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1.连续型随机变量的概念
并非所有的随机变量的取值都能一一列出,如电灯泡的寿命X的可能取值是任何
一个非负实数,我们是无法一一列出的.
一般地,如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫作连续型随机变量.显然电灯泡的寿命X就是一个连续型随机变量.
2.离散型随机变量与连续型随机变量的联系与区别
联系:都是用来刻画随机试验可能出现的结果的.
区别:离散型随机变量的可能值或者是有限个,或者是可数无穷多个,而连续型随
机变量的取值不是有限个或可数无穷多个.
3.3　正态分布
1 | 连续型随机变量
1.正态曲线的概念
当随机变量X的概率密度曲线呈现“中间高,两边低,左右大致对称”的特点时,我
们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态分布的概念
正态曲线的函数表达式为p(x)= (-∞0,μ
∈R.p(x)称为概率密度函数.此时,我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布,
简记为X~N(μ,σ2).
2 | 正态分布
3.正态分布密度曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)p(x)在x=μ处达到最大值 ;
(4)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(5)σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡;
(6)曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.
4.标准正态分布
数学期望μ=0,方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)=
(-∞1.若X~N(μ,σ2),则随机变量X在μ的附近取值的概率较大,在离μ较远处取值的概率较小,且
P(μ-σ2.3 σ原则
在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.
因为P(μ-3σ3 | 3σ原则
1.概率密度函数p(x)最值的情况是怎样的
由概率密度函数p(x)的图象可知,p(x)有最大值,最大值为 , 但无最小值.
2.若随机变量X~N(μ,σ2),则X可能是离散型随机变量吗
不可能.X为连续型随机变量.
3.X的概率密度函数中的参数μ,σ分别是指X的数学期望和方差,对吗
不对.μ是指X的数学期望或均值,但σ是指X的标准差.
4.概率密度曲线与离散型随机变量的分布列在刻画随机变量X的取值及概率方
面的作用相同,对吗
对.它们均能反映随机变量X的取值规律以及它的取值在某个区间的概率.
知识辨析
在正态分布下求概率的关键在于恰当地利用正态曲线的对称性,把待求概率的区间转化为已知概率的区间.当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间:(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ),利用随机变量X在这三个特殊区间取值的概率进行计算.
一般地,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则
(1)P(X≥a)=1-P(X(2)对任意的实数a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X1 正态分布的概率问题
典例 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0A.0.6　 B.0.4　 C.0.3　 D.0.2
(2)某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布N(85,σ2),已知P(X≤122)=0.96,现随机从这次考试的成绩中抽取一个容量为100的样本,则成绩低于48分的个体数大约为 (　 )
A.6　 B.4　 C.94　 D.96
(3)在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,4),则X在(-1,1)内取值的概率约为
　　 .(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ解析 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,即正态曲线的对称轴是直线x=2.
∵P(X<4)=0.8,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,
∴P(0∴P(0故选C.
(2)由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,
所以P(X<48)=0.04,
所以成绩低于48分的个体数大约为100×0.04=4.
故选B.
(3)由题意得μ=1,σ=2,
所以P(-1因为此正态曲线关于直线x=1对称,
所以P(-1答案 (1)C (2)B (3)0.341 35
2 正态分布的实际应用
利用服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率,可以解决两类实际问题:
一类是估计在某一范围内的数量,具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率,再乘样本容量.
另一类是利用3σ原则做决策.决策步骤如下:①确定一次试验中取值a是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);②做出判断,若a∈(μ-3σ,μ+3σ),则接受统计假设,若a (μ-3σ,μ+3σ),则拒绝统计假设.
典例　法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过
50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从均值为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.
(1)已知如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N+,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y~N .利用该结论解决下面问题.
(i)假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记这25个面包的平均值为Y,求P(Y<
980).
(ii)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在(950,1 050)内,并经计算得这25个面包的质量的平均值为978.72 g.庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由.
(2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中共装有6个面包,其中黑色面包有2个;第二箱中共装有8个面包,其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包的个数的分布列及数学期望.附:①若随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈0.997 3;
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,并认为小概率事件基本不会发生.
