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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义.
2.了解最小二乘法,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.
3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.
4.通过散点图观察变量间的相关关系,体会直观想象素养.
5.借助一元线性回归模型进行预测,增强数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线拟合
【问题思考】
1.表7-1-1是水稻亩产量与施化肥量的一组观测数据:
表7-1-1
施化肥量/kg 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量/kg 320 330 360 410 460 470 480
如果把施化肥量看作横坐标、水稻亩产量看作纵坐标.
(1)请在平面直角坐标系中画出上表中的点.
提示:如答图7-1-1.
答图7-1-1
(2)根据坐标系中点的分布,你能发现随着施化肥量的增加,水稻亩产量基本上呈什么趋势吗
提示:直线增长的趋势.
2.(1)散点图:每个点对应的一对数据 (xi,yi) ,称为成对数据.这些 点 构成的图称为散点图.
(2)曲线拟合:从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述,这样近似描述的过程称为曲线拟合.
(3)直线拟合:若在两个变量X和Y的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系,称之为直线拟合.
3. 下列图形中的两个变量,它们之间的关系可以用直线拟合的是(　　).
A　　　　　　B　　　　　　C　　　 　　D
解析:B中所有点看上去都在一条直线附近波动,故选项B可以用直线拟合.
答案:B
二、一元线性回归方程
【问题思考】
1.(1)最小二乘法:对于给定的两个变量X和Y,可以把其成对的观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示为平面直角坐标系中的n个点.现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个xi(i=1,2,…,n),由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望
[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2 +…+[yn-(a+bxn)]2 达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小,这个方法称为最小二乘法.
2. 若施化肥量X(单位:千克/亩)与水稻产量Y(单位:千克/亩)的回归方程为Y=250+5X,当施化肥量为80千克/亩时,预计水稻产量为亩产　　　　千克左右.(“亩”非国际通用单位,1亩≈666.7平方米)
解析:当X=80时,Y=250+400=650.
答案:650
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
√
×
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
直线拟合的判断
【例1】观察两个变量得如表7-1-2所示数据:
画出散点图,判断它们是否能用直线拟合.
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1
y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9
表7-1-2
分析:可设x为自变量,y为因变量,作出散点图直接判断.
解:由数据可得相应的散点图如答图7-1-2:
由散点图可知,所有点不在一条直线附近,故不能用直线拟合.
答图7-1-2
判断两个变量之间的关系能否用直线拟合,一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图,根据散点图很容易看出所有点是否在一条直线附近波动,进而判断出这两个变量之间的关系是否能用直线拟合.
【变式训练1】 5名学生的数学和物理成绩如表7-1-3:
表7-1-3
学生 A B C D E
数学成绩 80 75 70 65 60
物理成绩 70 66 68 64 62
画出散点图,并判断数学成绩和物理成绩之间近似地呈现什么关系.
解:以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图,如答图7-1-3.由散点图可知,数学成绩和物理成绩之间近似地呈线性关系.
答图7-1-3
探究二
求线性回归方程
【例2】 某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析,得表7-1-4所示数据:
(1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程;
(2)如果某学生的记忆力为9,请预测该学生的判断力是多少.
X 6 8 10 12
Y 2 3 5 6
表7-1-4
解:(1)画出散点图,如答图7-1-4.从散点图可以看出,表中的两个变量有近似的线性关系.
答图7-1-4
i xi yi xiyi
1 6 2 36 12
2 8 3 64 24
3 10 5 100 50
4 12 6 144 72
合计 36 16 344 158
故Y关于X的线性回归方程为Y=-2.3+0.7X.
(2)由Y=-2.3+0.7X知,当X=9时,Y=-2.3+0.7×9=4,故预测当学生的记忆力为9时,判断力为4.
1.本例条件不变,如果某学生的判断力为4,请预测该学生的记忆力是多少.
解:由Y=-2.3+0.7X知,当Y=4时,由4=-2.3+0.7X,解得X=9.
故预测当学生的判断力为4时,记忆力为9.
2.某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析,得到如表7-1-5所示数据:
通过分析可知X,Y有线性关系,且其线性回归方程为Y=0.7X-2.3,则实数m的值为　　　　　.
