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(共46张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
2.了解贝叶斯公式.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　全概率公式
1.定义
当直接计算P(A)困难时,可先找出样本空间的一个划分

设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对任意一个事件A有P(A)= P(Bi)P(A|Bi).称上式为全概率公式.
如果我们把Bi看成导致事件A发生的各种可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们:事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均.
2.运用全概率公式的一般步骤如下:
(1)求出样本空间Ω的一个划分B1,B2,…,Bn;
(2)求P(Bi)(i=1,2,…,n);
(3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n);
(4)求目标事件的概率P(A).
名师点睛
全概率公式的直观解释
已知事件A的发生有各种可能的情形Bi(i=1,2,…,n),事件A发生的概率,就是各种可能情形Bi发生的概率与已知在Bi发生的条件下事件A发生的概率的乘积之和.在实际问题中,由于随机事件的复杂性,有时很难直接求得事件A发生的概率,因此我们可以分析事件A发生的各种可能情形,化整为零地去分解事件A,然后借助于全概率公式间接求出事件A发生的概率.
思考辨析
有三个不透明的盒子,分别编号为1,2,3,其中1号盒装有1个红球和4个白球,2号盒装有2个红球和3个白球,3号盒装有3个红球,这些球除颜色外完全相同,某人从中随机取一盒,再从中任意取出一球,求取得红球的概率.
提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得红球”,其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着B1,B2,B3之一同时发生,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两互斥,运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A),再对求和中的每一项运用乘法公式
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)全概率公式为概率论中的重要公式,它将对一个复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.(　　)
(2)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能,在这多种可能中,均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.(　　)
(4)全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率.(　　)
(5)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲,假设男人、女人各占一半,现随机地挑选一人,则此人恰是色盲的概率为0.052 5.(　　)
√
√
√
√
×
2.[人教A版教材习题]现有12道四选一的单选题,学生小君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.小君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.
3.[人教A版教材习题]甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱子中随机摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
知识点2　贝叶斯公式
设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则
,称上式为贝叶斯(Bayes)公式.
名师点睛
对贝叶斯公式的理解
P(B)是根据历史数据发现的,通常称为先验概率;获取了新信息后算出的概率P(B|A),通常称为后验概率.贝叶斯公式指出的是,通过先验概率以及其他信息,可以算出后验概率.实际上,贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因,看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少.
自主诊断
1.贝叶斯公式是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导致A发生的每个原因的概率吗
解 是.
2.[人教A版教材习题]两批同种规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取1件.
(1)求这件产品是合格品的概率;
(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批产品的概率(结果保留小数点后三位).
解 设事件B=“任取1件产品是合格品”,事件A1=“产品取自第一批”, 事件A2=“产品取自第二批”,则Ω=A1∪A2,且A1与A2互斥.
由题意得P(A1)=0.4,P(A2)= 0.6,P(B|A1)=0.95,
P(B|A2)=0.96.
(1)由全概率公式,得
P(B)= P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)= 0.4×0.95+0.6×0.96=0.956.
3.[人教A版教材习题]在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一个人.
(1)求这个人患流感的概率;
(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.
解 设A=“选取的人患流感”,用B1,B2,B3分别表示选取的人来自A,B,C地区,
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　全概率公式及其应用
【例1】 甲、乙、丙三人同时对无人机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.无人机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,无人机必定被击落,求无人机被击落的概率.
解 设B=“无人机被击落”,Ai=“无人机被i人击中”,i=1,2,3,则B=A1B+A2B+A3B,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,
由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3).
为求P(Ai),设H1=“无人机被甲击中”,H2=“无人机被乙击中”,H3=“无人机被丙击中”,
则P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7,
规律方法　用全概率公式求概率的规律方法
(1)实质:为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果.
(2)应用:把事件A看作某一过程的结果,把B1,B2,…,Bn看作该过程的若干个原因,根据所给资料,每一原因发生的概率(即P(Bn))已知,而且每一原因对结果的影响程度(即P(A|Bn))已知,则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(A)).