解析 (1)(i)因为 =100,所以Y~N(1 000,102),
因为P(μ-2σ所以P(Y<μ-2σ)= =0.022 75,
因为980=1 000-2×10,
所以P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.022 75.
(ii)由(i)知P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.022 75,庞加莱计算得这25个面包的质量的平
均值为978.72 g,978.72<980,而0.022 75<0.05,故从面包店随机购买25个面包,这25
个面包的质量的平均值小于978.72 g,为小概率事件,小概率事件基本不会发生,这
就是庞加莱举报该面包师的理由.
(2)设取出黑色面包的个数为随机变量ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)= × × + × × = ,
P(ξ=1)= × × ×2+ × × ×2= ,
P(ξ=2)= × × + × × = ,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
数学期望E(ξ)= ×0+ ×1+ ×2= .第3章　概率
3.3　正态分布
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　正态曲线及其特点
1.若随机变量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函数为φ(x)=(x∈R),则σ的值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.已知随机变量X的概率密度函数为f(x)=,若P(X>2a+1)=P(X<1-a),则a=(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
3.(多选)正态分布N(1,σ2)的密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是(　　)
A.-P(X≤0)
B.-P(X≥2)
C.P(X≤2)-P(X≤0)
D.-P(1≤X≤2)
4.已知连续型随机变量Xi~N(μi,)(i=1,2,3),其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.P(X1≤μ2)B.P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C.P(X1≤μ2)D.P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)
题组二　标准正态分布
5.设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≥x),其中x>0,则下列等式成立的是(　　)
A. f(2x)=2f(x)
B. f(-x)=1-f(x)
C.P(X≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|≥x)=2-f(x)
6.若随机变量X服从正态分布N(0,1),且X在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分别为P1,P2,则P1,P2的大小关系为　　　　.
题组三　正态分布的概率计算
7.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X>5)=0.2,则P(1A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
8.已知随机变量X~N(5,1),且P(μ-σA.0.135 8 B.0.135 9 C.0.271 6 D.0.271 8
9.若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ< μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ< μ+2σ)≈0.954 5.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ≥3)≈0.158 65,则σ=　　　　.
10.已知随机变量X~N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(72(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64题组四　正态分布的应用
11.某城市每年6月份的平均气温t(单位:℃)近似服从N(28,σ2),若P(28≤t≤30)=0.3,则可估计该城市6月份平均气温低于26 ℃的天数为(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
12.某班有60名学生,一次考试后的数学成绩ξ近似服从正态分布N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为　(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
13.(多选)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是　(　　)
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ< μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ< μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ< μ+3σ)≈0.997 3.
A.该市学生数学成绩的标准差为100
B.该市学生数学成绩的均值为100
C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8
D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
14.已知某校高三女生的身高X(单位:cm)近似地服从正态分布N(163,52).若随机选择一名该校的女生,其身高不高于168 cm的概率为　　　　.
注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ15.在某次数学考试中,考生的成绩X近似服从正态分布N(90,100).
(1)求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率;
(2)若这次考试共有20 000名考生,估计考试成绩在(80,100)之间的考生人数.
注:P(μ-σ能力提升练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　正态分布及其概率计算
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=(　　)
A.- B.0 C. D.1
2.设随机变量ξ~N(μ,4),函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,则P(1<ξ<3)=(　　)
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σA.0.158 7 B.0.135 9
C.0.271 8 D.0.341 3
题组二　正态分布的实际应用
3.江西某中学为测试高三学生的数学水平,组织学生参加了联考,共有1 000名学生参加,已知该校上次测试中,成绩X(满分150分)服从正态分布N(100,σ2),且120分及以上的人数为160,假设这次考试成绩和上次成绩的分布相同,那么可推测这次数学成绩优异的人数为(成绩在140分及以上者为优异)(　　)
注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.20 B.25 C.30 D.40
4.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题,不断刷新亩产量的纪录,现有甲、乙两个试验田,根据数据统计,甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ,η)均服从正态分布,其中ξ~N(μ1,),η~N(μ2,).如图,已知μ1=1 150,μ2=1 130,=2 500,=1 600,两条正态曲线在直线x=μ2左侧交于点M(x0,y0),则下列说法正确的是(　　)
A.P(ξ< μ1)B.P(η< μ1)>P(η< μ2)
C.P(ξ>x0)x0)
D.P(ξ>1 250)>P(η<1 050)
5.已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位:天)服从正态分布N(98,64).
