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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过实例,了解随机变量的概念及含义.
2.会用随机变量表示随机事件.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　随机变量的概念
在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.
随机变量是试验结果数量化,变量的一个取值代表一个随机事件
名师点睛
随机变量可将随机试验的结果数量化
所谓的随机变量不过是建立起样本空间与实数的一个对应关系.如设随机变量X表示掷骰子掷出的点数,则X=1,2,3,4,5,6,或者说X的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.
思考辨析
下述现象有哪些共同特点
①某人在射击训练中,射击一次,命中的环数X是1,2,3,…,10中的某一个数;
②抛掷一颗骰子,向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数;
③新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女.如果将男婴用0表示,女婴用1表示,那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数.
提示 现象中的X,Y,Z,实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限可列个.(　　)
(2)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差是随机变量.
(　　)
(3)袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中无放回地每次任意取出一个球,直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,6.(　　)
√
√
×
2.[人教A版教材习题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示 若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)抛掷2枚骰子,所得点数之和;
(2)某足球队在5次点球中射进的球数;
(3)任意抽取一瓶标有1 500 mL的饮料,其实际含量与规定含量之差.
解 (1)能用离散型随机变量表示.点数之和X可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
{X=k}表示掷出的点数之和为k.
(2)能用离散型随机变量表示.进球个数Y可能的取值为0,1,2,3,4,5.{Y=k}表示射进k个球.
(3)不能用离散型随机变量表示.
3.[人教A版教材习题]张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口,每个路口可能遇到红灯或绿灯.
(1)写出随机试验的样本空间;
(2)设他可能遇到红灯的次数为X,写出X的可能取值,并说明这些值所表示的随机事件.
解 (1)样本空间={(红,红,红,红),(红,红,红,绿),(红,红,绿,红),(红,绿,红,红), (绿,红,红,红),(红,红,绿,绿),(红,绿,红,绿),(红,绿,绿,红),(绿,绿,红,红),(绿,红,绿,红),(绿,红,红,绿),(红,绿,绿,绿),(绿,红,绿,绿),(绿,绿,红,绿),(绿,绿,绿,红), (绿,绿,绿,绿)},共含16 个样本点.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.事件{X=0}表示4个路口遇到的都不是红灯;事件{X=1}表示路过的4个路口中只有1个路口遇到红灯;事件{X=2}表示路过的4个路口中只有2个路口遇到红灯;事件{X=3}表示路过的4个路口中只有3个路口遇到红灯;事件{X=4}表示4个路口遇到的都是红灯.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　随机变量的判定
【例1】 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明
理由.
(1)某机场候机厅中某日的旅客数量;
(2)某路口在某时间段内查处酒驾的人数;
(3)某日济南到北京的某次长途汽车到北京站的时间;
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.
解 (1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
(3)长途汽车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随机变量.
(4)当球的体积为1 000 cm3时,球的半径为定值,不是随机变量.
规律方法　随机变量的辨析方法
变式训练1(1)下列变量中,不是随机变量的是(　　)
A.一名射手射击一次命中的环数
B.在标准状态下,水沸腾时的温度
C.抛掷两枚骰子,所得点数之和
D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数
B
解析 B选项中标准状态下,水沸腾时的温度是一个确定值.
(2)10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是(　　)
A.取到产品的件数
B.取到正品的概率
C.取到次品的件数
D.取到次品的概率
C
解析 选项A中取到产品的件数是一个常量不是变量,选项B,D中的量也是一个定值,而选项C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.
探究点二　　用随机变量表示随机事件的结果
【例2】 写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数
为X;
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码记为X.
解 (1){X=0}表示“取5个球全是红球”;
{X=1}表示“取1个白球,4个红球”;
{X=2}表示“取2个白球,3个红球”;
{X=3}表示“取3个白球,2个红球”.
(2){X=3}表示“取出的球编号为1,2,3”;
{X=4}表示“取出的球编号为1,2,4;1,3,4或2,3,4”;
{X=5}表示“取出的球编号为1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或3,4,5”.
变式探究本例(2)中,若将“最大”改为“最小”,其他条件不变,应如何解答.
解 {X=1}表示“取出的球的编号为1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5或1,4,5”.
{X=2}表示“取出的球的编号为2,3,4;2,3,5;2,4,5”.
{X=3}表示“取出的球的编号为3,4,5”.
规律方法　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.
变式训练2写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口,可能遇到红灯的次数ξ;
(2)电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对时间,他所等待的时间为ξ分钟.
解 (1)ξ可取0,1,2,3,
{ξ=0}表示“遇到红灯的次数为0”;
{ξ=1}表示“遇到红灯的次数为1”;
{ξ=2}表示“遇到红灯的次数为2”;
{ξ=3}表示“遇到红灯的次数为3”.
(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值,每一个可能取值表示他所等待的时间.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个球,下列选项中可以用随机变量表示的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到球的个数
C
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2.[探究点二]抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则X的所有可能取值为(　　)
A.0≤X≤5,X∈N B.-5≤X≤0,X∈Z
C.1≤X≤6,X∈N D.-5≤X≤5,X∈Z
D
解析 第一枚的最小值为1,第二枚的最大值为6,差为-5,第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1,差为5,故X的所有可能取值是-5≤X≤5,X∈Z,故选D.
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3. [探究点二]盒中有9个正品和3个次品零件,每次从中取一个零件,如果取出的是次品,则不再放回,直到取出正品为止,设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值;
(2)写出{ξ=1}所表示的事件.
解 (1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2){ξ=1}表示“第一次取得次品,第二次取得正品”.
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4. [探究点二]某篮球运动员在罚球时,命中1球得2分,不命中得0分,且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量.
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果;
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η,写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果.
解 (1)ξ可取0,1,2,3,4,5,表示5次罚球中分别命中0次,1次,2次,3次,4次,5次.
(2)η可取0,2,4,6,8,10,表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.
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5.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,不放回地从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为(　　)
A.1,2,3,…,6 B.1,2,3,…,7
C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5
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B 级 关键能力提升练
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6.(多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为(　　)
A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局平两局
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7.一用户在打电话时忘记了最后3个号码,只记得最后3个数两两不同,且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同),设他拨到正确号码前拨号的次数为X,随机变量X可能的取值有　　　　个.
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8.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯,ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数,写出ξ所有可能取值,并说明这些值所表示的试验结果.
解 ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.
{ξ=0}表示“第1盏信号灯就停下”;
{ξ=1}表示“通过了1盏信号灯,在第2盏信号灯前停下”;
{ξ=2}表示“通过了2盏信号灯,在第3盏信号灯前停下”;
{ξ=3}表示“通过了3盏信号灯,在第4盏信号灯前停下”;
{ξ=4}表示“通过了4盏信号灯,在第5盏信号灯前停下”;
{ξ=5}表示“在途中没有停下,直达目的地”.
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9.在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的样本点.
C 级 学科素养创新练
解 因为x,y的可能取值为1,2,3,
所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,
所以ξ的可能取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片号码为x,第二次抽到的号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为
{ξ=0}表示“两次抽到的卡片编号都是2,即(2,2)”,
{ξ=1}表示“(1,1),(2,1),(2,3),(3,3)”,
{ξ=2}表示“(1,2),(3,2)”,
{ξ=3}表示“(1,3),(3,1)”.
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