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(共67张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.借助频率分布直方图,了解正态分布的特征及均值、方差.
2.掌握正态分布的定义,会利用正态分布解决实际问题.
3.借助正态分布中的“3σ原则”计算正态分布X~N(μ,σ2)在某一区间内取值的概率.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　正态分布的概念及特点
1.概念 　　　　 　 与之前学过的离散型随机变量区分
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示,对应的分布
密度函数解析式为φμ, ,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为
参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称　　　　　　　　,对应的图象为正态分布密度曲线,简称　　　　　　.
正态分布
正态曲线
正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布,是刻画误差分布的重要模型,因此也称为　　　　　　　　.
如果随机变量X服从正态分布,记为　　　　　　　　　,其中EX=　　　,DX=　　　.
误差模型
X~N(μ,σ2)　
μ
σ2
2.特点
如果一个随机变量X服从正态分布,那么对于任何实数a,b(a思考辨析
1.正态分布函数中的μ,σ的含义是什么
2.频率分布直方图随着组距的增多其形状会越来越像一条钟形曲线,那么这条曲线是否存在函数解析式呢
提示 若X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2,其中μ反映随机变量取值的平均水平,σ衡量随机变量总体波动大小.
提示 存在.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)正态分布是对连续型随机变量而言的.(　　)
(2)正态分布密度函数中的参数μ和σ的意义分别是样本的均值和方差.
(　　)
√
×
2.[人教A版教材习题]举出两个服从正态分布的随机变量的例子.
解 答案不唯一.
(1)某地区16岁男孩的身高分布可以近似看成服从正态分布;
(2)某年某地区考生的高考成绩的分布近似看成服从正态分布.
知识点2　正态曲线的性质
正态曲线有如下性质:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,关于直线x=μ对称.
(3)曲线的最高点位于x=μ处.
(4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线(如图).
因为正态分布完全由μ和σ确定,所以正态曲线还具有下列特点:
(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
思考辨析
[人教A版教材习题]设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),画出正态分布密度曲线草图,你能指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系,以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系吗
提示
正态分布密度曲线草图如图所示.
∵X~N(0,22),
∴P(X≤-2)=P(X≥2),
∴P(X≤2)=1-P(X≥2)=1-P(X≤-2),
∴P(X≤-2)+P(X≤2)=1.
由图易知P(|X|>1)1),且P(|X|≤1)=1-P(|X|>1),P(|Y|≤1)=1-P(|Y|>1),故1-P(|X|>1)>1-P(|Y|>1),即P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)正态曲线是一条钟形曲线.(　　)
(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.
(　　)
(3)正态曲线可以关于y轴对称.(　　)
√
×
√
D
知识点3　正态分布的随机变量在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
1.三个常用概率值
如图,正态分布随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分的面积.特别地,P(μ-σP(μ-3σ0.682 6
0.954 4
0.997 4
2.3σ原则
随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有0.3%,通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的,认为是小概率事件.因此,在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值,并称之为3σ原则.
名师点睛
对小概率事件的正确理解
(1)小概率事件是针对“一次试验”来说的,如果试验次数多了,该事件当然是很有可能发生的;
(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时,也有0.3%犯错的可能.
思考辨析
如图,若服从正态分布的随机变量X在区间(μ+σ,+∞)内的概率为0.1,则在区间(μ-σ,μ+σ](σ>0)上的概率是多少
提示 0.8.
自主诊断
1.(多选题)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(105,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是(　　)(若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4)
A.该市学生数学成绩的期望为105
B.该市学生数学成绩的标准差为100
C.该市学生数学成绩及格率超过0.99
D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
AD
2.[人教A版教材习题]某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:
(1)165175.
解 ∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.
∴(1)P(165(3)P(X>175)=P(X≤165)≈0.158 7.
3.[人教A版教材习题]袋装食盐标准质量为400 g,规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格.假设误差服从正态分布,随机抽取100袋食盐,误差的样本均值为0,样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率.
解 设误差为X,由题意得X~N(0,4),
∴μ=0,σ=2,∴P(-4≤X≤4)≈0.954 4.
因此估计这批袋装食盐的合格率为95.44% .
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　正态分布的概念及正态曲线的性质
A.-2 B.0 C.1 D.2
D
★(2)如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的密度函数的解析式,求出随机变量的期望和方差.
规律方法　利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ,具体方法如下:
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象可求σ.
变式训练1(1)下列函数是正态分布密度函数的是(　　)
B
A.σ1>σ2>σ3
B.σ3>σ2>σ1
C.σ1>σ3>σ2
D.σ2>σ1>σ3
A
解析 由σ的意义可知,图象越“高瘦”,数据越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3.
