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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过实例,了解离散型随机变量的含义.
2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.
3.会求简单的离散型随机变量的分布列.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　离散型随机变量
取值能够　　　　　　　　　　的随机变量称为离散型随机变量.
名师点睛
离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示;
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;
(3)试验之前不能确定取何值;
(4)试验结果能一一列出.
一一列举出来
思考辨析
离散型随机变量的取值必须是有限个吗
提示 不一定,离散型随机变量的取值可以一一列举出来,所取值可以是有限个,也可以是无限个.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.(　　)
(2)离散型随机变量的取值可以是某一区间内的任意值.(　　)
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2.[人教A版教材习题]在某项体能测试中,跑1 km时间不超过4 min为优秀.某位同学跑1 km所花费的时间X是离散型随机变量吗 如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩,应该如何定义随机变量
解 该同学跑1 km所花费的时间X不是离散型随机变量.如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩,可以定义如下的随机变量:
Y是离散型随机变量,
事件{Y=1}表示该同学跑1 km所花费的时间不超过4 min,能够取得优秀成绩;事件{Y=0}表示该同学跑1 km所花费的时间大于4 min,不能够取得优秀成绩.
知识点2　离散型随机变量的分布列
1.定义 即为随机变量取值及其相应概率的列表
若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①
①式也可以列成表,如表所示:
xi x1 x2 … xn …
P(X=xi) p1 p2 … pn …
上表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列.
如果随机变量X的分布列为上表或①式,我们称随机变量X服从这一分布列,记作
2.性质
(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
名师点睛
对于性质的理解
(1)pi表示的是事件X=xi发生的概率,因此每一个pi都是正数.
(2)因为分布列给出了随机变量能取的每一个值,而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的,所以p1+p2+…+pn+…=1.另一方面,由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
思考辨析
在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中,X表示向上的点数,X的取值有哪些 X取每个值的概率分别是多少
提示 列成表的形式
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.(　　)
(2)在离散型随机变量分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积.(　　)
(3)在离散型随机变量分布列中,取各个值的概率之和为1.(　　)
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
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√
√
2.[人教A版教材习题]篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他一次罚球得分的分布列.
解 设该运动员一次罚球得分为X,其分布列为
X 0 1
P 0.3 0.7
3.[人教A版教材习题]某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书,不再参加以后的考试,否则就继续参加考试,直到用完3次机会.小李决定参加考试,如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,且每次考试是否通过相互独立.试求:
(1)小李在一年内参加考试次数X的分布列;
(2)小李在一年内领到资格证书的概率.
解 (1)考试次数X的可能取值为1,2,3,且P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)×0.7 =0.28, P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)=0.12.
∴X的分布列为
X 1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
(2)P=0.6+0.28+0.12×0.8=0.976.
或P=1-0.4×0.3×0.2=0.976.
知识点3　伯努利试验与两点分布
若在某个试验中,每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.
如果随机变量X的分布列如表所示:
X 1 0
P p q
其中0思考辨析
若随机变量X的分布列为
X 1 2
P
那么X服从两点分布吗
提示 不服从两点分布,两点分布中X的取值只能是0,1.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)伯努利试验的结果只有两个,这两个结果互为对立事件.(　　)
(2)两点分布又称0—1分布或伯努利分布.(　　)
√
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2.已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　离散型随机变量的判定
【例1】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)某座大桥一天某个时段内经过的车辆数X;
(2)某超市5月份某天的销售额;
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ;
(4)长江某水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ.
解 (1)车辆数X的取值可以一一列出,故X为离散型随机变量.
(2)某超市5月份某天销售额取值可以一一列出,故为离散型随机变量.
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量.
(4)不是离散型随机变量.水位在(0,29]这一范围内变化,不能按次序一一列举.
规律方法　“三步法”判定离散型随机变量
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.
(2)由条件求解随机变量的值域.
(3)判断变量的取值能否被一一列举出来,若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.
变式训练1指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的
号码;
(2)一个袋中装有4个白球和3个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;
(3)某林场树木最高达30 m,此林场中树木的高度.

解 (1)只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,是离散型随机变量.
(2)从7个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,即所含白球的个数可以一一列出,是离散型随机变量.
(3)林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量.
