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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质,能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象、数学运算等素养.
2.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.借助双曲线几何性质的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养.
自主预习 新知导学
一、双曲线的几何性质
【问题思考】
1.类比椭圆的几何性质,结合图象(图略),思考以下问题:
(1)从图象上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制
(2)观察双曲线,它是不是轴对称图形 对称轴是哪条直线 是不是中心对称图形 对称中心是哪个点
提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫作双曲线的中心.
(3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗 为什么
提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.
2.双曲线的几何性质
表2-2-1
3.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　).
答案:B
二、双曲线的离心率
【问题思考】
1.(1)如何用a,b表示双曲线的离心率
(2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么,双曲线的离心率与开口大小有关系吗 怎样反映这种关系
答案:C
三、双曲线的渐近线
【问题思考】
1.(1)双曲线的两支在向外无限延伸的过程中会不会与它的渐近线相交
提示:双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交.
(2)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗
提示:渐近线相同的双曲线有无数条,不一定是同一条双曲线,但它们实轴长与虚轴长的比值相同.
(3)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(　　)
(2)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　　)
×
×
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
利用双曲线的标准方程研究其几何性质
【例1】 求双曲线9x2-16y2+144=0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程,并大致画出这个双曲线.
答图2-2-1
利用双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)先把双曲线方程化为标准形式.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
注意:求性质时一定要注意焦点的位置.
【变式训练1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
探究二
根据几何性质求双曲线标准方程
【例2】 分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程:
1.求双曲线的标准方程的方法
(1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪条轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.
(2)如果已知双曲线的方程为标准方程,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.
2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
【变式训练2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)以直线2x±3y=0为渐近线,经过点(1,2);
探究三
求双曲线的渐近线或离心率
【例3】 如图如图2-2-2,已知F1,F2为双曲线 (a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.
图2-2-2
分析:由于PF2⊥x轴,因而可先求得点P的纵坐标,即可知|PF2|的值,再结合△PF1F2为直角三角形及双曲线的定义,求得a,b间的关系,进而求得渐近线的斜率.
若本例条件不变,求此双曲线的离心率.
1.求双曲线渐近线方程的两种方法
2.求双曲线离心率的方法
(2)若求离心率e的取值范围,则应由题意寻求a,b,c的不等关系,由此得出关于e的不等式,再进行求解.
规范解答
与双曲线的离心率有关的问题
在求双曲线离心率的的齐次方程,若得到的是关于a,c的方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0
求解.
本题可能会出现因不会对等式c2-2ac-a2=0变形,而求不出e,导致此情形的原因是欠缺对等式进行变形的能力.
随堂练习
1.实轴长等于虚轴长的双曲线叫作等轴双曲线.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　).
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
解析:在3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,则等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0).于是c=4,
答案:A
2.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则m=(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
答案:B
答案:BCD
答案:(-12,0)
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)求双曲线C的渐近线方程.

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