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(共47张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过具体实例,了解超几何分布的概念及其均值.
2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　超几何分布
1.定义
一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取　　(n≤N)件产品,用
X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k)=　　　　,max{0,n-(N-M)}
≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.
若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的　　　　　　　　.
n
超几何分布
名师点睛
对超几何分布的理解
(1)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成,如“男生,女生”“正品,次品”“优,劣”等;
(2)在产品抽样中,一般为不放回抽样;
(3)其概率计算可结合古典概型求得.
2.超几何分布的均值
一般地,当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为
思考辨析
已知在10件产品中有4件次品,分别采取有放回和不放回方式随机抽取3件,设抽取的3件产品中次品数为X,试写出当X=2时对应的概率.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)超几何分布的总体里只有两类物品.(　　)
(2)超几何分布的模型是放回抽样.(　　)
(3)超几何分布与二项分布的期望值都为p.(　　)
√
×
×
2.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为(　　)
D
解析 取出的红球个数服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.由超几何分布的概率公式,知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为
3.[人教A版教材习题]举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.
解 (1)假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼,其中鲤鱼200条,草鱼40条,从鱼池中任意取出5条鱼,这5条鱼中包含草鱼的条数X服从超几何分布.
(2)现有甲、乙两种品牌的电视机共52台,其中甲品牌有21台,从52台电视机中选出5台送给福利院,选出的甲品牌的电视机台数X服从超几何分布.(答案不唯一)
4.[人教A版教材习题]学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.
解 设选到的4人中甲班同学的人数为X,则X服从超几何分布,且N=12,M=4,n=4,
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　超几何分布的判断
【例1】 下列问题中,判断哪些属于超几何分布问题,并说明理由.
(1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的概率分布;
(2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的个数记为X,求X的概率分布;
(3)盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的概率分布;
(4)某班级有男生25人,女生20人,选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生人数记为X,求X的概率分布;
(5)现有100台手机未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的手机的个数记为X,求X的概率分布.
解 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征,样本都分为两类.随机变量X表示某类样本被抽取的件数,是超几何分布.
(5)中没有给出不合格品数,X不服从超几何分布.
规律方法　判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:(1)总体是否可分为两类明确的对象;(2)是否为不放回抽样;(3)随机变量是否为样本中一类个体的个数.
变式训练1下列随机变量中,服从超几何分布的有　　　　.(填序号)
①在10件产品中有3件次品,一件一件的不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X;
②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数;
③一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的次数为随机变量X.
①②
解析 根据超几何分布的定义可知①中随机变量X服从超几何分布.②中随机变量X服从超几何分布.而③显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布.
探究点二　　超几何分布的概率及其分布列
【例2】 袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从袋中随机抽取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球.
(1)求得分X的分布列;
(2)求得分大于6分的概率.
解 (1)从袋中任取4个球的情况为:1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红,共四种情况,得分分别为5分,6分,7分,8分,故X的可能取值为5,6,7,8.
变式探究在本例中,设X1为取得红球的分数之和,X2为取得黑球的分数之和,X=|X1-X2|,求X的分布列.
解 从袋中任取4个球的情况为
1红3黑,X1=2,X2=3,X=1;2红2黑,X1=4,X2=2,X=2;
3红1黑,X1=6,X2=1,X=5;4红,X1=8,X2=0,X=8.
规律方法　求超几何分布的分布列的步骤
变式训练2现有10张奖券,其中8张1元,2张5元,从中任取3张,求所得金额的分布列.
探究点三　　超几何分布的综合应用
【例3】 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列,并求EX.
规律方法　解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆公式.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
变式训练3[2024四川绵阳阶段检测]某班组织知识竞赛,题目共有10道,随机抽取3道让某人回答,规定至少要答对其中2道才能通过初试,已知他只能答对其中6道,试求:
(1)抽到他能答对题目数的分布列;
(2)他能通过初试的概率.
解 (1)设随机抽出的3道题目他能答对的道数为X,则X的取值为0,1,2,3,X服从超几何分布,
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点二](多选题)已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)= ,则这10件产品中的次品数可能为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
AD
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2. [探究点二]在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于 的是(　　)
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
C
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3. [探究点一](多选题) 袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则下列结论中正确的是(　　)
A.取出的白球个数X服从二项分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为
D.取出球总得分最大的概率为
BD
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4. [探究点二]盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于　　　　.
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5. [探究点二]数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是　　　　.
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6.[探究点三]某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及均值.
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(2)依据条件,随机变量X服从超几何分布,其中N=10,M=4,n=3,且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
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7.某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”,则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为
(　　)
B 级 关键能力提升练
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8.一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于 的是(　　)
A.P(0C.P(X=1) D.P(X=2)
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9.口袋中有相同的黑色小球n个,红、白、蓝色的小球各一个,从中任取4个小球.ξ表示当n=3时取出黑球的数目,η表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是(　　)
A.EξEη,DξC.EξDη D.Eξ>Eη,Dξ>Dη
A
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10.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取2个,则概率为 的事件是(　　)
A.没有白球
B.至少有一个白球
C.至少有一个红球
D.没有红球
B
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11.已知在12件产品中可能存在次品,从中抽取2件检测,设次品数为ξ.若P(ξ=1)= ,且该产品的次品率不超过40%,则这12件产品的次品率
为　　　　　.
25%　
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12.一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色有2个,其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球颜色相同的概率是　　　　　;若变量X为取出的三个小球中红球的个数,则X的均值EX=　　　　　.
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13.[2024山西大同月考]天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后,中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演,天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接.据航天科技集团五院的专家介绍,此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月,这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录.如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担,在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生.
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率;
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值.
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(2)由题意知所选的3名航天员中女航天员人数X服从参数N=7,M=3,n=3的超几何分布且X=0,1,2,3,
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C 级 学科素养创新练
14.某实验中学要从高二年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级6名选手,现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题.已知甲班级的6人中有4人可以正确回答这个问题,而乙班级6人中每人能正确回答这个问题的概率均为 ,甲、乙两班级每个人对问题的回答都相互独立.
(1)求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率;
(2)分别求甲、乙两个班级能正确回答这个问题的人数的均值EX,EY和方差DX,DY,并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.
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