【例2】 抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X,那么“X≤-4”表示的随机事件的结果不可能是(　　)
A.第一枚1点,第二枚4点
B.第一枚2点,第二枚6点
C.第一枚1点,第二枚5点
D.第一枚1点,第二枚6点
A
解析 抛掷两枚骰子,点数之差满足小于等于-4的只有三种情况:第一枚为1点、第二枚为6点;第一枚为1点、第二枚为5点;第一枚为2点、第二枚为6点.故选A.
变式探究例2中,如果掷出的点数之差的绝对值为随机变量X,X取值有哪些
解 X=0,1,2,3,4,5.
规律方法　关于离散型随机变量取值的意义
关键是明确随机试验产生随机变量的方法,就可以反推随机变量的取值对应的试验结果.这个试验结果对于求随机变量取值对应的概率至关重要.
变式训练2一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η是否为离散型随机变量.
解 (1)
ξ 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球,2个黑球 取得2个白球,1个黑球 取得3个白球
(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值为{0,1,2,3},所以η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值为6,11,16,21.其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.显然,η为离散型随机变量.
探究点二　　求离散型随机变量的分布列
【例3】 某班有学生45人,其中O型血的有15人,A型血的有10人,B型血的有12人,AB型血的有8人.将O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4,现从中抽1人,其血型编号为随机变量X,求X的分布列.
规律方法　求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义.
(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…).
(3)写出分布列.
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
变式训练3为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克),测量数据如下:
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
如果产品中的微量元素x,y满足x≥177且y≥79时,该产品为优等品.现从上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数X的分布列.
解 由题意,5件抽测品中有2件优等品,则X的可能取值为0,1,2.
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
探究点三　 分布列的性质及其应用
【例4】 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求:(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
解 由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,
∴m=0.3.
根据题意列表为
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
|X-1| 1 0 1 2 3
从而由上表得
(1)2X+1的分布列为
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X-1|的分布列为
|X-1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
规律方法　离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)通过性质建立关系,求得参数的取值或范围,进一步求出概率,得出分布列.
(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立.
变式训练4(1)已知离散型随机变量X的分布列为
则k的值为(　　)
B
(2)设随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X≥2)=　　　　.
解析由已知得随机变量X的分布列为
探究点四　　伯努利试验与两点分布
【例5】 袋内有10个白球,5个红球,两种球除颜色不同外均相同,从中摸出2个球,记 求X的分布列.
规律方法　两步法判断一个分布是否为两点分布
变式训练5若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 2a 3a
C
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1. [探究点一](多选题) 下列变量:
①某机场候机室中一天的旅客数量为X;
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X;
③某水电站观察到一天中长江的水位为X;
④某立交桥一天内经过的车辆数为X.
其中是离散型随机变量的是(　　)
A.①中的X B.②中的X
C.③中的X D.④中的X
BD
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2.[探究点一]已知在下列随机变量中:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射击手在一次射击中的得分X;
③一天内的温度X;
④在体育彩票抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是(　　)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④
B
解析 ①X的可能取值为0,1,2,所以X是离散型随机变量;
②X的可能取值为0,1,所以X是离散型随机变量;
③一天内的温度变化是连续的,所以X不是离散型随机变量;
④在体育彩票抽奖中,一次摇号产生的号码数是离散的,所以X是离散型随机变量.
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3. [探究点三]某科技小组有5名男生、3名女生,从中任选3名同学参加活动,若X表示选出女生的人数,则P(X=2)=　　　　　.
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解析由题意知所给分布列为
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5. [探究点三]若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)=　　　　.
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6.[探究点二·教材改编]口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出4个球,用X表示取出的最大号码,求X的分布列.
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B 级 关键能力提升练
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8.(多选题) 已知随机变量ξ的分布列如下,则实数a的值为(　　)
BC
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9.某校为缓解学生压力,举办了一场趣味运动会,其中有一个项目为篮球定点投篮,比赛分为初赛和复赛.初赛规则为:每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定为通过初赛,立即停止投篮,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现甲先在A处投一球,以后都在B处投,已知甲同学在A处投篮的命中率为 ,在B处投篮的命中率为 ,求他初赛结束后所得总分X的分布列.
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C 级 学科素养创新练
10.某公司某种新产品搞促销活动,规定如下:凡购买该产品一件及以上者,可掷两枚骰子,若两枚骰子向上的点数之和是3的倍数,则该购买者得1分,并被评为公司嘉宾,否则该购买者得0分.试求购买者得分X的分布列.
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解 两枚骰子向上的点数所有情况的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
故购买者得分X的分布列为

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