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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系.
2.掌握求解有关直线与圆锥曲线问题的方法.
3.加强数形结合思想方法的训练与应用,培养学生的直观想象和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线与圆锥曲线的交点
【问题思考】
1.(1)联立直线方程与椭圆方程得到二次方程,讨论其判别式时是否需要讨论x2项的系数是不是零 为什么
提示:不需要,因为x2项的系数恒大于零.
(2)联立直线方程与双曲线方程或抛物线方程得到二次方程,讨论其判别式时是否需要讨论x2项的系数是不是零 为什么
提示:需要讨论,因为x2项的系数可能等于零.
提示:3条.
3.直线l:x-y+2=0与双曲线C:x2-4y2=4的交点坐标为　　　　　　　　　　.
二、直线与圆锥曲线的位置关系
【问题思考】
1.(1)若直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切.正确吗
提示:正确.
(2)若直线与抛物线有一个公共点,则直线与抛物线一定相切吗
提示:不一定.当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一个交点.
2.直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线M的方程为f(x,y)=0,则由
(1)当a≠0时有:
(2)当a=0时,方程ax2+bx+c=0只有一个解,即直线与圆锥曲线只有一个公共点,此时该直线与圆锥曲线不是相切,而是相交.
位置关系 公共点个数 方程
相交 2 Δ > 0
相切 1 Δ = 0
相离 0 Δ < 0
表2-4-1
3.已知直线y=kx-1与椭圆 相切,则k,a之间的关系式为(　　).
A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到定点与到定直线距离的比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.
(　　)
(3)若直线与圆锥曲线只有一个公共点,则直线与圆锥曲线必相切.(　　)
(4)直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解.
(　　)
×
×
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与圆锥曲线的交点
【例1】 已知双曲线的焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3).
(1)求该双曲线的标准方程;
(2)若直线l经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线l与双曲线的交点坐标.
判断直线与圆锥曲线是否有交点,可以利用判别式,而要求出交点坐标,则只能联立方程组,通过解方程组来求解.
答案:C
探究二
根据交点个数求参数的取值范围
【例2】 (1)判断直线l:y= x+2和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.
(2)当k为何值时,直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
1.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C:
(1)有一个公共点;
(2)有两个公共点;
(3)没有公共点.
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点,此时直线l与抛物线C相交;
②当Δ=0,即k=1时,直线l与抛物线C有一个公共点,此时直线l与抛物线C相切;
③当Δ<0,即k>1时,直线l与抛物线C没有公共点,此时直线l与抛物线C相离.
综上所述,
(1)当k=1或k=0时,直线l与抛物线C有一个公共点;
(2)当k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与抛物线C没有公共点.
2.已知直线l:y=kx+2,双曲线C:x2-4y2=4,求当k为何值时:
(1)直线l与双曲线C无公共点;
(2)直线l与双曲线C有唯一的公共点;
(3)直线l与双曲线C有两个不同的公共点.
1.用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系,当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交;当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切;当Δ<0时,直线与圆锥曲线相离.
2.联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是不是零.
【变式训练2】 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的取值范围.
探究三
圆锥曲线中的最值
答图2-4-1
求圆锥曲线中范围、最值的两种方法
(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来求解.
(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值、范围.
【变式训练3】 设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A,B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
规范解答
直线与椭圆位置关系的应用
图2-4-1
直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查,解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等,然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化,这其中要注意利用判别式来确定参数的限制条件.
随堂练习
1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有(　　).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:易知点(2,4)在抛物线上,从而这样的直线有2条,1条为切线,1条与x轴平行.
答案:B
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解析:因为直线过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆必相交.
答案:A
答案:BD
答案:6
6.已知椭圆x2+4y2=4,直线l:y=x+m.
(1)若直线l与椭圆x2+4y2=4有一个公共点,求m的值;
(2)若直线l与椭圆x2+4y2=4相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.

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