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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.
2.了解独立性与条件概率的关系.
3.会求相互独立事件同时发生的概率.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　乘法公式　　　条件概率定义的变形
由条件概率的定义P(B|A)= ,则有P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).①
同理,P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).②
称公式①②为乘法公式,利用它们可以计算　　　　　　　　　的概率.
两个事件同时发生
思考辨析
小刘在登录自己的邮箱时发现忘了密码的最后一位,只记得是数字0~9中的任意一个.那么当他在尝试登录时,第一次失败,第二次成功的概率是多少
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若P(A)≠0,则P(AB)=P(B|A)·P(A).(　　)
(2)一粒种子发芽的可能性是90%,而发芽后长成苗的概率为80%,则一粒种子长成苗的概率为72%.(　　)
√
√
2.[人教A版教材习题]从人群中随机选出1人,设B=“选出的人患有心脏病”,C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”,请你判断P(B)和P(C)的大小,并说明理由.
解 P(B)>P(C).理由:设A=“选出的人年龄大于50岁”,则C=AB.因为P(C)=P(AB)=P(B)P(A|B),而0≤P(A|B)<1,所以P(B)>P(C).
3.[人教A版教材习题]已知P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)=P(B),证明:P(A|B)=P(A).
知识点2　事件的独立性
定义
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件就叫作　　　　　　　　　　,两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=　　　　.
相互独立事件
P(A)P(B)
名师点睛
1.如果事件A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An),并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后,等式仍成立.
2.性质
(3)事件A,B相互独立的充要条件:事件A与事件B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
思考辨析
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗
提示 当有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事件A的发生不会影响事件B发生的概率.于是P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)P(AB)=P(BA).(　　)
(2)P(AB)=P(A)P(B).(　　)
(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.(　　)
√
×
√
2.下列说法正确的有　　　　.(填序号)
①对事件A和B,若P(B|A)=P(B),则事件A与B相互独立;
①②③
3.甲、乙两人各射击一次,他们各自击中目标的概率都是0.6,则他们都击中目标的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　
A.0.6 B.0.36 C.0.16 D.0.84
B
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　乘法公式及其应用
【例1】 一袋中装10个球,其中3个黑球、7个白球,这10个球除颜色外完全相同.先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率.
解 设事件Ai表示“第i次取到的是黑球”(i=1,2),则事件A1A2表示“两次取到的均为黑球”.
变式探究1在本例条件不变的情况下,求第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.
变式探究2在本例条件不变的情况下,求两次均取得白球的概率.
解 用Bi表示“第i次取得的是白球”(i=1,2),则B1B2表示“两次取到的均是白球”.
规律方法　乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法,即当直接计算P(AB)不好计算时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可.
变式训练1在10道题中有7道选择题和3道填空题,如果不放回地依次抽取
2道题,求两次都抽到选择题的概率.
探究点二　　事件独立性的判断
【例2】 某家庭中有若干名小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={某家庭中既有男孩又有女孩},B={某家庭中最多有一名女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)某家庭中有2名小孩;
(2)某家庭中有3名小孩.
分析利用相互独立事件的定义判断.
规律方法　判断两个事件是否相互独立的方法:
变式训练2判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)记事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
∴P(AB)=P(A)P(B),
∴事件A与B相互独立.即掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”是相互独立事件.
探究点三　　相互独立事件发生的概率
【例3】 甲、乙2个人独立地破译一个密码,已知他们能译出密码的概率分别为 ,求:
(1)2个人都译出密码的概率;
(2)2个人都译不出密码的概率;
(3)至多1个人译出密码的概率.
变式探究在本例条件下,求:
(1)恰有1个人译出密码的概率;
(2)至少1个人译出密码的概率.
解 (1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类,即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密码的概率为
(2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”,所以至少1个人译出密码的概率为
规律方法　1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
变式训练3(1)两人射击命中目标的概率分别为 ,现两人同时射击目标,则目标被命中的概率为　　　　　.
