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浙教版（2024）八上一周一测（四）
第2章《特殊三角形》阶段测试（2.1~2.5）
一．选择题（共11小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D A D C B A B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案．
【解答】解：A．选项图形是轴对称图形，符合题意；
B．选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D．选项图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键．
2．（3分）若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（　　）
A．10 B．10或11 C．10或12 D．11
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长＝3+3+4＝10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长＝3+4+4＝11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（　　）
A．D是BC中点 B．AD 平分∠BAC
C．AB＝2BD D．∠B＝∠C
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．
∴AD平分∠BAC，
无法确定AB＝2BD．
故A、B、D正确，C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（3分）如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（　　）
A．25° B．20° C．15° D．10°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD＝CD，∠BAD∠BAC＝35°，即可求得∠ABD＝90°﹣35°＝55°，根据垂直平分线的性质证得BE＝CE，进而求得∠EBC＝45°，即可求得∠ABE＝55°﹣45°＝10°．
【解答】解：∵AD是等腰△ABC的底边上的高，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝55°﹣45°＝10°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（　　）
A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm
【分析】由图形和题意可知AD＝DC，AE＝CE＝4cm，AB+BC＝22cm，△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BC﹣CD＝AB+BC，即可求出周长为22cm．
【解答】解：∵AE＝4cm，
∴AC＝8（cm），
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+BC＝22（cm），
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，AD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BC﹣CD＝AB+BC＝22（cm），
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质、三角形的周长，关键在于求出AB+BC的长度．
6．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
7．（3分）如图，点P在∠AOB内，线段MN交OA、OB于点E、F点，M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，若△PEF的周长为15cm，则MN的长为（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．18cm
【分析】由点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，即可推出OA为MP的中垂线，OB为PN的中垂线，即可推出PE＝ME，FP＝FN，然后根据△PEF的周长＝15cm，MN＝ME+EF+FN，即可推出MN的长度．
【解答】解：∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴OA为MP的中垂线，OB为PN的中垂线，
∴PE＝ME，FP＝FN，
∵△PEF的周长＝15cm，
∴PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝15cm，
∴MN＝15cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，关键在于正确的运用有关的性质定理推出PE＝ME，FP＝FN，然后认真的进行等量代换即可．
8．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．76° C．78° D．84°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠DOE＝26°，即可求解．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠DOE+∠CDO＝2∠DOE，
∴∠DEC＝2∠DOE，
∴∠BDE＝∠DOE+2∠DEC＝3∠DOE＝78°，
∴∠DOE＝26°，
∴∠DCE＝∠DEC＝52°，
∴∠CDE＝76°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
9．（3分）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交
C．垂直 D．平行、相交或垂直
【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．
10．（3分）如图，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上的一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC的延长线上一点．当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【分析】过点P做BC的平行线PF，根据条件已知条件可知三角形全等，再根据全等的性质即可得出线段的长度．
【解答】解：过点P做PF∥BC，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中，
∴，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴，
∵AC＝3，
∴；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等相关知识点，能够综合运用性质进行推理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B＝　50°或65°或80°　 ．
【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：∠A＝180°﹣130°＝50°．
当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
当AB＝AC时，；
当CA＝CB时，∠B＝∠A＝50°．
∴∠B的度数为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．
12．（3分）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 　对应角相等的三角形是全等三角形　 ，它是 　假　 命题（填真或假）
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而判断它的真假．
【解答】解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题．
故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形，假．
【点评】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．（3分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，AE＝2EC，若△ABD的面积是12，则△CDE的面积是　4　 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD是三角形ABC的中线，利用三角形的中线得出△ADC的面积＝12，再利用三角形面积得出△CDE的面积即可．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是三角形ABC的中线，
∵△ABD的面积是12，
∴△ADC的面积＝12，
∵AE＝2EC，
∴△CDE的面积＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出AD是三角形ABC的中线．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　16　 cm．
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16（cm）．
故答案为：16．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，以及三角形的周长的求法，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，为AC边上任意一点（不含两端点），作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．连接DE、DF，当AB＝2时，△ADE与△CDF的周长之和为 　6　 ．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC＝2，根据垂直平分线的性质得出EB＝ED，DF＝BF，根据三角形周长公式即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，DF＝BF，
∴△ADE与△CDF的周长之和为（AD+AE+ED）+（DC+DF+FC）＝AE+EB+AD+DC+BF+FC＝AB+BC+AC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质与垂直平分线的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，∠MBN＝30°，在射线BM上截取BA＝a，动点P在射线BN上滑动，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有 3 个
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．
【解答】解：当∠B＝∠BAP时，构成等腰三角形可找到一个P点．
当∠B＝∠BPA时，构成等腰三角形可找到一个P点．
当∠BAP＝∠BPA时，构成等腰三角形可找到一个P点．
故可找到三个P点．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）如图，在正方形网格上有一个△ABC．作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；
（2）在直线MN找一点P，使△PAC的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接A'C，交直线MN于点P，则点P即为所求．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）如图，连接A'C，交直线MN于点P，连接AP，
此时AP+CP＝A'P+CP＝A'C，为最小值，
∴AP+CP+AC的值最小，
即△PAC的周长最小，
则点P即为所求．
（3）△ABC的面积为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC．
【分析】首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
19．（8分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BC边的垂直平分线分别交BC、BD于点E、F．
（2）连接CF，若∠A＝95°，∠ABD＝25°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）①利用基本作图作BD平分∠ABC；②利用基本作法作EF垂直平分BC；
