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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点、焦距.
2.掌握双曲线的标准方程及其推导过程,能利用定义求标准方程及分析解决有关问题,培养学生的数学抽象、直观想象素养.
3.进一步体会用待定系数法求轨迹方程及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用.
自主预习 新知导学
一、双曲线的定义
【问题思考】
1.如图2-2-1,观察下图,思考问题:
(1)在点M移动的过程中,||MF1|-|MF2||的值发生变化吗
提示:不变.
(2)动点M的轨迹是什么
提示:双曲线.
(3)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么
提示:双曲线的一支.
图2-2-1
(4)在双曲线的定义中,必须要求“常数大于零且小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”和“常数为0”时,动点的轨迹分别是什么
提示:①如果定义中常数等于|F1F2|,此时动点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线(包括端点).
②如果定义中常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.
③如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
2.平面内到两个定点F1,F2的距离之 差的绝对值 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这 两个定点F1,F2 叫作双曲线的焦点, 两个焦点间的距离|F1F2| 叫作双曲线的焦距.
3.已知两个定点F1(-3,0),F2(3,0),平面内动点P满足下列条件的轨迹,是双曲线的是(　　).
A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6
C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0
解析:A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;
B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,
∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点);
C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,
∴动点P的轨迹不存在;
D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选A.
答案:A
二、双曲线的标准方程
【问题思考】
1.(1)以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,类比椭圆标准方程的推导过程,思考怎样求双曲线的标准方程.
提示:设M(x,y)是双曲线上任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由||MF1|-|MF2|| =2a(a>0),可得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
提示:若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.
(3)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a,b,c之间的关系有什么区别
提示:在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2.
3.已知点F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2的距离之差为6,则曲线方程为(　　).
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
(　　)
(2)平面内到两定点F1,F2的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.(　　)
×
×
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线方程的步骤
【变式训练1】 (1)求以椭圆 的短轴的两个端点为焦点,且经过点A(4,-5)的双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.
探究二
由双曲线的标准方程求参数
【例2】 求适合下列条件的参数的值或取值范围:
②若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则1③若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则k<-3.
1.题设中k的正负未定,不能误以为 就是双曲线的标准方程,需分类讨论.有时要注意对焦点在x轴、y轴上进行分类讨论,不要漏解.
2.方程Ax2+By2=1(A,B≠0)表示椭圆的充要条件为A>0,B>0,且A≠B.表示双曲线的充要条件为AB<0,若A>0,B<0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则方程表示焦点在y轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2,y2的系数的正负决定的.
(1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线;
(2)求证:不论t为何值,曲线C都有相同的焦点.
(2)证明:当|t|>1时,曲线C是椭圆,且t2>t2-1,
因此c2=t2-(t2-1)=1.
于是焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
∵c2=t2+1-t2=1,∴焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
综上所述,无论t为何值,曲线C都有相同的焦点.
探究三
双曲线定义的应用
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
(1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于d,则|16-d|=6,解得d=10或d=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|-|PF1||=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
1.若将本例(1)中条件“距离等于16”改成“距离等于7” ,其他条件不变,求点M到另一个焦点的距离.
得a=3,b=4,c=5.
由双曲线定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6.
假设点M到另一个焦点的距离等于d,则|7-d|=6,解得d=1或d=13.
又d≥5-3=2,即双曲线上动点到任一个焦点的最短距离为2,所以d=1舍去.故d=13.
2.若将本例(2)中条件“|PF1|·|PF2|=32”改成“∠F1PF2=60°”, ,其他条件不变求△F1PF2的面积.
1.求双曲线上一点P到某一焦点的距离时,若已知点P的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求得结果;若已知点P到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).
2.在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,要注意两点:(1)定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;(2)要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,如|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|.
【变式训练3】 已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线C上,
(1)若|PF1|=2|PF2|,求∠F1PF2的余弦值;
易错辨析
因忽视隐含条件导致所求轨迹方程错误
【典例】 已知定点A(-3,0)和定圆C:(x-3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过定点A,求动圆圆心M的轨迹方程.
错解:设M(x,y),动圆与圆C的切点为B,则|BC|=4,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,
于是|MC|=|MA|+|BC|,
即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|.
由双曲线的定义知,点M的轨迹是以A,C为焦点的双曲线,且a=2,c=3,b2=5.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:上述解法的错误在于把动点的轨迹看成双曲线,忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件,动点轨迹实际上是双曲线的一支.
正解:设M(x,y),动圆与圆C的切点为B,
则|BC|=4,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,
于是|MC|=|MA|+|BC|,
即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|.
由双曲线的定义知,点M的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=2,c=3,b2=5.
在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定义,才能保证解题的正确性.当F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且||PF1|-|PF2||= 2a<|F1F2|(a>0),即|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)时,点P的轨迹是双曲线,其中取正号时轨迹为双曲线的右支,取负号时轨迹为双曲线的左支.
随堂练习
1.若双曲线 的两个焦点分别是F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离是12,则点P到F2的距离是(　　).
A.17 B.7
C.7或17 D.2或22
解析:由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=10,
即|12-|PF2||=10,且c-a= -5<2,
所以|PF2|=2或|PF2|=22.
答案:D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
A.±5 B.±3
C.5 D.9
解析:由题意知,焦点在x轴上,34-n2=n2+16,
∴2n2=18,n2=9.∴n=±3.
答案:B
答案:AC

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