(1)一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为　　　　;
(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为　　　　.
注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-0.25σ6.为建设粤港澳大湾区教育高地,办人民满意的教育,深入推进基础教育课堂教学改革,提升教育质量,某高中探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学效果,通过随机抽样调查了该校某年级100位学生,对这些学生的课堂测试成绩进行了统计,得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)记这些学生课堂测试成绩的分数为X,若X近似地服从正态分布N(μ,100),其中μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值表示),求P(64(2)为进一步了解,研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩的分数在[50,60),[60,70),[80,90)内的学生中共抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到分数在[80,90)内的人数ξ的分布列和数学期望.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ7.某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下:
87　　87　　88　　92　　95　　97　　98　　99　　103　　104
设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ;
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径大于107 cm的零件个数为X,求D(2X+1);
②若该车间又购进一台新设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径分别为76,85,93,99,108(单位:cm),以原设备生产性能为标准,试问这台设备是否需要进一步调试 说明你的理由.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ答案与分层梯度式解析
第3章　概率
3.3　正态分布
基础过关练
1.B　
2.D　依题意,可得2a+1+1-a=4,解得a=2.故选D.
3.ABC　易知此正态分布密度曲线关于直线x=1对称,故图中阴影部分可表示为P(0P(0P(0-P(1≤X≤2)=P(X≤0)=P(X≥2),故D错误.
故选ABC.
4.D　对于A,P(X1≤μ2)是题中y=f1(x)的图象在第二条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,P(X2≤μ1)是题中y=f2(x)的图象在第一条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,
由题图可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1),故A错误;
对于B,P(X2≥μ2)=,P(X3≥μ3)=,则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3),故B错误;
对于C,与A中分析相同,P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3),故C错误;
对于D,由于正态分布中,随机变量X落在某区间的概率表示曲线和x轴及对应直线围成的图形的面积,与i或i+1无关,
故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)成立,故D正确.
故选D.
5.B　因为随机变量X~N(0,1),所以此正态曲线关于直线x=0对称,
因为f(x)=P(X≥x)(x>0),所以根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X≤x)=1-f(x),故B正确;f(2x)=P(X≥2x),2f(x)=2P(X≥x),P(X≥2x)与2P(X≥x)不一定相等,故A错误;
P(X≤x)=1-P(X≥x)=1-f(x),故C错误;
P(|X|≥x)=P(X≥x或X≤-x)=2f(x),故D错误.
故选B.
6.答案　 P1=P2
解析　根据标准正态曲线的特点,该曲线关于直线x=0对称,所以随机变量X在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等,即P1=P2.
7.C　P(18.B　由随机变量X~N(5,1)知,μ=5,σ=1,
所以P(4所以P(69.答案　 2
解析　因为0.158 65=≈P(ξ≥μ+σ),且μ=1,所以σ=2.
10.解析　(1)由于X的正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,
所以此正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.
又因为P(72(2)由(1)知μ=80,σ=8,故P(μ-2σ又因为P(X≤64)=P(X≥96),
所以P(X≤64)=×(1-0.954 5)=×0.045 5=0.022 75,
所以P(X>64)=0.977 25.
又因为P(X≤72)=[1-P(72=×(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(X>72)=0.841 35,
所以P(64≤X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.135 9.
11.C　因为该城市每年6月份的平均气温t(单位:℃)近似服从N(28,σ2),所以μ=28,因为P(28≤t≤30)=0.3,所以P(26≤t≤28)=0.3,所以P(t<26)=0.5-0.3=0.2,
所以估计该城市6月份平均气温低于26 ℃的天数为0.2×30=6.故选C.
12.B　因为数学成绩ξ近似服从正态分布N(110,σ2),
所以由P(100≤ξ≤110)=0.35,可得P(110≤ξ≤120)=0.35,
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为P(ξ>120)=×(1-0.35-0.35)=0.15,
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9.
