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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过具体实例了解伯努利试验及n重伯努利试验,掌握二项
分布.
2.掌握二项分布及两点分布的期望与方差.
3.能用二项分布解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　n重伯努利试验
一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为　　　　　　　　.
n重伯努利试验
思考辨析
1.在体育课上,某同学做投篮训练,他连续投篮3次,每次投篮的命中率都是0.8,用X表示3次投篮投中的次数.若把每一次投篮看成做了一次试验,则每次试验有几个可能的结果
2.n重伯努利试验必须具备哪些条件
提示 有2种结果:投中(成功)与未投中(失败).
提示 (1)每次试验的条件完全相同,相同事件的概率不变;
(2)各次试验结果互不影响;
(3)每次试验结果只有两种,这两种结果是对立的.
自主诊断
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在n重伯努利试验中,各次试验结果之间相互独立.(　　)
(2)在n重伯努利试验中,各次试验成功的概率可以不同.(　　)
(3)在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生的概率相等.(　　)
√
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知识点2　二项分布　　　P(X=k)与二项式通项形式类似
一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为P(X=k)=　 (k=0,1,2,…,n).
若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的　　　　　　　,简记为　　　　　　.显然,　　　　　　　是二项分布在参数n=1时的特殊情况.设p+q=1,p>0,q>0,服从二项分布的变量X的分布列如下表所示.
二项分布
X~B(n,p)
两点分布
注意:上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
名师点睛
判断二项分布的关键点
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件:(1)对立性:在一次试验中,事件A与 发生与否必居其一.(2)重复性:试验可以独立重复地进行,且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p.(3)X的取值从0到n,中间不间断.
思考辨析
在知识点1的思考辨析1中,X=k(k=0,1,2,3)表示何意义 求P(X=2).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.(　　)
√
×
2.[人教A版教材习题]鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:
(1)没有鸡感染病毒的概率;
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.
解 设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X,则X~B(5,0.2).
3.[人教A版教材习题]判断下列表述正确与否,并说明理由:
(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(12,0.25);
(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中的次品数Y~B(6,0.1).
解 (1)正确.每道题猜对答案与否是独立的,且每道题猜对答案的概率为0.25,这是一个12重伯努利试验.
(2)错误.当有放回地抽取时概率不变,次品数服从二项分布;当不放回地抽取时,概率不等,次品数不服从二项分布.
知识点3　两点分布与二项分布的均值与方差
一般地,如果随机变量X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).特殊地,如果随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).
思考辨析
两点分布和二项分布有何关系
提示 两点分布是特殊的二项分布,即在X~B(n,p)中,当n=1时,二项分布便是两点分布,也就是说二项分布是两点分布的一般形式.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若随机变量X服从参数为0.5的两点分布,则EX=0.5,DX=0.25.(　　)
(2)若随机变量X~(n,p),EX=np,DX=p(1-p).(　　)
(3)若随机变量X~B(5,0.4),EX=2,DX=3.(　　)
√
×
×
2.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则Dξ=(　　)
A
3.[人教A版教材习题]抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数X的均值和方差.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　n重伯努利试验的概率
【例1】 (1)某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他连续射击三次,且他每次射击相互之间没有影响,有下列结论:
①他三次都击中目标的概率是0.93;
②他恰好在第三次击中目标的概率是0.9;
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1;
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是　　　　.(把正确结论的序号都填上)
①④
解析 三次射击是3重伯努利试验,故正确结论的序号是①④.
(2)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.
①求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率;
②求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
解 ①记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击3次,相当于3重伯努利试验.
变式探究在本例(2)②的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
规律方法　n重伯努利试验概率求法的三个步骤
变式训练1甲、乙两羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看做三次独立重复试验,若甲至少取胜一次的概率为 ,则甲恰好取胜一次的概率为(　　)
C
探究点二　　二项分布的概率及分布列
【例2】 一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个路口,假设他在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 .
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.
变式训练2现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人参加甲游戏,掷出点数大于2的人参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率.
(2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3+A4,
探究点三　　二项分布及两点分布的期望与方差
【例3】 某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望;
(2)求当重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.
解 (1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
则EX=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则EY=np=5×0.6=3.
