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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.
3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题,提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、抛物线的定义
【问题思考】
1.如图2-3-1,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板和一条拉链,拉链的长度与三角板的一条直角边AB相等.将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,拉链的一端固定在三角板顶点B处,另一端固定在黑板上的点C处.在拉链D处放置一支粉笔,沿着直线EF上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.
图2-3-1
(1)画出的曲线是什么形状
提示:抛物线.
(2)|DA|是点D到直线EF的距离吗 为什么
提示:是.因为AB是直角三角形的一条直角边.
(3)点D在移动过程中,到直线EF的距离和到点C的距离在数量上满足什么关系 .
提示:相等.
2.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作 抛物线 .这个定点F叫作抛物线的 焦点 ,这条定直线l叫作抛物线的 准线 .
3.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上且恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点(　　).
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
解析:直线x+2=0为抛物线的准线,所以动圆过抛物线的焦点(2,0).故选B.
答案:B
二、抛物线的标准方程
【问题思考】
1.(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么
提示:p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么 轨迹方程又是什么
提示:轨迹是抛物线,轨迹方程为y2=12x.
(3)如何确定抛物线的焦点位置和开口方向
提示:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上,焦点确定,开口方向也随之确定.
2.抛物线的标准方程 表2-3-1
3.抛物线y2=2x的焦点坐标是　　　　　,准线方程是　　　　　.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.(　　)
(2)抛物线是双曲线的一支.(　　)
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线.
(　　)
(4)抛物线y2=20x的焦点坐标是(0,5).(　　)
×
×
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
求抛物线的焦点或准线
【例1】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2=40x;(2)4x2=y;(3)6y2+11x=0.
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程的方法
先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p>0,焦点所在位置由标准方程一次项的系数确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.
【变式训练1】 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线的开口方向.
(1)y= x2;
(2)x=ay2(a≠0).
探究二
求抛物线的标准方程
【例2】 根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);
(2)过点(4,-8);
(3)焦点在直线x-2y-4=0上;
(4)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 .
(2)由题意,可设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).将点(4,-8)的坐标代入y2=2px,得p=8.将点(4,-8)的坐标代入x2=-2p'y,得p'=1.
故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.
1.求抛物线方程,先判断焦点位置,通常用待定系数法.
(1)若能确定抛物线的焦点位置,则直接设出抛物线的标准方程,求出p的值即可;
(2)若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.
2.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
【变式训练2】 求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点M(-6,6);
(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.
解:(1)∵点M(-6,6)在第二象限,
∴过点M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左,则焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=-2p×(-6),解得p=3.∴抛物线的方程为y2=-6x.
若抛物线开口向上,则焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=2p×6,解得p=3,∴抛物线的方程为x2=6y.
综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
探究三
抛物线定义的应用
【例3】 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
分析:利用抛物线的定义,把点P到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离.
如答图2-3-1 ,设抛物线的准线为l,过点P向直线l作垂线,垂足为Q,连接PF,AF.
由抛物线的定义知,|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|≥|AF|,
当且仅当点P在AF上时取等号.
答图2-3-1
1.若将本例中的“点A(0,2)”改为“点A(3,2)”,其他条件不变,求点P到点A(3,2)的距离与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.
解:由题意可知,抛物线y2=2x的焦点坐标为 ,设为F.
如如答图2-3-2,设抛物线的准线为l,过点P向直线l作垂线,垂足为Q,过点A向直线l作垂线,垂足为Q'.
由抛物线的定义知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AQ'|,
当且仅当点P在AQ'上时取等号.
答图2-3-2
2.若将本例中的“点A(0,2)”改为“直线l1:3x-4y+ =0”,其他条件不变,求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
答图2-3-3
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
【变式训练3】 (1)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　).
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
答图2-3-4
答案:(1)C　(2)C
易错辨析
因考虑问题不全面而致误
【典例】已知抛物线上一点(-5,-2 )到焦点F(x,0)的距离是6,则抛物线的标准方程是(　　).
A.y2=-2x或y2=-18x
B.y2=-4x或y2=-36x
C.y2=-4x
D.y2=-18x,y2=-36x
x=-9,则F(-1,0)或F(-9,0).
若F(-1,0),则p=2,方程为y2=-4x;
若F(-9,0),则p=18,方程为y2=-36x.故选B.
答案:B
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的错误在于忘记检验是否符合抛物线的定义.由已知求出F(-1,0)或F(-9,0),只说明这两点到点(-5,-2 )的距离为6,并不代表点
(-5,-2 )一定在以F(-1,0)或F(-9,0)为焦点的抛物线上.
整理得x2+10x+9=0,即(x+1)(x+9)=0,
解得x=-1或x=-9.
则F(-1,0)或F(-9,0).
若F(-1,0),则p=2,y2=-4x;
若F(-9,0),则p=18,y2=-36x.显然,若抛物线的方程为y2=-36x,则它的准线方程为x=9.
由抛物线的定义,点(-5,-2 )到直线x=9的距离应该是6,而点(-5,-2 )到直线x=9的距离为14,矛盾.
故所求抛物线的标准方程为y2=-4x.
答案:C
1.求抛物线的标准方程,常用待定系数法.用待定系数法求抛物线标准方程时,一定要先确定焦点位置与开口方向,如果开口方向不确定时,可设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0),或者x2=ay(a≠0).
2.应用分类讨论的思想解题时,应注意验证分类的结果是否都符合题意.
随堂练习
答案:B
2.已知抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为(　　).
A.y2=8x B.y2=12x
C.y2=16x D.y2=20x
解析:由题意知6a+3=5,解得a= .因此抛物线的方程为y2=8x.
答案:A
3.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.设l与x轴的交点为K,P为抛物线C上异于O的任意一点,点P在l上的射影为点E,∠EPF的邻补角的平分线交x轴于点Q,过点Q作QM⊥PF交PF于点M,过点Q作QN⊥EP交线段EP的延长线于点N,则(　　).
A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|
C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|
答案:ABD
4.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A到焦点F的距离为4,点M为抛物线C准线上的动点.若 则p=　　　　　.
答案:3
(第3题答图)
5.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线的方程和实数m的值;
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程.

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