=120n-960;
当n∈[16,+∞),且n∈N时,利润y=(120-60)×16=960.
综上,当天的利润y关于当天的需求量n的函数解
析式为y=
(2)①由(1)可得,
当n=14时,利润X=120×14-960=720;
当n=15时,利润X=120×15-960=840;
当n≥16时,利润X=960,
结合题中表格可得X的分布列为
X 720 840 960
P 0.1 0.2 0.7
所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912;
D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6 336.
②若加工17个这种蛋糕,
当n=14时,利润X=120×14-60×17=660;
当n=15时,利润X=120×15-60×17=780;
当n=16时,利润X=120×16-60×17=900;
当n≥17时,利润X=(120-60)×17=1 020.
故X的分布列为
X 660 780 900 1 020
P 0.1 0.2 0.16 0.54
则E(X)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1 020×0.54=916.8>912,
所以从数学期望来看,一天加工17个这种蛋糕的利润高于一天加工16个这种蛋糕的利润,故应加工17个这种蛋糕.(共19张PPT)
1.定义
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的数学期望或均值.
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3.2.3　离散型随机变量的数学期望　　
3.2.4　离散型随机变量的方差
1 | 离散型随机变量的数学期望
2.公式
(1)若X~B(1,p),则E(X)= p ;
(2)若X~B(n,p),则E(X)= np ;
(3)若X~H(N,M,n),则E(X)= ;
(4)若Y=aX+b,a,b为常数,则E(Y)= aE(X)+b .
1.离散型随机变量的方差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列为
由数学期望的公式可知D(X)=E{[X-E(X)]2}= p1+(x2-E(X))2p2+…+
pn,则称D(X)为随机变量X的方差,并称 为X的标准差.通常还用σ2
表示方差D(X),用σ表示标准差 .
(2)意义:方差或标准差越小,则随机变量的取值向数学期望集中得越好;反之,方差
或标准差越大,则随机变量的取值就越分散.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2 | 离散型随机变量的方差与标准差
2.公式
(1)若X~B(1,p),则D(X)= p(1-p) ;
(2)若X~B(n,p),则D(X)= np(1-p) ;
(3)若Y=aX+b,a,b为常数,则D(Y)= a2D(X) ;
(4)在方差的计算中,利用下面的结论可简化计算.
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.简记:方差等于平方的均值减去均值的平方.
1.离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗
不都是.样本的方差随样本的不同而变化,是一个随机变量,而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数.
2.若c为常数,则E(c),D(c)分别为何值
E(c)=c,D(c)=0.
3.随机变量的均值与样本的均值有何区别与联系
随机变量的均值是一个常数,而样本的均值依赖于样本的选择,是一个随机变量.在大多数情况下,当样本容量足够大时,样本均值会逐渐接近于总体均值,因此,我们常用样本均值估计总体的均值.
知识辨析
1.求离散型随机变量X的数学期望的步骤
(1)理解X的意义,并写出X的全部可能取值.
(2)求出X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列(有时也可省略).
(4)利用E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求出E(X).
其中第(1)、(2)条是解答此类题目的关键,在求解过程中要注重运用概率的相关知识.
2.实际生活中的数学期望问题
数学期望在实际生活中有着广泛的应用.对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的均值来进行估计.
1 求离散型随机变量的数学期望
典例1　“双减”政策实施后,为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间t(单
位:min),某研究人员随机调查了600名学生,得到的数据统计如下表:
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 ;(同一组中的数据用该组区间
的中点值作为代表)
(2)在这600人中,用分层抽样的方法从周末体育锻炼时间在[40,60)内的学生中抽
取15人,再从这15人中随机抽取3人,记这3人中周末体育锻炼时间在[50,60)内的
人数为X,求X的分布列以及数学期望E(X).
周末体育锻炼时间t(min) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
解析 (1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 =35×0.1+45×0.2+55×0.3
+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5(min).
(2)依题意知,抽取的15人中周末体育锻炼时间在[40,50)内的学生有6人,在[50,60)
内的学生有9人,易知X~H(15,9,3),
则P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,
故X的分布列为
E(X)=0× +1× +2× +3× = 或E(X)= = = .
解后反思 在求随机变量的数学期望时,若该分布为特殊分布(如超几何分布等),
则考虑直接利用相应的数学期望公式速解.
X 0 1 2 3
P
典例2　某投资公司现提供两种一年期投资理财方案,一年后投资盈亏的情况
如下表,已知每种投资方案一年后的投资盈亏只可能出现相应表格中列举的几种
情况,且两种投资方案相互独立.