（2）先利用角平分线的定义得到∠CBD＝∠ABD＝25°，再根据线段垂直平分线的性质得FB＝FC，则∠FCB＝∠FBC＝25°，接着利用三角形内角和计算出∠ACB＝35°，然后计算∠ACB﹣∠FCB即可得到∠ACF的度数．
【解答】解：（1）①BD为所作；
②如图，EF为所作；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝25°，
∴∠ABC＝2×25°＝50°，
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC＝25°，
∵∠ACB＝180°﹣95°﹣50°＝35°，
∴∠ACF＝35°﹣25°＝10°．
【点评】本题考查了作图﹣法则作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥BC．
【分析】注意证明垂直的方法：有两个锐角互余的三角形是直角三角形．运用三角形的内角和定理及其推论．还要知道等腰三角形的性质．
【解答】解：EF⊥BC．理由如下：
延长EF交BC于点D．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠E＝∠AFE，
又∵∠BAC＝∠E+∠AFE，
∴∠BAC＝2∠AFE．
又∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴2∠B+2∠AFE＝180°．
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴2∠B+2∠BFD＝180°，
∴∠B+∠BFD＝90°，
∴∠BDF＝90°，
∴EF⊥BC．
【点评】考查了三角形的内角和定理及其推论、等腰三角形的性质．
21．（8分）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC为等边三角形．
【分析】（1）关键是证出CE＝AF，可由AE＝AB，AC＝BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．
（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE＝∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF＝60°，从而得出∠BAC＝60°，同理可得∠ACB＝60°，那么∠ABC＝60°．因而△ABC是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE（已知）
∴FA＝EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF＝DE（等边三角形的性质）．
又∵AE＝CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA＝∠EDC+∠DEC＝∠FEA+∠DEC＝∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF＝60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA＝60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA＝∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC＝60°，
∴∠EFA+∠FEC＝60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC＝∠EFA+∠FEC＝60°，
∴△ABC中，AB＝BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
【点评】本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明即可．
【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）DE+DF＝CG．
证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
即AB CGAB DEAC DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题时注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的一种很好的方法．
23．（10分）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　4　 个．
（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　2　 个．
想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 　5　 条．
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；
（2）以O为圆心，OA为半径画弧，交AB于两点，即可得到结论；
想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，于是得到结论；
算一算：如图3，当AD＝CD，①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个．
故答案为：4；
（2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点；
故这样的等腰三角形能画2个，
故答案为：2；
想一想：如图2中，①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，
故答案为：5；
算一算：如图3，当AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝10°，
∴∠CDB＝20°，
∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；
②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°；
③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，
∵∠A＝10°，
∴∠ACE＝∠AEC＝85°，
∴∠B＝∠BCE＝42.5°，
如图5，
当AC＝CE，CE＝BE时，
∵∠A＝10°，
∴∠AEC＝∠A＝10°，
∴∠B＝5°，
综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为80°或20°或140°或42.5°或5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．（12分）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是　AE＝AC　 ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①可得AE＝AB，AB＝AC，则AE＝AC；
②根据∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB，求出∠ACE，∠ACB即可．
（2）结论：AF＝EF+CF．如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．证明△ACG≌△BCF即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，
∴∠ACE[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．
（2）结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（四）
第2章《特殊三角形》阶段测试（2.1~2.5）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（　　）
A．10 B．10或11 C．10或12 D．11
3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（　　）
A．D是BC中点 B．AD 平分∠BAC
C．AB＝2BD D．∠B＝∠C
4．（3分）如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（　　）
A．25° B．20° C．15° D．10°
5．（3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（　　）
A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm
6．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
7．（3分）如图，点P在∠AOB内，线段MN交OA、OB于点E、F点，M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，若△PEF的周长为15cm，则MN的长为（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．18cm
8．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．76° C．78° D．84°
9．（3分）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交
C．垂直 D．平行、相交或垂直
10．（3分）如图，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上的一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC的延长线上一点．当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B＝　 　 ．
12．（3分）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 　 　 ，它是 　 　 命题（填真或假）
13．（3分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，AE＝2EC，若△ABD的面积是12，则△CDE的面积是　 　 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　 　 cm．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，为AC边上任意一点（不含两端点），作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．连接DE、DF，当AB＝2时，△ADE与△CDF的周长之和为 　 　 ．
16．（3分）如图，∠MBN＝30°，在射线BM上截取BA＝a，动点P在射线BN上滑动，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）如图，在正方形网格上有一个△ABC．作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；
（2）在直线MN找一点P，使△PAC的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
18．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC．
19．（8分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BC边的垂直平分线分别交BC、BD于点E、F．
（2）连接CF，若∠A＝95°，∠ABD＝25°，求∠ACF的度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥BC．
21．（8分）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC为等边三角形．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
23．（10分）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　 　 个．
（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　 　 个．
想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 　 　 条．
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
24．（12分）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是　 　 ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．

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