资源简介

(共52张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过实例,理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值,并能解决实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　离散型随机变量的均值
1.定义
设离散型随机变量X的分布列如表所示:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
求均值的关键是能正确地求出随机变量的分布列
2.意义
均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.
名师点睛
对离散型随机变量的均值的理解
(1)均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数.
(2)离散型随机变量的均值EX是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
(3)由离散型随机变量的均值的定义可知,它与离散型随机变量有相同的单位.
(4)若Y=aX+b(a,b是常数),X是随机变量,则Y也是随机变量,它们的分布列为
X x1 x2 … xn …
Y ax1+b ax2+b … axn+b …
P p1 p2 … pn …
于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEX+b,由此,我们得到了期望的一个性质:E(aX+b)=aEX+b.
思考辨析
某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对混合糖果定价才合理 假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记ξ为这颗糖果的单价(元/kg),你能写出ξ的分布列吗
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)随机变量X的均值EX是个变量,其随X的变化而变化.(　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.(　　)
(3)若随机变量X的均值EX=2,则E(2X)=4.(　　)
(4)对于结论E(aX+b)=aEX+b,当a=0时,Eb=b,即常数的均值就是这个常数本身.(　　)
×
×
√
√
2.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η=2ξ+5,则Eη等于(　　)
D
3.[人教A版教材习题]抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分X的均值.
解 X的分布列为
X -1 1
P 0.5 0.5
所求均值为EX=-1×0.5+1×0.5 =0.
4.[人教A版教材习题]甲、乙两台机床生产同一种零件,它们生产的产量相同,在1 h内生产出的次品数分别为X1,X2,其分布列分别为
甲机床次品数的分布列
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙机床次品数的分布列
X2 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好 请解释你所得出结论的实际含义.
解 甲机床的平均次品数EX1=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙机床的平均次品数EX2=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
由EX1=1,EX2=0.9可知,在1 h内,甲机床平均生产1个次品,乙机床平均生产0.9个次品,因此乙机床更好.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　求离散型随机变量的均值
★(2)[2021新高考Ⅰ,18]某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
①若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
②为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
规律方法　求离散型随机变量X的均值的步骤
变式训练1(1)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为　　　　.
★(2)盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有2节废电池.现在不放回地每次取1节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及
均值.
探究点二　　离散型随机变量均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X,则EY=　　　　.
变式探究本例条件不变,若ξ=aX+3,且Eξ=- ,求a的值.
规律方法　若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得Eξ.
变式训练2已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且Eη=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为(　　)
A
探究点三　　离散型随机变量均值的实际应用
【例2】 已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X,则EY=　　　　.
规律方法　1.实际问题中的期望问题
期望在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的期望来进行估计.
2.概率模型的三个解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的期望.
(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
变式训练3节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X(单位:束)服从如下表所示的分布:
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若进这种鲜花500束,则利润的均值为　　　　.
706　
解析 由分布列可以得到EX=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340(束),
则利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A 级 必备知识基础练
1.[探究点二]已知某一随机变量X的分布列如表所示,若EX=6.3,则a的值
为(　　)
X a 7 9
P b 0.1 0.4
A.4 B.5 C.6 D.7
A
解析 根据分布列的性质可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又因为EX=a×0.5+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.[探究点一]设随机变量X服从两点分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.4,则EX=(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
D
解析 由题意得P(X=1)+P(X=0)=1,又因为P(X=1)-P(X=0)=0.4,所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×0.7+0×0.3=0.7,故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3.[探究点二]设ξ的分布列如表所示,又设η=2ξ+5,则Eη等于(　　)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. [探究点一]一射手对靶射击,直到第一次命中或子弹用完为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,则停止射击后剩余子弹数目X的均值为(　　)
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. [探究点一]设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3, P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又因为X的均值EX=3,则a+b=　　　　.
解析 ∵P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,
∴EX=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,∴14a+6b=3.①
又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,
∴6a+3b=1.②
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.[探究点三]一个质地均匀的小正方体,在它的6个面中有三个面上标着数字1,另两个面上标着数字2,还有一个面上标着数字3,现将此正方体任意抛
掷2次,记向上的面上的数字之和为ξ,则Eξ=　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. [探究点三]现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击了一次,命中的概率为 ,命中得1分,没有命中得0分,他向乙靶射击了两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成了以上三次射击.
(1)求该射手恰好命中一次的概率;
(2)求该射手的总得分X的数学期望EX.
解 (1)恰好命中一次包含射击甲靶击中,射击乙靶不中和射击甲靶不击中,射击乙靶的两次中只击中一次,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B 级 关键能力提升练
8. [探究点三]若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率为 ,乙解出该题的概率为 ,设解出该题的人数为ξ,求Eξ.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则EX为(　　)
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.(多选题)已知随机变量X的分布列为
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若EX=7.5,则以下结论正确的是(　　)
A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9
BCD
解析 由分布列的性质,可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;又由EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,解得a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5,故C正确;又由E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.已知随机变量X的分布列如表:
若X的数学期望EX= ,则ab=　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.袋子里装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3只球,若用X表示取出的球的最大号码,则EX=　　　　　.
4.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13.现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=　　　　,Eξ=　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14.甲、乙、丙三人进行竞技类比赛,每局比赛三人同时参加,有且只有一个人获胜,约定有人胜两局(不必连胜)则比赛结束,此人直接赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,丙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解 (1)用A表示“甲在3局以内(含3局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,Ck表示“第k局丙获胜”,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C 级 学科素养创新练
15.某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如下表所示:
培训次数 1 2 3
参加人数 5 15 20
(1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率;
(2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望EX.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

展开更多......

收起↑