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数学中考总复习 第 1 轮
第 14 节 二次函数的综合应用
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题
1．(2025·合肥模拟)灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口 H
离地面的竖直高度 OH 为 1.5 m．如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐
标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE＝3 m，竖
直高度 EF＝0.5 m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 A
离喷水口的水平距离为 2 m，高出喷水口 0.5 m，灌溉车到绿化带的距离 OD 为 d(单位：m).
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；
(2)求下边缘抛物线与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 d 的取值范围．
解：(1)由题意得 A(2，2)是上边缘抛物线的顶点，
设上边缘抛物线的函数解析式为 y＝a(x－2)2＋2，
1
又因为抛物线过点(0，1.5)，所以 1.5＝4a＋2，所以 a＝－ ，
8
1
所以上边缘抛物线的函数解析式为 y＝－ (x－2)2＋2.
8
1
令 y＝0，则－ (x－2)2＋2＝0，解得 x1＝6，x2＝－2，所以 OC＝6 m， 8
即喷出水的最大射程 OC 为 6 m.
(2)如图，过点 H 作 HM∥x 轴，交上边缘抛物线于点 M.
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数学中考总复习 第 1 轮
1 1
对于上边缘抛物线 y＝－ (x－2)2＋2，当 y＝1.5 时，则－ (x－2)2＋2＝1.5，
8 8
解得 x1＝4，x2＝0，则 M(4，1.5).
因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
所以下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 m 得到的，
所以点 B 可由点 C 向左平移 4 m 得到．
由(1)知 OC＝6 m，所以 OB＝6－4＝2(m)，所以点 B 的坐标为(2，0).
1
(3)因为 EF＝0.5 m，所以点 F 的纵坐标为 0.5，令 0.5＝－ (x－2)2＋2，解得 x＝2±2 3 .
8
因为 x＞0，所以 x＝2＋2 3 ，
当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，所以当 2＜x≤6 时，要使 y≥0.5，则 x≤2＋2 3 .
因为当 0≤x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，且 x＝0 时，y＝1.5＞0.5，
所以当 0≤x≤6 时，要使 y≥0.5，则 0≤x≤2＋2 3 .
因为 DE＝3 m，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
所以 d 的最大值为 2＋2 3 －3＝2 3 －1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 d≥OB，所以 d 的最小值为 2.
综上所述，d 的取值范围是 2≤d≤2 3 －1.
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数学中考总复习 第 1 轮
考点二 应用二次函数解决最优化问题
2．(2025·贵州)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系，下表是 y 与 x 的几组对应值．
销售单价 x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量 y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求 y 与 x 的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品，赠送礼品后，为确
保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，求 m 的值．
解：(1)设 y 与 x 的函数表达式为 y＝kx＋b，
12k＋b＝56，
把 x＝12，y＝56；x＝20，y＝40 分别代入，得
20k＋b＝40，
k＝－2，
解得 所以 y 与 x 的函数表达式为 y＝－2x＋80.
b＝80，
(2)设日销售利润为 w(元)，根据题意，得 w＝(x－10)·y
＝(x－10)(－2x＋80)
＝－2x2＋100x－800
＝－2(x－25)2＋450，
所以当 x＝25 时，w 有最大值为 450，
所以糖果销售单价定为 25 元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450 元．
(3)设日销售利润为 w(元)，根据题意，得 w＝(x－10－m)·y
＝(x－10－m)(－2x＋80)
＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m，
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100＋2m 50＋m
所以当 x＝－ ＝ 时，
2×（－2） 2
50＋m 2 50＋m
w 有最大值为－2 ＋(100＋2m) －800－80m.
2 2
为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，
50＋m 2 50＋m
所以－2 ＋(100＋2m)· －800－80m＝392，
2 2
化简得 m2－60m＋116＝0，解得 m1＝2，m2＝58(舍去)，所以 m 的值为 2.
3．(2025·安徽模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝a(x＋1)(x－4)与 x 轴交于 A，B
两点，与 y 轴交于点 C(0，－2).
备用图
(1)求 a 的值．
(2)点 D 为第四象限抛物线上一点．
①连接 BD，CD，求△BCD 面积的最大值；
S1
②连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记△BDE 的面积为 S1，△ABE 的面积为 S2，求 的最S2
大值．
1
解：(1)把 C(0，－2)代入 y＝a(x＋1)(x－4)中，得－4a＝－2，所以 a＝ .