★(2)俗话说:三个臭皮匠顶个诸葛亮.在某次挑战大赛中,由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队,挑战“诸葛亮”,且每个“臭皮匠”解出题目是相互独立的.其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为0.5,0.48,0.45,而“诸葛亮”能答对该题目的概率是0.8.比赛规则:各个选手独立答题,不得商量,“臭皮匠”团队中只要1人答出该题即为挑战成功.
①求甲、乙二人中至少有一人解出题目的概率.你能得出什么结论
②求甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目的概率.你又能得出什么结论
②事件“甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目”可以表示为事件A∪B∪C,
因为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)P(B)P(C) =0.5+0.48+0.45-0.5×0.48-0.48×0.45-0.45×0.5+0.5×0.48×0.45=0.857,所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目的概率为0.857.
结论:因为0.857>0.8,所以三个“臭皮匠”解出题目的能力是可以超过“诸葛亮”的.
所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目的概率为0.857.
结论:因为0.857>0.8,所以三个“臭皮匠”解出题目的能力是可以超过“诸葛亮”的.
探究点四　　事件独立性的综合应用
【例4】 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解 如图所示,记“这段时间内开关KA,KB,KC能够闭合”分别为事件A,B,C.由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
变式探究1若将本例中的“并联”改为“串联”,求相应概率.
解 依题意可知所求事件的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7×0.7×0.7=0.73=0.343.
变式探究2本例中每个开关能够闭合的概率不变,求如图所示的线路正常工作的概率.
规律方法　概率问题中的数学思想
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P( )=1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件).
(3)方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解.
变式训练4甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次,已知甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率;
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1. [探究点三]一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为(　　)
A.1-a-b B.1-ab
C.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)
C
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2. [探究点二]下列事件中,A,B是相互独立事件的是(　　)
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
D.A表示“人能活到20岁”,B表示“人能活到50岁”
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C
解析 记事件A=“下雨”,事件B=“刮风”,AB=“刮风又下雨”,则
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4.[探究点三·教材改编]甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,则2人都射中的概率为(　　)
A.0.72 B.0.18
C.0.03 D.0.97
A
解析 设事件A为“甲射中目标”,事件B为“乙射中目标”,则P(A)=0.8,P(B)=0.9,两人都射中为事件AB,又因为A与B互相独立,故P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
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6. [探究点三]已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一
球,则两次都取到红球的概率是　　　　　.
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7.[探究点四]袋中装有4个红球,5个白球,从中不放回地任取两次,每次取
一球.
(1)求在第一次取出的是红球的条件下,第二次取出的也是红球的概率;
(2)求第二次才取到红球的概率.
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B 级 关键能力提升练
8.袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　)
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
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9.如图,A,B,C表示三个开关,设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,那么该系统正常工作的概率是(　　)
A.0.994
B.0.686
C.0.504
D.0.496
B
解析 A,B,C表示三个开关,
在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,
设事件A表示A开关正常工作,事件B表示B开关正常工作,事件C表示C开关正常工作,
则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,
当系统正常工作时,C正常工作且A,B至少有一个正常工作,C正常工作的概率为P(C)=0.7;
A,B至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,
所以这个系统正常工作的概率为P=0.7×0.98=0.686.
故选B.
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10.在某道路的A,B,C三处设有交通信号灯,这三处在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为(　　)
C
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ACD
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12.(多选题)在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现,上、下两学期成绩均得优的学生占5%,仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%,则(　　)
A.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为0.388
B.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为0.139
C.上、下两学期均未得优的概率约为0.782
D.上、下两学期均未得优的概率约为0.95
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13.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　.
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14.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人(相互独立)来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概
率为　　　　.
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15.现有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率.
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解 设事件A为“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”,事件B为“取出的两瓶中另一瓶是红色”,事件C为“取出的两瓶中另一瓶是黑色”,事件D为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥.
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C 级 学科素养创新练
16.某学校组织学习中华传统文化知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为 ;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为 .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大
(2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
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