13.BC　由X服从正态分布N(100,100),可得μ=100,σ=10,故A错误,B正确;
P(X≤90)=P(X≤μ-σ)=[1-P(μ-σP(X≥90)=1-P(X<90)=1-0.158 65=0.841 35>0.8,故C正确;
P(X≥120)=P(X≥μ+2σ)≈×(1-0.954 5)=0.022 75,故优秀率约为0.022 75,而及格率约为0.841 35,二者相差很大,人数相差也很大,故D错误.故选BC.
14.答案　 0.841 35
解析　由题意可得X~N(163,52),故μ=163,σ=5,
故P(μ-σ所以P(μ又因为P(X≤μ)=P(X≤163)=0.5,
所以P(X≤168)=P(X≤163)+P(16315.解析　(1)∵X~N(90,100),∴μ=90,σ==10,
∴P(70即考试成绩X位于区间(70,110)内的概率约为0.954 5.
(2)P(80∵20 000×0.682 7=13 654,
∴考试成绩在(80,100)之间的考生大约有13 654人.
能力提升练
C　因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即P(-x≤ξ≤
-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),
结合正态曲线的对称性可知,μ==.故选C.
2.B　函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点,即关于x的一元二次方程x2+2x-ξ=0无实根,
∴Δ=4+4ξ<0,∴ξ<-1,
又∵f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,
∴P(ξ<-1)=0.5,由正态曲线的对称性知μ=-1,
∴ξ~N(-1,4),
∴μ-σ=-3,μ+σ=1,μ-2σ=-5,μ+2σ=3,
∴P(-3<ξ<1)≈0.682 7,P(-5<ξ<3)≈0.954 5,
∴P(1<ξ<3)=[P(-5<ξ<3)-P(-3<ξ<1)]==0.135 9.故选B.
3.B　因为该校上次测试的成绩X服从正态分布N(100,σ2),且120分及以上的人数为160,所以80分及以下的人数也为160,
故P(80所以P(604.BC　由题图可知P(ξ<μ1)>P(ξ<μ2),P(η<μ1)>P(η<μ2),故A错误,B正确;
∵P(ξ>x0)=1-P(ξ≤x0),P(η>x0)=1-P(η≤x0),
由题图可知P(ξ≤x0)>P(η≤x0),∴P(ξ>x0)x0),故C正确;
∵μ1=1 150,σ1=50,μ2=1 130,σ2=40,
∴P(ξ>1 250)=P(ξ>μ1+2σ1),P(η<1 050)=P(η<μ2-2σ2)=P(η>μ2+2σ2),
根据正态曲线的性质及3σ原则,可知P(ξ>1 250)=P(η<1 050),故D不正确.
故选BC.
5.答案　(1)　(2)
解析　由题可知μ=98,σ=8,
∴P(X>100)==.
由题意,电路能正常工作的概率P=××+××+××=.
6.解析　(1)根据题中频率分布直方图得,=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74,
由题意知X~N(74,100),
∴P(64(2)由题图可知分数在[50,60),[60,70),[80,90)内的频率之比为1∶2∶2,
故抽取的10人中,分数在[50,60),[60,70),[80,90)内的学生分别有2人,4人,4人,
易知随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
方法总结
　　解决正态分布中的概率计算问题一定要把握服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率,将所求问题向P(μ-σσ2=×[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2-(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36,
则σ=6.
(2)①由题可知Z~N(95,62),
所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)=0.5-=0.023,
则X~B(5,0.023),
所以D(X)=5×0.023×(1-0.023)=0.112 355,
故D(2X+1)=4D(X)=0.449 42.
②需要.理由如下:
因为P(μ-3σ所以5个零件中恰有1个零件的内径不在(μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.9974×(1-0.997)=×0.99×(1-0.997)=0.014 85.
因为76 (μ-3σ,μ+3σ]=(77,113],所以试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在(μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率是=0.2,大概是0.014 85的十三倍,根据3σ原则可知,这台设备需要进一步调试.

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