2
1 1 3
(2)①由(1)得抛物线解析式为 y＝ (x＋1)(x－4)＝ x2－ x－2，
2 2 2
所以点 A 和点 B 的坐标分别为(－1，0)，(4，0).
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数学中考总复习 第 1 轮
1 4k＋b1＝0， k＝ ，2
设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b1，所以 解得
b1＝－2， b1＝－2，
1
所以直线 BC 的解析式为 y＝ x－2.
2
如图，过点 D 作 DE∥y 轴交 BC 于点 E.
1 3 1
设 D(m， m2－ m－2)，则 E m， m－2 ，
2 2 2
1 1 3 1
所以 DE＝ m－2－ m2＋ m＋2 ＝－ m2＋2m，
2 2 2 2
1 1
所以 S△BCD＝S△CDE＋S△BDE＝ DE·(x －x )＋ DE·(x －x ) 2 D C 2 B D
1
＝ DE·(xB－xC)＝2DE＝－m2＋4m ＝－(m－2)2＋4. 2
因为－1＜0，所以当 m＝2 时，S△BCD 有最大值，最大值为 4.
②如图，过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K，
DF DE S1 S△BDE DE DF
所以 AK∥DG，所以△AKE∽△DFE，所以 ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ .
AK AE S2 S△ABE AE AK
1 1 5
在 y＝ x－2 中，当 x＝－1 时，y＝－ －2＝－ ，
2 2 2
5 5
所以 K －1，－ ，所以 AK＝ .
2 2
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1 3 1
设 D m， m2－ m－2 ，则 F m， m－2 ，
2 2 2
1 1 3 1
所以 DF＝ m－2－ m2＋ m＋2＝－ m2＋2m，
2 2 2 2
1
－ m2＋2m
S1 2 1 4 1 4
所以 ＝ ＝－ m2＋ m＝－ (m－2)2＋ ，
S2 5 5 5 5 5
2
S1 4
所以当 m＝2 时， 有最大值，最大值是 .
S2 5
考点三 新定义型二次函数
ax
2＋bx＋c（x≥0），
4．(2025·合肥模拟)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，定义函数 y＝ 是它
－ax
2－bx－c（x＜0）
的相关函数．若一次函数 y＝x＋1 与二次函数 y＝x2－4x＋c 的相关函数的图象恰好有两个公共
点，则 c 的值可能是( )
1
A．－1 B．0 C． D．2
2
答案：D
5．(2025·合肥一模)我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 6 倍的点，则把该函
数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”y＝x＋20，其“行知点”为(4，24).
24
(1)直接写出函数 y＝ 图象上的“行知点”是____________；
x
1
(2)若二次函数 y＝(a－3)x2＋(a＋3)x＋ a 的图象上只有一个“行知点”，则 a 的值为________．
2
答案：(1)(2，12)或(－2，－12) (2)－3
6．(2025·安徽冲刺卷)定义：平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)，点 Q(c，d)，若 c＝ka，d＝
－kb，其中 k 为常数，且 k≠0，则称点 Q 是点 P 的“k 级变换点”．例如，点(－4，6)是点(2，3)
的“－2 级变换点”．
4
(1)函数 y＝－ 的图象上是否存在点(1，2)的“k 级变换点”？若存在，求出 k 的值；若不存在，
x
说明理由；
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1
(2)动点 A t， t－2 与其“k 级变换点”B 分别在直线 l1，l 上， 2 2
在 l1，l2 上分别取点(m2，y1)，(m2，y2).若 k≤－2，求证：y1－y2≥2；
(3)关于 x 的二次函数 y＝nx2－4nx－5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1 级变换点”都
在直线 y＝－x＋5 上，求 n 的取值范围．
解：(1)存在． 由题意得，(1，2)的“k 级变换点”为(k，－2k)，
将(k，－2k)代入反比例函数解析式得－4＝k(－2k)， 解得 k＝± 2 .
1，－ ＋ (2)证明：由题意得，点 B 的坐标为 kt kt 2k .
2
1 1
由点 A 的坐标知，点 A 在直线 y＝ x－2 上，同理可得，点 B 在直线 y＝－ x＋2k 上，
2 2
1 1
则 y 2 21＝ m －2，y2＝－ m ＋2k， 2 2
1 1
则 y1－y2＝ m2－2＋ m2－2k＝m2－2k－2. 2 2
因为 k≤－2，则－2k－2＋m2≥2， 即 y1－y2≥2.
