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数学中考总复习 第 1 轮
第 25 节 与圆有关的位置关系
考点一 点、直线与圆的位置关系的判断
1．已知⊙O 的直径是 4 cm，OP＝4 cm，则点 P( )
A．在⊙O 外 B．在⊙O 上 C．在⊙O 内 D．不能确定
解析：选 A.因为点到圆心的距离 d＝4＞2＝r，所以点 P 在⊙O 外．故选 A.
考点二 切线的性质与判定
2．(2025·马鞍山二模)如图，⊙O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 相切于 A，C 两点，则∠AOC
的度数是( )
A．148° B．144° C．140° D．136°
答案：B
3.(2025·安徽押题卷)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 DC 上，若以 AE 为直径的⊙O
与 BC 相切，则 CE 的长为( )
4 6
A．1 B．3－ 2 C． D．
3 5
答案：A
4．(2025·安徽冲刺卷)如图，在等腰△ABC 中，以腰 AC 为直径的⊙O 交底边 BC 于点 D，过点
D 的切线交 AB 于点 E.
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数学中考总复习 第 1 轮
(1)求证：∠AED＝90°；
(2)若 AE＝2，DE＝4，求⊙O 的半径．
解：(1)证明：如图，连接 OD，则 OD⊥DE.
因为 OD＝OC，所以∠1＝∠C.
因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C，所以∠1＝∠B，所以 OD∥AB，
所以 DE⊥AB，所以∠AED＝90°.
(2)如图，连接 AD.
因为 AC 是⊙O 的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠1＋∠ADO＝90°.
因为 DE⊥OD，所以∠2＋∠ADO＝90°，所以∠2＝∠1＝∠C，
又因为∠AED＝∠ADC＝90°，所以△AED∽△ADC，
2 2
AE AD AD2 AE ＋ED
所以 ＝ ，所以 AC＝ ＝ ＝10，故⊙O 的半径为 5.
AD AC AE AE
5．(2025·安徽一模)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 与⊙O 相切于点 F，点 C 为⊙O 上
一点，CF 平分∠ACB，AC 和 BC 分别与⊙O 相交于点 E，D，DG⊥AB 于点 G.
(1)求证：DG 是⊙O 的切线；
1
(2)若 tan A＝ ，⊙O 的半径为 2 5 ，求 AF 的长．
2
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数学中考总复习 第 1 轮
解：(1)证明：如图，连接 OF，OD.
1
因为 CF 平分∠ACB，∠ACB＝90°，所以∠BCF＝∠ACF＝ ∠ACB＝45°，
2
则∠DOF＝2∠BCF＝90°.
因为 AB 与⊙O 相切于点 F，所以∠OFG＝∠OFA＝90°.
因为 DG⊥AB，所以∠DGF＝90°，
则∠DGF＝∠OFG＝∠DOF＝90°，所以四边形 OFGD 是矩形，
所以∠ODG＝90°，即 OD⊥DG.
因为 OD 是⊙O 的半径，所以 DG 是⊙O 的切线．
(2)如图，连接 OE，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，
则∠EHF＝∠EHA＝90°.
因为∠EOF＝2∠ACF＝90°，所以∠EOF＝∠EHF＝∠OFH＝90°，
所以四边形 EHFO 是矩形．
因为 OE＝OF，所以四边形 EHFO 是正方形，所以 EH＝HF＝OE＝2 5 .
EH 2 5 1
因为 tan A＝ ＝ ＝ ，所以 AH＝4 5 ，所以 AF＝AH＋HF＝6 5 .
AH AH 2
6．(2025·安徽模拟)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，⊙O 是它的内切圆，与 AB，BC，CA 分
别相切于点 D，E，F.
(1)若∠DOE＝130°，则∠C＝________；
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(2)若 AB＝3，AC＝4，求⊙O 的半径．
解：(1)因为 AB，BC 是⊙O 的切线，所以∠BDO＝∠BEO＝90°.
又因为∠DOE＝130°，所以∠B＝50°.
因为∠A＝90°，所以∠C＝40°.故答案为：40°
(2)如图，连接 OF，AO，BO，CO.
因为 AB，AC，BC 是⊙O 的切线，所以 OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC.
因为 AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，所以 BC＝ AB2＋AC2 ＝ 9＋16 ＝5.
1 1 1 1
因为 S△ABC＝S△ABO＋S△ACO＋S△BOC，所以 AB·AC＝ AB·OD＋ AC·FO＋ BC·OE， 2 2 2 2
所以 3×4＝(3＋4＋5)OD，所以 OD＝1，所以⊙O 的半径为 1.
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第 25 节 与圆有关的位置关系
考点一 点、直线与圆的位置关系的判断
1．已知⊙O 的直径是 4 cm，OP＝4 cm，则点 P( )
A．在⊙O 外 B．在⊙O 上
C．在⊙O 内 D．不能确定
考点二 切线的性质与判定
2．(2025·马鞍山二模)如图，⊙O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 相切于 A，C 两点，则∠AOC
的度数是( )
A．148° B．144°
C．140° D．136°
3.(2025·安徽押题卷)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 DC 上，若以 AE 为直径的⊙O
与 BC 相切，则 CE 的长为( )
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A．1 B．3－ 2 C． D．
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4．(2025·安徽冲刺卷)如图，在等腰△ABC 中，以腰 AC 为直径的⊙O 交底边 BC 于点 D，过点
D 的切线交 AB 于点 E.
(1)求证：∠AED＝90°；
(2)若 AE＝2，DE＝4，求⊙O 的半径．
5．(2025·安徽一模)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 与⊙O 相切于点 F，点 C 为⊙O 上
一点，CF 平分∠ACB，AC 和 BC 分别与⊙O 相交于点 E，D，DG⊥AB 于点 G.
(1)求证：DG 是⊙O 的切线；
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(2)若 tan A＝ ，⊙O 的半径为 2 5 ，求 AF 的长．
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6．(2025·安徽模拟)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，⊙O 是它的内切圆，与 AB，BC，CA 分
别相切于点 D，E，F.
(1)若∠DOE＝130°，则∠C＝________；
(2)若 AB＝3，AC＝4，求⊙O 的半径．
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