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广东省汕头市潮南区陈店宏福外语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题
1．（2024九上·潮南月考）关于x的方程是是一元二次方程，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得：a+2≠0
解得：a≠-2
故答案为：C
【分析】根据二次方程的定义即可求出答案.
2．（2024九上·潮南月考）一元二次方程的一次项系数是（　　）
A．2 B． C．5 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理为，
所以，一次项系数为，
故选：B
【分析】根据一元二次方程相关量的定义即可求出答案.
3．（2024九上·潮南月考）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为a
由题意可得：a+(-1)=-1
解得：a=0
故答案为：B
【分析】设另一个根为a，根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
4．（2024九上·潮南月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根
∴判别式
解得：
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
5．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则的值为（　　）
A．17 B．14 C．11 D．7
【答案】A
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
移项可得，
两边同时加9可得，
∴
∴m=3，n=14
∴m+n=17
故答案为：A
【分析】根据配方法进行化简可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
6．（2024九上·潮南月考）若实数x，y满足，则的值为（　　）
A．或2 B．或1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；偶次方的非负性；整体思想
【解析】【解答】解：设
∴m(m-1)=2
整理可得，m2-m-2=0
解得：m=-1或m=2
∵
∴
故答案为：D
【分析】设，整体代入方程可得m2-m-2=0，再解方程，结合偶次方的非负性即可求出答案.
7．（2024九上·潮南月考）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
∴；
故选：B．
【分析】将x=a代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
8．（2024九上·潮南月考）某企业生产总值从一月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均降低率为x，
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设平均降低率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
9．（2024九上·潮南月考）四边形中，，且，长是关于x的方程的两个实数根，则四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．平行四边形或梯形
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴AB，CD不相等
∴四边形ABCD为梯形
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根，则AB，CD不相等，再根据梯形判定定理即可求出答案.
10．（2024九上·潮南月考）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．48 C．24或 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
解得：x=10或x=6
当x=10时，
∵62+82=102
∴三角形为直角三角形，直角边边长为8，6
∴面积为
当x=6时，三角形为等腰三角形，底边长为8
∴底边长的高为
∴面积为
故答案为：C
【分析】解方程可得x=10或x=6，当x=10时，根据勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形，直角边边长为8，6，再根据三角形面积即可求出答案；当x=6时，三角形为等腰三角形，底边长为8，根据勾股定理求出底边上的高，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题
11．（2024九上·潮南月考）方程的解为　 　.
【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项可得，x2=16
两边同时开方可得，x=±4
故答案为：，
【分析】移项，再直接开方即可求出答案.
12．（2024九上·潮南月考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为　 　.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
整理得：2k2+6k=0
解得：k=0或k=-3
∵该方程为一元二次方程
∴k≠0
∴k=-3
故答案为：-3
【分析】将x=2代入方程可得关于k的二次方程，再解方程可得k值，再根据二次方程的定义即可求出答案.
13．（2024九上·潮南月考）若m是方程的根，则　 　．
【答案】6
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ m是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】利用一元二次方程的根求出，再求出，最后代入计算求解即可。
14．（2024九上·潮南月考）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为　 　.
【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
15．（2024九上·潮南月考）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第　 　个图形共有210个小球．
【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，
当共有210个小球时，
，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴第个图形共有210个小球．
故答案为：．
【分析】前4个图象小球的个数的特征，总结规律可得第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，再建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（一）
16．（2024九上·潮南月考）解方程：
【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
17．（2024九上·潮南月考）用公式法解方程：
【答案】解：∵，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根
，
，.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据求根公式解方程即可求出答案.
18．（2024九上·潮南月考）关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值.
【答案】解：依题意得：，
解得：.
当时，原方程为：
解这个方程得：或
另一个根是，m的值为10.
【知识点】公式法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】将x=代入方程可得关于m的一次方程，再解方程可得m值，代入原方程，再解方程即可求出答案.
四、解答题（二）
19．（2024九上·潮南月考）已知，求代数式的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先求出 ， 再代入代数式求解即可。
20．（2024九上·潮南月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【答案】（1）解：依题意得：
（2）解：当k=1时，原方程变为：，则有：
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可得k≠0且△=b2-4ac>0，代入求解可得k的范围；
（2）当k=1时，方程为x2-6x-5=0，然后利用配方法进行求解.
21．（2024九上·潮南月考）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得1.6(1+x)2=2.5，
解得x1 =25%，x2= (不合题意，舍去)，
即这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%．
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得2.125+10a≤2.5(1+25%)，
解得a≤0.1，即5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
五、解答题（三）
22．（2024九上·潮南月考）若关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别是的三边.
（1）如果是方程的根，试判的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：将代入原方程得：，可得
是等腰三角形.
（2）解：∵方程有两个相等的实数根
，即：
可得：
是直角三角形.
（3）解：是等边三角形，即
原方程可化为：
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，再化简可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，化简可得，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得，则原方程可化为：，再解方程即可求出答案.
23．（2024九上·潮南月考）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）【材料理解】
一元二次方程的两根为、，则　 　，　 　；
（2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程.
①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根、，满足，求k的值.
（3）【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或.
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）①根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
②根据二次方程根与系数的关系可得，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，再化简代数式，再整体代入即可求出答案.
