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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过对具体情境的分析,结合古典概型,了解条件概率的定义.
2.掌握简单的条件概率的计算问题.
3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　条件概率 可看作古典概型,此时将A看作一个样本空间
设A,B是两个事件,且P(A)>0,则称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.显然,0≤P(B|A)≤1.
从集合的角度看,若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB(如图).由于已知A已经发生,故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间.
名师点睛
1.事件B在“事件A发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率一般是不同的.
2.设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A);(3)设 和B互为对立事件,则P( |A)=1-P(B|A).
思考辨析
1.三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学不放回地抽取一张,那么最后一名同学中奖的概率是否比前两位小
提示 设三张奖券为x1,x2,Y,其中Y表示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体,那么该试验的样本空间Ω={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y,Yx1x2,Yx2x1}.设“最后一名同学中奖”为事件B,则B={x1x2Y,x2x1Y},∴P(B)= .
2.如果已经知道第一名同学没有中奖,那么最后一名同学中奖的概率是多少 与上一题的结果对比你发现了什么
提示 样本空间Ω={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y,Yx1x2,Yx2x1},可设“第一名同学没有中奖”为事件A,则A={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y},“最后一名同学中奖”为事件B,则B={x1x2Y,x2x1Y},所求概率为
与上一题的概率结果不一样,A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”,B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”.在这个问题中,第一名同学没有抽到中奖奖券一定会发生,从而影响了事件B发生的概率.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.(　　)
(2)P(A|B)=P(B|A).(　　)
×
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2.[人教A版教材习题]设A B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义,直接写出P(B|A)和P(A|B)的值,再由条件概率公式进行验证.
3.[人教A版教材习题]袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求:
(1)在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率;
(2)两次都摸到白球的概率.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　利用定义计算条件概率
【例1】 (1)已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.3,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为(　　)
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
A
解析 设事件A表示“甲在第一个路口遇到红灯”,事件B表示“甲在第二个路口遇到红灯”.由题意得P(AB)=0.3,P(A)=0.5,所以
★(2)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,则它活到25岁的概率是(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8
B
解析 设“动物活到20岁”的事件为A,“活到25岁”的事件为B,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B),所以活到20岁的动物活到25岁的概率是
规律方法　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
分析题意,弄清概率模型,理清事件
　　↓
计算P(A)和P(AB)
　　↓
代入公式P(B|A)= 即可
变式训练1甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,了解到一年中下雨天的比例甲市是20%,乙市是18%,两地同时下雨是12%,设事件A表示“甲市下雨”,事件B表示“乙市下雨”,所以
P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)=　　　　,P(B|A)=　　　　.
探究点二　　利用缩小样本空间法计算条件概率
【例2】 已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解 设甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,6),共15个样本点,在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率
变式探究将例2中的问题改为“乙抽到的数不小于甲抽到的数的概率”.
解 因为甲不放回抽取,故甲乙抽到数不可能相等,所以所求概率仍为
规律方法　利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩:将原来的样本空间Ω缩小为事件A,原来的事件B缩小为AB.
(2)数:数出事件A中事件AB所包含的样本点个数.
(3)算:利用 求得结果.
变式训练2抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.
(1)求P(A),P(B),P(AB);
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少
解 (1)设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则所有可能的事件为(x,y),建立一一对应的关系,如图,
探究点三　　条件概率的综合应用
【例3】 在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
解 设事件A=“该考生6道题全答对”,事件B=“该考生答对了其中5道题,另1道答错”,事件C=“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D=“该考生在这次考试中通过”,事件E=“该考生在这次考试中获得优秀”,则事件A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)
规律方法　若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个或若干个互不相容的较简单事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即可求得复杂事件的
概率.
变式训练3一批同型号产品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表:
等级 厂别 总计
甲厂 乙厂
合格品 475 644 1 119
次品 25 56 81
总计 500 700 1 200
(1)从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是　　;
(2)已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好是次品的概率是　　.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1. [探究点二]100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第二次抽出正品的概率为(　　)
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2.[探究点一·2024江苏丰县月考]现有甲、乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地、王仙岭旅游风景区、雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学,记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭旅游风景区”,事件B为“甲和乙选择的研学线路不同”,则P(B|A)=(　　)
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3. [探究点一]某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
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4.[探究点二]5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为　　　　　.
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5.[探究点三]一个盒子中有4个白球,m个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知在第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为 ,则m=　　　　　.
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6. [探究点二]盒中有25个球,其中10个白的、5个黄的、10个黑的,从盒子中任意取出一个球,已知它不是黑球,则它是黄球的概率为　　　　.
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7. [探究点二]从1,2,…,15中,甲、乙依次任取一数(不放回),在已知甲取到的数是5的倍数的条件下,甲取的数大于乙取的数的概率是　　　　　.
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8. [探究点三]某校从学生文艺部7名成员(4男3女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
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B 级 关键能力提升练
9.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在第一次抽到的是螺口灯泡的条件下,第二次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)
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10.书架上有三本数学书和两本语文书,某同学一共取了两次书,每次取一本,取后不放回,若“第一次从书架上取出一本语文书”记为事件A,“第二次从书架上取出一本数学书”记为事件B,那么在第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率P(B|A)的值是(　　)
C
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11.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于(　　)
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12.(多选题)将3颗骰子各掷一次,记事件A表示“三个点数都不相同”,事件B表示“至少出现一个3点”,则(　　)
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13. 假定生男孩和生女孩是等可能的,某家庭有两个小孩,如果已经知道这个家庭有女孩,则这两个小孩都是女孩的概率是　　　　.
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14.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位:分).
甲组:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83
乙组:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A;“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则
P(AB)=　　　　,P(A|B)=　　　　.
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15.盒内装有16个大小、形状完全相同的球,其中6个是玻璃球,10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;木质球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的是蓝球,该球是玻璃球的概率是多少
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解 由题意得球的分布如表:
颜色 玻璃球 木质球 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
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16.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为 ,
(1)求白球的个数;
(2)现从中不放回地取球,每次取1球,取两次,已知第二次取得白球,求第一次取得黑球的概率.
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C 级 学科素养创新练
17.设b和c分别是抛掷一枚骰子先后两次得到的点数.
(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
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解 (1)设该试验的样本空间为Ω,记“方程x2+bx+c=0没有实数根”为事件A,“方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根”为事件B,“方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根”为事件C,则Ω={(b,c)|b,c=1,2,…,6},A={(b,c)|b2-4c<0,b,c=1,2,…,6},B={(b,c)|b2-4c=0,b,c=1,2,…,6},C={(b,c)|b2-4c>0,b,c=1,2,…,6},所以样本空间Ω中的样本点个数为36,A中的样本点个数为17,B中的样本点个数为2,C中的样本点个数为17.又因为B,C是互斥事件,故所求概率
(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D,“方程x2+bx+c=0有实根”为事件E,易得

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