(1)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”,若
一年后他们中至少有一人盈利的概率大于 ,求m的取值范围;
(2)若m= ,某人现有10万元资金,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方
投资股市 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率P
购买基金 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率P m n
案中选择一种,那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望较大 请
说明理由.
思路分析 (1)根据一年后他们中至少有一人盈利的概率大于 列出关于m的不
等式,求解该不等式并结合随机变量取不同值的概率和为1得到m的取值范围;
(2)分别求出两种方案中收益的数学期望,通过比较数学期望进行选择.
解析 (1)设事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事
件C为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”,
则C=(A )∪( B)∪(AB),其中A,B相互独立.由题表知P( )= ,P(A)= ,P(B)=m,
P( )=1-m,所以P(C)=P(A )+P( B)+P(AB)= (1-m)+ m+ m= (1+m),
由 (1+m)> ,解得m> .
因为m+ +n=1且0≤m≤1,0≤n≤1,
所以0≤m≤ ,故 (2)选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望较大.理由如下:
假设此人选择“投资股市”,记一年后的投资收益为ξ万元,则ξ的分布列为
ξ 4 0 -2
P
则E(ξ)=4× +0× -2× = .
假设此人选择“购买基金”,记一年后的投资收益为η万元,则η的分布列为
η 2 0 -1
P
则E(η)=2× +0× -1× = .
因为E(ξ)>E(η),
所以选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望较大.
1.求离散型随机变量X的方差、标准差的步骤
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,求出E(X);
(4)根据公式计算D(X)、 .
2.方差的计算技巧
(1)方差的计算需要一定的运算能力,公式的记忆不能出错.在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2进行计算不失为一种比较实用的方法.
(2)若X是随机变量,则Y=f(X)也是随机变量,在求Y的数学期望与方差时,可直接应用数学期望与方差的性质求解,而避免了求Y的分布列的运算.
2 求离散型随机变量的方差、标准差
典例　已知X的分布列如下:
(1)求X2的分布列;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
思路分析 (1)由概率之和等于1,求得a,从而求得X2的分布列;(2)直接利用方差的定义或公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2计算X的方差;(3)根据均值、方差的性质求解.
X -1 0 1
P a
解析 (1)由分布列的性质,知 + +a=1,解得a= ,从而X2的分布列为
(2)解法一(直接法):由(1)知a= ,所以X的均值E(X)=-1× +0× +1× =- .
故X的方差D(X)= × + × + × = .
解法二(公式法):由(1)知a= ,所以X的均值E(X)=-1× +0× +1× =- ,X2的均值
E(X2)=0× +1× = ,所以X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2= .
(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
X2 0 1
P
利用数学期望与方差的意义分析并解决实际问题的步骤
(1)比较数学期望.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平
均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算数学期望,看一下谁的平均水平高.
(2)在数学期望相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定
与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据方差的统计意义给出结论.
3 数学期望与方差在实际问题中的综合应用
典例　甲、乙两名射手在一次射击中射中的环数分别为随机变量ξ,η,已知ξ,η相互独立且甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
思路分析 (1)由分布列的性质先求出a的值和乙射中7环的概率,再分别列出ξ,η的分布列;(2)要比较甲、乙两名射手的射击水平,需先比较两名射手射中环数的均值,再比较其方差.
解析 (1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+
0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得:
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)以甲比乙的射击技术好.
第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.3　离散型随机变量的数学期望
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的数学期望
1.已知离散型随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3
P
则数学期望E(X)=(　　)
A. B. C.1 D.2
2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为(　　)
A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.3
3.某船队出海捕鱼,若出海后天气晴朗,则可获得5 000元收益;若出海后天气恶劣,将损失2 000元.若天气晴朗的概率为0.6,则出海的期望收益是(　　)
A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元
4.在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛必有胜负,没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7,第一轮获胜团体有奖金5 000元,第二轮获胜团体有奖金8 000元,未获胜团体每轮有1 000元鼓励奖金.
(1)求甲团体至少胜一轮的概率;
(2)记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元,求X的分布列及数学期望.