∴2+3+m+6=4×4,得m=5.
答案:5
X 6 8 10 12
Y 2 3 m 6
表7-1-5
求线性回归方程的步骤
(1)作出散点图,从散点图直观判断变量是否有线性关系.若没有,则说明两变量不线性相关,没有求方程的必要;若有,则继续下一步.
【变式训练2】 假设关于某设备的使用年限X(单位:年)和所支出的维修费用Y(单位:万元)有如表7-1-6的统计资料:
表7-1-6
使用年限X/年 2 3 4 5 6
维修费用Y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)画出散点图;
(2)求Y关于X的线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时的维修费用.
解:(1)作出散点图,如答图7-1-5.
答图7-1-5
(3)由线性回归方程Y=0.08+1.23X可知,当X=10时,Y=1.23×10+0.08=12.38(万元),
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
探究三
利用线性回归方程对总体进行估计
【例3】表7-1-7提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量X(单位:吨)与相应的生产能耗Y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:
(1)画出散点图;
(2)用最小二乘法求线性回归方程
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤.
表7-1-7
产量X/吨 3 4 5 6
生产能耗Y/吨标准煤 2.5 3 4 4.5
分析:(1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标,在平面直角坐标系内画散点图;
(2)应用计算公式求得系数 的值;
(3)实际上就是求当X=100时,对应的Y的值.
解:(1)画出散点图,如答图7-1-6.
答图7-1-6
(3)根据线性回归方程预测,现在生产100吨甲产品的生产能耗为0.35+0.7×100=70.35(吨标准煤),
故生产能耗降低了90-70.35=19.65(吨标准煤).
回归分析的三个步骤
(1)判断两个变量是否有线性关系,可以利用经验,也可以画散点图.
(2)求线性回归方程,注意运算的正确性.
(3)根据线性回归方程进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定的误差.
【变式训练3】某产品在某零售摊位的零售价X(单位:元)与每天的销售量Y(单位:个)的统计资料如表7-1-8所示:
表7-1-8
X 16 17 18 19
Y 50 34 41 31
答案:C
易错辨析
因对回归直线理解不清致误
【典例】 已知X,Y的取值如表7-1-9所示,由散点图分析可知Y与X线性相关,且线性回归方程为Y=0.95X+2.6,那么表格中的数据m的值为　　　　　.
表7-1-9
X 0 1 3 4
Y 2.2 4.3 4.8 m
错解:因为Y=0.95X+2.6,所以当X=4时,Y=0.95×4+2.6=6.4.
答案:6.4
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:注意线性回归方程并不是X与Y的函数关系,回归直线不一定过(4,m)这个样本点,因此必须利用样本点的中心求解.
答案:6.7
1.注意回归直线不一定经过某个样本点,但一定过样本点的中心
2.平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
随堂练习
1.已知变量X,Y之间具有近似的线性关系,其散点图如图所示,则其线性回归方程可能为(　　).
A.Y=1.5X+2
B.Y=-1.5X+2
C.Y=1.5X-2
D.Y=-1.5X-2
答案:B
(第1题)
2.已知X与Y之间的一组数据如下表:
X 0 1 2 3 4
Y 1 3 5 7 9
A.(1,2) B.(5,2)
C.(2,5) D.(2.5,5)
答案:C
3.（多选题）已知X与Y之间的几组数据如下表:
X 1 2 3 4 5 6
Y 0 2 1 3 3 4
答案:CD
4.有变量X与Y的统计数据如下:
X 2 3 4 5 6
Y 2 4 6 6 7
5.已知线性回归方程Y=3.2X+1.8,则当X=5时,Y的估计值为　　　　　.
解析:∵线性回归方程为Y=3.2X+1.8,∴当X=5时,Y=17.8.即当X=5时,Y的估计值为17.8.
答案:17.8
6.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,测得的数据如下:
零件数X/个 10 20 30 40 50
加工时间Y/分 62 68 75 81 89
(1)如果Y与X具有线性关系,求线性回归方程;
(2)根据(1)所求线性回归方程,预测此车间加工这种零件70个时,所需要的加工时间.

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