X 0 1
P 0.4 0.6
规律方法　常见的两种分布的均值与方差
设p为一次试验中成功的概率,则
(1)两点分布EX=p,方差DX=p(1-p);
(2)二项分布EX=np,方差DX=np(1-p).计算时直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程.
变式训练3 (1)某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每坑需再补种2粒,每个坑至多补种一次,补种的种子数记为X,则X的数学期望为(　　)
A.100 B.200 C.300 D.400
B
解析 由题意可设,不发芽的种子数为Y,Y服从二项分布,即Y~B(1 000,0.1),所以不发芽种子数的数学期望为EY=1 000×0.1=100,所以补种的种子数X的数学期望为EX=E(2Y)=2EY=2×100=200.
★(2)已知甲、乙两人进行五局球赛,甲每局获胜的概率是 ,且各局的胜负相互独立.已知甲胜一局的奖金为10元,设甲所获得的奖金总额为X元,则甲所获得奖金总额的方差DX=(　　)
A.120 B.240
C.360 D.480
A
探究点四　　概率知识的综合应用
【例4】 [苏教版教材例题]设某保险公司吸收10 000人参加人身意外保险,该公司规定:每人每年付给公司120元,若意外死亡,公司将赔偿10 000元.如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006,那么该公司会赔本吗
规律方法　二项分布的实际应用问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量.
(2)判断随机变量是否服从二项分布.
(3)求出参数n和p的值.
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
变式训练4一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 .
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值;
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列;
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1. [探究点一]甲、乙两人各进行1次射击,若两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)
A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91
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2.[探究点一]某同学通过普通话二级测试的概率是 ,若该同学连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是(　　)
C
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5. [探究点二]下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数为(　　)
①某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ;
②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;
③从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数ξ;
④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数.
A.0 B.1 C.2 D.3
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解析 对于①,某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ~B(10,0.6),故①符合;对于②,对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ,每次试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,不是二项分布,故②不符合;对于③,虽然是有放回取球,但随机变量ξ的定义是直到摸出白球为止,即前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义,故③不符合;对于④,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率是不相等的,故ξ表示n次抽取中出现次品的件数不服从二项分布,故④不符合.
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6. [探究点三]已知随机变量ξ服从二项分布,ξ~B(6, ),则E(2ξ+3)=　　　,D(2ξ+3)=　　　.
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解析 ∵随机变量ξ服从二项分布,
则E(2ξ+3)=2Eξ+3=9,D(2ξ+3)=22×Dξ=6.
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7.[探究点三]盒中有大小相同的6个红球,4个白球,现从盒中任取1球,记住颜色后再放回盒中,连续摸取4次.设ξ表示连续摸取4次中取得红球的次数,
则ξ的均值Eξ=　　　　　.
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8. [探究点二]有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是p(01-(1-p)n
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9.[探究点四]某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是 ,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.
(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;
(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.
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10. [探究点四]一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓是否出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少
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解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有
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B 级 关键能力提升练
11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是
(　　)
A.0.216 B.0.36
C.0.432 D.0.648
D
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12.(多选题)抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1,P2,P3,P4,则下列结论中正确的是(　　)
A.P1=P2=P3=P4 B.P3=2P1
C.P1+P2+P3+P4=1 D.P4=3P2
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13.设随机变量X,Y满足:Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)= ,则DY=(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
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14.(多选题)某城镇小汽车的家庭普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是
(　　)
ACD
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15.一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数A=a1a2a3a4,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4)出现0的概率为 ,出现1的概率为 .若启动一次出现的数字为A=1 010,则称这次试验成功.若成功一次得2分,失败
一次得-1分,则54次这样的重复试验的总得分X的方差为　　　　　.
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16.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为　　　、　　　.
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17. 强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率均为 ;该考生报考乙大学,每门科目通过的概率依次为 ,m,其中0(1)若m= ,分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率;
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的均值为依据作出决策,当该考生更希望通过乙大学的笔试时,求m的取值范围.
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C 级 学科素养创新练
18.甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的概率相等.
(1)求乙以4比1获胜的概率;
(2)求甲获胜且比赛局数多于5局的概率.
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(2)记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.
因为甲以4比2获胜,表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第7局比赛,故甲以4比2获胜的概率为

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