★变式训练1(1)已知有甲、乙、丙三个相同的盒子,其中甲盒中有1个白球、5个黑球,乙盒中有2个白球、4个黑球,丙盒中有1个白球、3个黑球,这些球除颜色外都相同,现从甲、乙、丙中任选一个盒子,从中取出1球恰为白球
的概率为　　　　　.
(2)设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3.从这10箱产品中任取一箱,再从这箱子中任取一件产品,求取得正品的概率.
解 设A为事件“取得的产品为正品”,
B1表示“任取一件产品是甲厂生产的”,B2表示“任取一件产品是乙厂生产的”,B3表示“任取一件产品是丙厂生产的”,
由题设知P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,
所以P(A)= P(Bi)P(A|Bi)=0.5×0.9+0.3×0.8+0.2×0.7=0.83.所以取得的产品为正品的概率是0.83.
探究点二　　贝叶斯公式及其应用
【例2】 甲、乙、丙三个地区暴发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为 若三个地区人口相近,现从这三个地区任意抽取一个人.
(1)求此人感染此病的概率;
(2)若此人感染此病,求此人来自乙地区的概率.
解 将甲、乙、丙三个地区依次编号为1,2,3,设Ai=抽取的人来自第i个地区,i=1,2,3;B=抽取的人感染此病.
规律方法　利用贝叶斯公式求概率的方法步骤
变式训练2一位教授去参加学术会议,他乘坐飞机、动车和汽车的概率分别为0.2,0.5,0.3,现在知道他乘坐飞机、动车和汽车迟到的概率分别为
(1)求这位教授迟到的概率;
(2)现在已经知道他迟到了,求他乘坐的是飞机的概率.
解 设事件A=“迟到”;B1=“乘飞机”;B2=“乘动车”;B3=“乘汽车”.
(1)所求概率为P(A),由全概率公式得P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]设A,B为两个事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则P(B| )=(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
C
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2. [探究点二]设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为 ,现从这10盒中任取一盒,则取得的这盒X光片是次品的概率为(　　)
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
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4. [探究点二]播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子.用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为　　　　　.
0.482 5
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解析 用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”.从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4,则P(A1)=95.5%,P(A2)=2%,P(A3)=1.5%,P(A4)=1%,P(B|A1)=0.5, P(B|A2)=0.15,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,
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5.[探究点一]甲袋中有3个白球,2个黑球,乙袋中有4个白球,4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取1球,则该球是白球的概率
为　　　　　.
解析 设A表示事件“从乙袋中取出的是白球”,Bi表示事件“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”,i=0,1,2.由全概率公式
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6. [探究点一]某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%,35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65,0.7和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.
解 设事件A1表示“药材来自甲地”,事件A2表示“药材来自乙地”,事件A3表示“药材来自丙地”,事件B表示“抽到优等品”;
P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.65,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.85,
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
=0.65×0.4+0.7×0.35+0.85×0.25=0.717 5.
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7.甲口袋中有3个红球,2个白球和5个黑球,乙口袋中有3个红球,3个白球和4个黑球,先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋,分别以A1,A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙口袋中随机取出一球,以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(　　)
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B 级 关键能力提升练
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8.(多选题)在一次对二年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现,上、下两学期成绩均得优的学生占5%,仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%,则(　　)
A.上、下两学期均未得优的概率约为0.95
B.上、下两学期均未得优的概率约为0.782
C.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为0.388
D.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为0.139
BC
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9.有两箱产品,甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
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(2)设事件A为“从乙箱中取出的1个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出的2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出的2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
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10.甲袋中有3个红球、2个白球和1个黑球,乙袋中有4个红球、1个白球和1个黑球(除颜色外,球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1球,分别以A1,A2,A3表示从甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件,以B表示从乙袋取出的球是红球的事件,则
P(B|A1)=　　　　　,P(B)=　　　　　.
C 级 学科素养创新练
解析 甲袋中有3个红球、2个白球和1个黑球,乙袋中有4个红球、1个白球和1个黑球.
先从甲袋中随机取出1球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1球,分别以A1,A2,A3表示从甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件,以B表示从乙袋
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