题组二　离散型随机变量的数学期望的性质
5.已知Y=4X+7,E(Y)=15,则E(X)=(　　)
A.67 B.11 C.2 D.1
6.已知ξ,η为随机变量,且η=aξ+b,若E(ξ)=1.6,E(η)=3.4,则a,b可能的值为(　　)
A.2,0.2 B.1,4
C.0.5,1.4 D.1.6,3.4
7.(多选)已知随机变量X的分布列为
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若E(X)=7.5,则以下结论正确的是(　　)
A.a无法确定 B.b=0.4
C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9
题组三　几种特殊分布的数学期望
8.在掷一枚图钉的随机试验中,令X=若随机变量X的分布列如下表,则E(X)=(　　)
X 0 1
P 0.3 p
A.0.21 B.0.3 C.0.5 D.0.7
9.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.
10.某学校要招聘志愿者,参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对其中的3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙的得分为Y,求Y的分布列和数学期望.
题组四　数学期望的综合应用
11.为响应市政府“绿色出行”的号召,小李工作日上下班的出行方式由自驾改为乘坐公共交通或骑共享单车中的一种.据统计,小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4,骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共交通单程所需的费用是3元,骑共享单车单程所需的费用是1元.记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元,假设小李上下班选择出行方式是相互独立的(小李上下班各计一次单程).
(1)求小李在一个工作日内上下班的出行费用为4元的概率;
(2)求X的分布列和数学期望E(X).
12.2022年2月4日至20日,第24届冬季奥林匹克运动会在北京、张家口成功举办.这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台,也是中外文明交流互鉴的舞台,折射出我国更加坚实的文化自信,诠释着新时代中国的从容姿态,传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位:分钟),并根据样本数据得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计样本数据的第85百分位数;
(2)采用分层抽样方式,从观看时长在[200,280]内的学生中抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校师生面前交流观看体会,设抽取的3人中观看时长在[200,240)内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
13.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1:不分类卖出,售价为20元/kg;
方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下,
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价 (元/kg) 16 18 22 24
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的期望
1.已知随机变量X的分布列如下,若随机变量Y满足Y=aX+3,E(Y)=,则a的值为(　　)
X -1 0 1
P
A.4 B.-4 C.2 D.-2
2.林老师等可能地从1~3中抽取一个数字,记为X,叶老师等可能地从1~5中抽取一个数字,记为Y,已知E(XY)=p1+2p2+…+15p15,其中pk是XY=k的概率,且1≤k≤15,k∈N+,则E(XY)=(　　)
A.3 B.5 C.6 D.8
3.为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同.比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　)
A. B.1 C. D.2
4.(多选)已知随机变量X的分布列如下表:
X -1 0 1
P a b
记“函数f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A,则　　(　　)
A.P(A)= B.E(X)=
C.E(X)=-2a D.E(X2)=
5.小明上学途中共有n个红绿灯,且小明遇到每个红灯的概率均为,记小明在某次上学途中遇到红灯的次数为ξ,若小明此次上学途中恰好遇到两个红灯的概率为,则n=　　　　,E(ξ)=　　　　.
题组二　期望的实际应用
6.某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10 000元,乙设备每台9 000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1 000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以频率代替概率.
维修次数 2 3 4 5 6
甲设备 5 10 30 5 0
乙设备 0 5 15 15 15
(1)设甲、乙两种设备一台的购买费用与一年间维修费用总额分别为X元和Y元,求X和Y的分布列;
(2)若以数学期望为决策依据,希望购买设备和一年间维修的花费总额尽量低,且维修次数尽量少,则需要购买哪种设备 请说明理由.
7.暑假里,大学二年级的同学H去他家附近的某个大型水果超市打工.他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A水果,然后以15元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库.同学H记录了打工期间A水果在50天内的日需求量(单位:千克),整理得下表:
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率,解答下面的两个问题.
(1)若超市明天购进A水果150千克,记超市明天所获利润为X元,求X的分布列及数学期望;
(2)若超市明天可以购进A水果150千克或160千克,以超市明天所获利润的期望为决策依据,在150千克与160千克之中应当选择哪一个 若受市场影响,剩余的水果只能以7元/千克的价格退回中心仓库,又该选择哪一个 请说明理由.
8.某夜市街上有“十元套圈”小游戏,游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈,顾客使用套圈所套得的奖品可归顾客所有.奖品分别摆放在1,2,3三个相互间隔的区域中,且1,2,3三个区域的奖品的价值分别为5元,15元,20元,每个套圈只能使用一次,每次至多能套中一个.小张付十元参与这个游戏,假设他每次在1,2,3三个区域套中奖品的概率分别为0.6,0.2,0.1,且每次的结果互不影响.