1 / 1广东省汕头市潮南区陈店宏福外语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题
1．（2024九上·潮南月考）关于x的方程是是一元二次方程，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·潮南月考）一元二次方程的一次项系数是（　　）
A．2 B． C．5 D．4
3．（2024九上·潮南月考）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2024九上·潮南月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则的值为（　　）
A．17 B．14 C．11 D．7
6．（2024九上·潮南月考）若实数x，y满足，则的值为（　　）
A．或2 B．或1 C．1 D．2
7．（2024九上·潮南月考）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
8．（2024九上·潮南月考）某企业生产总值从一月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·潮南月考）四边形中，，且，长是关于x的方程的两个实数根，则四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．平行四边形或梯形
10．（2024九上·潮南月考）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．48 C．24或 D．
二、填空题
11．（2024九上·潮南月考）方程的解为　 　.
12．（2024九上·潮南月考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为　 　.
13．（2024九上·潮南月考）若m是方程的根，则　 　．
14．（2024九上·潮南月考）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为　 　.
15．（2024九上·潮南月考）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第　 　个图形共有210个小球．
三、解答题（一）
16．（2024九上·潮南月考）解方程：
17．（2024九上·潮南月考）用公式法解方程：
18．（2024九上·潮南月考）关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值.
四、解答题（二）
19．（2024九上·潮南月考）已知，求代数式的值．
20．（2024九上·潮南月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
21．（2024九上·潮南月考）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
五、解答题（三）
22．（2024九上·潮南月考）若关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别是的三边.
（1）如果是方程的根，试判的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根.
23．（2024九上·潮南月考）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）【材料理解】
一元二次方程的两根为、，则　 　，　 　；
（2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程.
①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根、，满足，求k的值.
（3）【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得：a+2≠0
解得：a≠-2
故答案为：C
【分析】根据二次方程的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理为，
所以，一次项系数为，
故选：B
【分析】根据一元二次方程相关量的定义即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为a
由题意可得：a+(-1)=-1
解得：a=0
故答案为：B
【分析】设另一个根为a，根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根
∴判别式
解得：
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
移项可得，
两边同时加9可得，
∴
∴m=3，n=14
∴m+n=17
故答案为：A
【分析】根据配方法进行化简可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；偶次方的非负性；整体思想
【解析】【解答】解：设
∴m(m-1)=2
整理可得，m2-m-2=0
解得：m=-1或m=2
∵
∴
故答案为：D
【分析】设，整体代入方程可得m2-m-2=0，再解方程，结合偶次方的非负性即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
∴；
故选：B．
【分析】将x=a代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均降低率为x，
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设平均降低率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴AB，CD不相等
∴四边形ABCD为梯形
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根，则AB，CD不相等，再根据梯形判定定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
解得：x=10或x=6
当x=10时，
∵62+82=102
∴三角形为直角三角形，直角边边长为8，6
∴面积为
当x=6时，三角形为等腰三角形，底边长为8
∴底边长的高为
∴面积为
故答案为：C
【分析】解方程可得x=10或x=6，当x=10时，根据勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形，直角边边长为8，6，再根据三角形面积即可求出答案；当x=6时，三角形为等腰三角形，底边长为8，根据勾股定理求出底边上的高，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项可得，x2=16
两边同时开方可得，x=±4
故答案为：，
【分析】移项，再直接开方即可求出答案.
12．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
整理得：2k2+6k=0
解得：k=0或k=-3
∵该方程为一元二次方程
∴k≠0
∴k=-3
故答案为：-3
【分析】将x=2代入方程可得关于k的二次方程，再解方程可得k值，再根据二次方程的定义即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ m是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】利用一元二次方程的根求出，再求出，最后代入计算求解即可。
14．【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
15．【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，
当共有210个小球时，
，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴第个图形共有210个小球．
故答案为：．
【分析】前4个图象小球的个数的特征，总结规律可得第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，再建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
17．【答案】解：∵，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根
，
，.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据求根公式解方程即可求出答案.
18．【答案】解：依题意得：，
解得：.
当时，原方程为：
解这个方程得：或
另一个根是，m的值为10.
【知识点】公式法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】将x=代入方程可得关于m的一次方程，再解方程可得m值，代入原方程，再解方程即可求出答案.
19．【答案】解：∵，
∴，
∴
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先求出 ， 再代入代数式求解即可。
20．【答案】（1）解：依题意得：
（2）解：当k=1时，原方程变为：，则有：
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可得k≠0且△=b2-4ac>0，代入求解可得k的范围；
（2）当k=1时，方程为x2-6x-5=0，然后利用配方法进行求解.
21．【答案】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得1.6(1+x)2=2.5，
解得x1 =25%，x2= (不合题意，舍去)，
即这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%．
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得2.125+10a≤2.5(1+25%)，
解得a≤0.1，即5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
22．【答案】（1）解：将代入原方程得：，可得
是等腰三角形.
（2）解：∵方程有两个相等的实数根
，即：
可得：
是直角三角形.
（3）解：是等边三角形，即
原方程可化为：
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，再化简可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，化简可得，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得，则原方程可化为：，再解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）；
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或.
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）①根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
②根据二次方程根与系数的关系可得，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，再化简代数式，再整体代入即可求出答案.
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