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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.
2.通过对抛物线的简单几何性质的学习,进一步体会数形结合思想在解题中的应用,并能应用几何性质解决有关问题.
自主预习 新知导学
抛物线的简单几何性质
【问题思考】
1.类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象(图略),说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质:
(1)抛物线y2=2px(p>0)的范围是什么
提示:x≥0,y∈R.
(2)抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么 是否存在对称中心
提示:对称轴为x轴,不存在对称中心.
(3)抛物线的顶点有几个 顶点坐标是什么
提示:只有一个顶点,坐标为(0,0).
(4)抛物线的离心率是多少
提示:e=1.
2.抛物线的简单几何性质
表2-3-2
3.若抛物线y2=2px上一点的横坐标为6,这点到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离是(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
解析:由抛物线的性质,可知10=6+ ,则p=8.
所以焦点到准线的距离是8.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)抛物线关于顶点对称.(　　)
(2)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
(3)抛物线的离心率均为1,所以抛物线形状都相同.(　　)
(4)焦点与准线间的距离p决定抛物线的张口大小,即决定抛物线的形状.
(　　)
×
√
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
抛物线的标准方程与几何性质
【例1】 已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2 ,求抛物线的方程.
抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.
【变式训练1】 如图2-3-2,正三角形OAB的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
图2-3-2
探究二
抛物线过焦点的弦的问题
【例2】 如图2-3-3,已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)取线段AB的中点M,若|AB|=9,求点M到准线的距离.
图2-3-3
若本例题改为:如图2-3-4,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.如何求解
图2-3-4
1.抛物线过焦点的弦的问题的解法
(1)与过焦点的弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解.
(2)与过焦点的弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解.
(3)求过焦点的弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长公式,但由于弦过焦点,因此可结合抛物线的定义得出弦长.以抛物线y2=2px(p>0)为例,过抛物线的焦点F作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦长为x1+x2+p,同时由弦长x1+x2+p≥ +p=2p,当且仅当x1=x2时,取“=”知,通径是所有弦中最短的弦.
2.抛物线中过焦点的弦的常见结论
如图2-3-5,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点M(x0,y0),准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切.
(2)|AB|= (焦点弦长与中点关系).
(3)|AB|=x1+x2+p.
(4)若直线AB的倾斜角为α,则
当α=90°时,AB叫作抛物线的通径,是所有过焦点的弦中最短的.
(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= ,y1y2=-p2.
图2-3-5
【变式训练2】 过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)如果x1+x2=7,求线段AB的长;
(2)若直线AB的倾斜角为60°,求线段AB的长.
探究三
抛物线的实际应用
【例3】 如图2-3-6,花坛水池中央有一喷泉,水管|O'P|=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到1 m)
答图2-3-6
解:如图2-3-5,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P'(1,-1)在此抛物线上,将P' (1,-1)的坐标代入
x2=-2py得p= .
故抛物线方程为x2=-y.
答图2-3-5
在建立抛物线的方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标 轴建立平面直角坐标系,这样可使得方程不含常数项,形式更为简单,便于计算.
【变式训练3】 一条隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段围成,为保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.
图2-3-7
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在
的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),
求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度|AB|为7 m,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.(精确到0.1 m)
解:如答图2-3-6.
(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
由图知,因为点C(5,-5)在抛物线上,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.
(2)设车辆的高为h m,
则|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,
解得h=4.05,
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.
答图2-3-6
规范解答
利用抛物线中的对称性求参数的取值范围
【典例】 若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)(m≠0)对称的两点,求实数m的取值范围.
1.解答本题需把握三个关键步骤
(1)由题意设出与直线y=m(x-3)(m≠0)垂直且与抛物线y=x2有两个交点的直线方程,联立后得出Δ=1+4m2b>0.
(2)利用线段AB的中点既在线段AB上,又在题中所给直线上,用m表示b.
(3)代入Δ=1+4m2b转化为关于m的三次不等式.
2.若A,B两点关于直线对称,则线段AB与这条直线垂直,且线段AB的中点在这条直线上,即这条直线是线段AB的垂直平分线.解决对称问题应注意充分利用条件,如斜率和截距等,同时还应注意各量之间的关系.
随堂练习
1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　).
A.x2=±3y B.y2=±6x
C.x2=±12y D.x2=±6y
解析:由题意知抛物线方程为x2=±2py,且 =3,即p=6,因此抛物线方程为x2=±12y.
答案:C
2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|= x0,则x0=(　　).
A.1 B.2 C.4 D.8
答案:A
3.已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为(　　).
A.(2,1) B.(-2,1)
解析:根据抛物线的定义,点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,所以要求点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小,只需求点P到点Q(1,2)的距离与点P到准线的距离之和最小,过点Q(1,2)作准线的垂线,交抛物线于点P,此时距离之和最小,点P的坐标为
答案:D
答案:ACD
5.已知圆(x-2)2+y2=42与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=　　　　　.
答案:4
6.给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a≥0,P是抛物线上一点,试求|PA|的最小值.

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