(1)求小张在1,2,3三个区域各套一次后,所获奖品不超过1件的概率;
(2)若在1,2,3三个区域各套一次为方案甲,所获奖品的总价值为X元;在2区域连套三次为方案乙,所获奖品的总价值为Y元.以三次所套奖品总价值的数学期望为依据,小张应该选择方案甲还是方案乙
答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.2　离散型随机变量及其分布列
3.2.3　离散型随机变量的数学期望
基础过关练
1.D　
2.C　由题意,得
解得故选C.
3.B　由题意知,出海的期望收益为5 000×0.6+(-2 000)×(1-0.6)=3 000-800=2 200(元).
故选B.
4.解析　(1)记第一轮甲团体获胜为事件A,第二轮乙团体获胜为事件B,则P(A)=0.6,P(B)=0.7,P()=1-0.6=0.4,P()=1-0.7=0.3,
第一轮甲胜、第二轮乙胜的概率P(AB)=0.6×0.7=0.42;
第一轮乙胜、第二轮甲胜的概率P()=0.4×0.3=0.12;
第一轮甲胜、第二轮甲胜的概率P(A)=0.6×0.3=0.18,
故甲团体至少胜一轮的概率P=0.42+0.12+0.18=0.72.
(2)由已知可得X的可能取值为2 000,6 000,9 000,13 000,
P(X=2 000)=P(A)=0.6×0.3=0.18;
P(X=6 000)=P()=0.4×0.3=0.12;
P(X=9 000)=P(AB)=0.6×0.7=0.42;
P(X=13 000)=P(B)=0.4×0.7=0.28.
所以X的分布列为
X 2 000 6 000 9 000 13 000
P 0.18 0.12 0.42 0.28
则E(X)=2 000×0.18+6 000×0.12+9 000×0.42+13 000×0.28=8 500.
5.C　
6.A　E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b=1.6a+b=3.4,
把选项逐个代入验证,只有A满足,故选A.
7.BCD　由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;
∵E(X)=4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;
由期望的性质,可知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,
E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,故C,D均正确.
故选BCD.
8.D　易知0.3+p=1,所以p=0.7,
所以E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7.
9.D　由题意得随机变量X~H(10,4,2),所以E(X)==.
10.解析　(1)由题意得,甲通过初试的概率P1=+=,
乙通过初试的概率P2=+=.
∵>,∴甲通过初试的可能性更大.
(2)设乙答对试题的个数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,
∴P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==,
易知Y=5X,
∴Y的分布列为
Y 0 5 10 15 20
P
E(Y)=5×4×=15.
11.解析　(1)在一个工作日内上下班的出行费用为4元,即乘坐公共交通和骑共享单车各一次,
其概率为P(X=4)=2×0.4×0.6=0.48.
(2)依题意,X的可能取值是2,4,6,
P(X=2)=0.6×0.6=0.36,
P(X=4)=0.48,
P(X=6)=0.4×0.4=0.16,
因此X的分布列为
X 2 4 6
P 0.36 0.48 0.16
X的数学期望E(X)=2×0.36+4×0.48+6×0.16=3.6.
12.解析　(1)由题图可知40×(0.000 5+0.002×2+2a+0.006+0.006 5)=1,解得a=0.004.
观看时长在200分钟以下的占比为40×(0.000 5+0.002+0.004+0.006+0.006 5)=0.76,
观看时长在240分钟以下的占比为0.76+40×0.004=0.92,
所以样本数据的第85百分位数位于[200,240)内,故样本数据的第85百分位数可估计为200+40×=222.5.
(2)由题图知,观看时长在[200,240),[240,280]内的频率分别为0.16和0.08,
所以应在这两个区间中分别抽取4人和2人.
于是X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=2.
13.解析　(1)设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)==,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z~B,
∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)=×=.
(2)设方案2中水果的售价为Y,则
E(Y)=16×+18×+22×+24×==20.6.
∵E(Y)>20,
∴从采购商的角度考虑,应该采用方案1.
(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个.
易知X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
能力提升练
1.A　易得E(X)=-1×+0×+1×=-.
∵Y=aX+3,∴E(Y)=aE(X)+3=a×+3=,
∴a=4,故选A.
2.C　依题意得,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=,所以E(X)=1×+2×+3×=2,E(Y)=1×+2×+3×+4×+5×=3,易知X与Y的获取相互独立,所以E(XY)=E(X)E(Y)=6,故选C.
3.B　记抽到自己准备的书的学生人数为X,则X的可能取值为0,1,2,4,
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=4)==,
则E(X)=0×+1×+2×+4×=1.
故选B.