(3)设在二次函数图象上的两个点为点 A，B，
设点 A(s，t)，则其“1 级变换点”的坐标为(s，－t).
将(s，－t)代入 y＝－x＋5 得－t＝－s＋5，则 t＝s－5，即点 A 在直线 y＝x－5 上．
同理可得，点 B 在直线 y＝x－5 上，即点 A，B 所在的直线为 y＝x－5.
由抛物线的解析式知，其和 x 轴的交点为(－1，0)，(5，0)，其对称轴为直线 x＝2.
当 n＞0 时，抛物线和直线 AB 的大致图象如下：
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直线和抛物线均过点(5，0)，则点 A，B 必然有一个点为(5，0)，设该点为点 B，另外一个点为
点 A，如上图，联立直线 AB 和抛物线的解析式得 y＝nx2－4nx－5n＝x－5.
4n＋1
设点 A 的横坐标为 x，则 x＋5＝ .
n
4n＋1
因为 x≥0，则 －5≥0，解得 n≤1，此外，直线 AB 和抛物线在 x≥0 时有两个交点，
n
1 1
故 Δ＝(－4n－1)2－4n(5－5n)＝(6n－1)2＞0，故 n≠ ，即 0＜n≤1 且 n≠ ；
6 6
当 n＜0 时，直线 AB 不可能和抛物线在 x≥0 时有两个交点，故该情况不存在．
1
综上，0＜n≤1 且 n≠ .
6
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第 14 节 二次函数的综合应用
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题
1．(2025·合肥模拟)灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口 H
离地面的竖直高度 OH 为 1.5 m．如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐
标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE＝3 m，竖
直高度 EF＝0.5 m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点 A
离喷水口的水平距离为 2 m，高出喷水口 0.5 m，灌溉车到绿化带的距离 OD 为 d(单位：m).
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；
(2)求下边缘抛物线与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 d 的取值范围．
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考点二 应用二次函数解决最优化问题
2．(2025·贵州)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系，下表是 y 与 x 的几组对应值．
销售单价 x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量 y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求 y 与 x 的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品，赠送礼品后，为确
保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，求 m 的值．
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3．(2025·安徽模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝a(x＋1)(x－4)与 x 轴交于 A，B
两点，与 y 轴交于点 C(0，－2).
(1)求 a 的值．
(2)点 D 为第四象限抛物线上一点．
①连接 BD，CD，求△BCD 面积的最大值；
S1
②连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记△BDE 的面积为 S1，△ABE 的面积为 S2，求 的最S2
大值．
备用图
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考点三 新定义型二次函数
ax
2＋bx＋c（x≥0），
4．(2025·合肥模拟)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，定义函数 y＝ 是它
2 －ax －bx－c（x＜0）
的相关函数．若一次函数 y＝x＋1 与二次函数 y＝x2－4x＋c 的相关函数的图象恰好有两个公共
点，则 c 的值可能是( )
1
A．－1 B．0 C． D．2
2
5．(2025·合肥一模)我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 6 倍的点，则把该函
数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”y＝x＋20，其“行知点”为(4，24).
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(1)直接写出函数 y＝ 图象上的“行知点”是____________；
x
1
(2)若二次函数 y＝(a－3)x2＋(a＋3)x＋ a 的图象上只有一个“行知点”，则 a 的值为________．
2
6．(2025·安徽冲刺卷)定义：平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)，点 Q(c，d)，若 c＝ka，d＝
－kb，其中 k 为常数，且 k≠0，则称点 Q 是点 P 的“k 级变换点”．例如，点(－4，6)是点(2，3)
的“－2 级变换点”．
4
(1)函数 y＝－ 的图象上是否存在点(1，2)的“k 级变换点”？若存在，求出 k 的值；若不存在，
x
说明理由；
1
(2)动点 A t， t－2 与其“k 级变换点”B 分别在直线 l
2 1
，l2上，
在 l 2 21，l2 上分别取点(m ，y1)，(m ，y2).若 k≤－2，求证：y1－y2≥2；
(3)关于 x 的二次函数 y＝nx2－4nx－5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1 级变换点”都
在直线 y＝－x＋5 上，求 n 的取值范围．
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