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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.掌握直线与圆锥曲线相交弦的长及中点弦问题的解法.
2.掌握圆锥曲线中定点与定值问题的解法.
3.理解和掌握转化与化归思想及数形结合思想在解析几何中的应用.
自主预习 新知导学
一、直线与圆锥曲线的相交弦长
【问题思考】
1.(1)一元二次方程根与系数的关系有哪些
(2)两点间的距离公式是怎样的
答案:B
二、中点弦
【问题思考】
1.(1)中点坐标公式是什么
(2)经过两点的直线的斜率公式是什么
答案:x+2y-4=0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦中最短弦的长是2p.(　　)
(3)与双曲线只有一个交点的直线为其切线.(　　)
(4)过点(0,1)作直线,使它与曲线y2=4x仅有一个公共点的直线只有2条.
(　　)
√
√
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
弦长问题
【例1】 已知双曲线x2- =1,过点P(2,1)作一直线交双曲线于A,B两点.若P为AB的中点,求:
(1)求直线AB的方程;
(2)求弦AB的长.
例题条件不变,试判断A,B两点在双曲线的左支上还是在右支上.
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题,应熟练利用根与系数的关系,运用设而不求法计算
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系,运用设而不求法简化运算;
(3)涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.
【变式训练1】已知直线y=2x-2交抛物线y2=8x于A,B两点,求线段AB的中点M的坐标及弦AB的长.
探究二
中点弦问题
解决中点弦问题主要有如下两种方法
(1)根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.
(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B,一般先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),将两个坐标分别代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系式.
【变式训练2】 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点Q平分,求弦AB所在直线的方程.
经验证,此时直线与抛物线相交.
故弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.
探究三
定点与定值问题
图2-4-2
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A'(A'与B不重合),则直线A'B与x轴是否交于一个定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
1.求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊值入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.
【变式训练3】 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并满足OA⊥OB(O为坐标原点),求证:
(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积均是一个定值;
(2)直线AB经过一个定点.
规范解答
与圆锥曲线有关的综合问题
图2-4-3
(2)不存在符合题设条件的直线l.证明如下:
①若直线l垂直于x轴,
因为直线l与椭圆C2只有一个公共点,
1.本例(1)是利用待定系数法求方程.
2.本例(2)中情况①不能忽略.
3.本例(2)中利用Δ=0找到参数m与k之间的关系.
随堂练习
答案:A
2.已知直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2= ,则直线l过定点(　　).
A.(-3,0) B.(0,-3)
C.(3,0) D.(0,3)
答案:A
3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 的最小值是(　　).
A.4 B.8 C.12 D.16
答案:B
答案:ABD
答案:3x+4y-7=0
6.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围;
(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

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