4.ACD　因为函数f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函数,所以π=+kπ,k∈Z,所以X=2k+1,k∈Z,
又因为X=-1,0,1,所以事件A表示X=±1,
所以P(A)=a+b=1-=,
E(X)=(-1)×a+0×+1×b=b-a=-2a,
随机变量X2的可能取值为0,1,
P(X2=0)=,P(X2=1)=,
所以E(X2)=0×+1×=.
故选ACD.
5.答案　4;
解析　由题意得P(ξ=2)==,
则n(n-1)=,显然n≥2且n∈N+,
当n=2时,2×1×=2≠;当n=3时,3×2×=4≠;
当n=4时,4×3×=,
因此n=4.易知ξ~B,故E(ξ)=4×=.
6.解析　(1)由题中频数分布表可知,X的可能取值为10 000,11 000,12 000,
P(X=10 000)==,
P(X=11 000)==,
P(X=12 000)==.
因此X的分布列为
X 10 000 11 000 12 000
P
Y的可能取值为9 000,10 000,11 000,12 000,
P(Y=9 000)==,
P(Y=10 000)==,
P(Y=11 000)==,
P(Y=12 000)==.
因此Y的分布列为
Y 9 000 10 000 11 000 12 000
P
(2)由(1)可得,E(X)=10 000×+11 000×+12 000×=10 800,
E(Y)=9 000×+10 000×+11 000×+12 000×=10 800.
设甲、乙两种设备一年内的维修次数分别为X1、Y1,
X1的可能取值为2,3,4,5,
P(X1=2)==,P(X1=3)==,
P(X1=4)==,P(X1=5)==.
因此X1的分布列为
X1 2 3 4 5
P
所以E(X1)=2×+3×+4×+5×=3.7.
Y1的可能取值为3,4,5,6,
P(Y1=3)==,P(Y1=4)==,
P(Y1=5)==,P(Y1=6)==.
因此Y1的分布列为
Y1 3 4 5 6
P
所以E(Y1)=3×+4×+5×+6×=4.8.
由于E(X)=E(Y),E(X1)7.解析　(1)若A水果明天的需求量为140千克,则X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)=680,且P(X=680)==0.1;
若A水果明天的需求量不少于150千克,则X=150×(15-10)=750,且P(X=750)=1-0.1=0.9,
故X的分布列为
X 680 750
P 0.1 0.9
故E(X)=680×0.1+750×0.9=743.
(2)若该超市一天购进A水果160千克,设当天所获利润为Y元,则Y的可能取值为140×5-20×2=660,150×5-10×2=730,160×5=800,
P(Y=660)==0.1,P(Y=730)==0.2,P(Y=800)==0.7,
故E(Y)=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772,
因为772>743,所以超市应购进A水果160千克.
当剩余水果只能以7元/千克的价格退回中心仓库时,同理可得X的分布列为
X 670 750
P 0.1 0.9
故E(X)=670×0.1+750×0.9=742.
Y的分布列为
Y 640 720 800
P 0.1 0.2 0.7
故E(Y)=640×0.1+720×0.2+800×0.7=768.
因为768>742,所以超市应购进A水果160千克.
方法总结
　　常利用数学期望来解决最优方案问题,如果是成本最省问题,则应选择成本的数学期望较小的方案;如果是利润最大问题,则应选择总利润的数学期望较大的方案.8.解析　记小张分别在1,2,3三个区域各套一次便能套中奖品的事件为A,B,C,
则P(A)=0.6,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P()=0.4,P()=0.8,P()=0.9.
(1)因为每次的结果互不影响,所以小张在1,2,3三个区域各套一次后,所获奖品不超过1件的概率为P()P()P()+P(A)P()P()+P()P(B)·P()+P()P()P(C)=0.824.
(2)若选择方案甲,则X的可能取值为0,5,15,20,25,35,40,
P(X=0)=P()P()P()=0.288,
P(X=5)=P(A)P()P()=0.432,
P(X=15)=P()P(B)P()=0.072,
P(X=20)=P()P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.14,
P(X=25)=P(A)P()P(C)=0.048,
P(X=35)=P()P(B)P(C)=0.008,
P(X=40)=P(A)P(B)P(C)=0.012,
故E(X)=0×0.288+5×0.432+15×0.072+20×0.14+25×0.048+35×0.008+40×0.012=8.
若选择方案乙,设小张所获奖品的总件数为Z,则Z~B(3,0.2),Y=15Z,
故E(Z)=3×0.2=0.6,E(Y)=15E(Z)=9,
因为E(Y)>E(X),所以小张应该选择方案乙.

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