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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,理解椭圆、焦点、焦距的定义.理解椭圆标准方程的推导与化简.
2.掌握椭圆的标准方程及几何图形.理解参数a,b,c的几何意义,会求一些简单的椭圆的标准方程.学好数形结合数学思想的运用.
3.通过对椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力,提高探索数学的兴趣,激发学习热情.
自主预习 新知导学
一、椭圆的定义
【问题思考】
1.(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形
提示:得到一个椭圆.
(2)笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗
提示:是.其距离之和始终等于细绳的长度.
2.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 椭圆 .
这两个定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 ,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的
焦距 .
3.(多选题)下列命题是真命题的有(　　).
A.已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 的点P的轨迹为椭圆
B.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段
C.到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D.若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F1(-4,0), F2(4,0)的距离的和,则点P的轨迹为椭圆
BD
解析: A项,因为 <2,所以点P的轨迹不存在;B项,因为|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;C项,到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴);D项,因为点M(5,3)到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和为4 >8,所以点P的轨迹为椭圆.故选BD.
二、椭圆的标准方程
【问题思考】
1.(1)根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程
提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,然后按照直接法求轨迹方程的步骤求出椭圆方程.
(2)在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式
提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可.
3.两个焦点坐标分别为(2,0)和(-2,0),且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为(　　).
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆.(　　)
×
×
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
用待定系数法求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0),(3,0),并且椭圆上一点P与两个焦点的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,3 );
求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两条坐标轴上都有可能.
(2)设方程:
②在不能确定焦点位置的情况下也可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).
(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.
(4)得方程:解方程组,代入所设方程即为所求.
其主要步骤可归纳为“先定型,再定量”.
【变式训练1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
探究二
用定义法求椭圆的标准方程
【例2】 已知一动圆M与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.
解:由已知,得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1,Q2(3,0),R2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R.
由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义,知点M在以Q1,Q2为左、右焦点的椭圆上,且a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16.
故动圆圆心M的轨迹方程为
1.先根据动点满足的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点的距离之和是不是一个常数,且该常数(定值)是不是大于两定点间的距离.
2.若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,动点到两定点的距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.
【变式训练2】 一动圆过定点A(2,0),且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:将圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,可知圆心为B(-2,0),半径为6,
如答图2-1-1,设动圆圆心M的坐标为(x,y),切点为C.
∵|BC|-|MC|=|BM|,|BC|=6,|CM|=|AM|,
∴|BM|+|AM|=6>|AB|=4.
由椭圆定义知,A,B为椭圆的两个焦点,
∴a=3,c=2,b2=a2-c2=5,
答图2-1-1
探究三
椭圆定义的应用
1.若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠F1PF2=90°”,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
2.若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
1.椭圆的定义具有双向作用,即若点P到两定点F1,F2的距离之和|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点F1,F2的距离之和必为常数(大于|F1F2|).
2.椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=常数(大于|F1F2|)及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
图2-1-1
|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|.
所以△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=20.
易错辨析
因考虑不全面而致误
【典例】 已知椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某点到两焦点的距离分别等于9和15,求椭圆的标准方程.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的错误在于忘记本题没有说明焦点在哪条坐标轴上,解题时易主观地认为焦点在x轴上,应考虑焦点在x轴、y轴上两种情形,这是初学者易犯的错误.
正解:由题意知,2c=16,2a=9+15=24,所以c=8,a=12.
所以b2=a2-c2=122-82=80.
在求解椭圆问题时,要注意以下常见错误:
(1)忽略椭圆定义中的条件2a>|F1F2|.
(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a>b>0).
(3)主观地认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况.
(4)忽略对方程的限制条件.
随堂练习
1.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点的坐标是(0,1),则实数k的值是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
A.(3,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞)
答案:D
3.已知点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆的标准方程为(　　).
答案:C
答案:AB
6.已知椭圆的中心在原点,两个焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.

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