探究点二　　服从正态分布的变量的概率问题
【例2】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ≤2)=(　　)
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
C
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,图象的对称轴是直线x=2.∵P(ξ<4)=0.8,
∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<ξ≤4)=0.6,∴P(0<ξ≤2)=0.3.故选C.
★(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1]上取值的概率.
解 由题意得μ=1,σ=2,
所以P(-1又因为正态曲线关于x=1对称,所以P(-1= P(-1规律方法　利用正态分布求概率的两个方法
变式训练2(1)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9<ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=　　　　.
0.3
解析 由P(9<ξ≤11)=0.4且正态曲线以ξ=10为对称轴知,P(9<ξ≤11)=2P(10<ξ≤11)=0.4,
∴P(10<ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.
★(2)设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X①求c的值;
②求P(-4解 ①由X~N(2,9)可知,正态分布密度函数图象关于直线x=2对称(如图所示),又P(X>c+1)=P(X故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.
②P(-4探究点三　　正态分布的实际应用
【例3】 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),已知该班同学中成绩在80~85分的有17人,该班成绩在90分以上的同学有多少人
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85.
∴成绩在(75,85]上的同学占全班同学的68.26%,成绩在[80,85]上的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学,则x·34.13%=17,解得x≈50.
∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
∴成绩在(70,90]上的同学占全班同学的95.44%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人.
规律方法　1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出.
2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
变式训练3某地高三学生有15 000名,在一次调研测试中,数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(80<ξ<120)=0.70,若以按成绩分层随机抽样的方式取100份试卷进行分析,则应从120分以上的试卷中抽取　　　份.
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解析 根据正态分布N(100,σ2),μ=100,P(80<ξ<120)=0.7,所以
根据分层随机抽样,可得120分以上抽取份数为100×0.15=15.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]如图所示是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(　　)
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
D
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2. [探究点二]在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115]内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该学生成绩高于115的概率为(　　)
A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5
C
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3. [探究点三](多选题) 已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量(单位:斤)分别服从正态分布 ,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.乙品种水蜜桃的平均质量μ2=0.8
B.甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
ABC
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4.[探究点二·2024重庆渝中月考]若随机变量X~N(10,22),则下列选项错误的是(　　)
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
D
解析 根据随机变量X~N(10,22)可知正态分布曲线的对称轴为X=10,均值为10,方差为4,所以P(X≥10)=0.5,故A正确;P(X≤8)+P(X≤12)= P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正确;P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),C正确; D(2X+1)=4DX=16,故D错误.
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5. [探究点三](多选题) 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是(　　)
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280]的概率是0.682 6,则红玫瑰日销售量的均值约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280,320]的概率约为0.341 3
ABD
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解析 μ+30=280,μ=250,A正确;
因为σ越小总体分布越集中,且30小于40,B正确,C不正确;
P(2801
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6.[探究点二]设随机变量X~N(3,1),若P(X>4)=p,则P(21-2p
解析 由X~N(3,1),得μ=3,所以P(3即P(21
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7. [探究点三]一年时间里,某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动,据统计,他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位:时)近似服从正态分布N(50,σ2),且P(301 500
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8.[探究点三]某工厂包装白糖的生产线,正常情况下包装出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位:g).
(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485 g的概率约为多少
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485 g,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理 请说明理由.
附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ1
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解 (1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为X g,由题意可知X~N(500,52).由于485=500-3×5,所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)= [1-P(500-3×5(2)检测员的判断是合理的.
因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于485 g的概率约为0.001 3×0.001 3=0.000 001 69=1.69×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.
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9.已知随机变量X~N(6,1),且P(5B
B 级 关键能力提升练
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10.某中学有2 000人参加2023年的市模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的 ,则此次数学考试成绩在105分到120分(含105分和120分)之间的人数约为(　　)
A.300 B.400
C.600 D.800
B
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11.[2024广东佛山月考]某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则EY=　　　　　.
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解析 由题意,X~N(800,σ2),所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X<800)=0.5,因为P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1,由题意,Y~B(10,0.1),所以EY=10×0.1=1.
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12.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率为　　　　　;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次参加考试的学生成绩特别优秀的概率为　　　　　.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ0.158 7
0.022 8　
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13.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10 000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:
第一段生产的半成品质量指标x x≤74或x>86 74第二段生产的成品为一等品概率 0.2 0.4 0.6
第二段生产的成品为二等品概率 0.3 0.3 0.3
第二段生产的成品为三等品概率 0.5 0.3 0.1
从第一段生产的半成品中抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图:
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、-100元.
(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;
(2)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;
(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80,22),且不影响产量.请你帮该公司做出决策,决定是否要购买该设备.说明理由.
(参考数据:P(μ-σP(μ-3σ1
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解 (1)平均值为72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.
(2)由频率分布直方图知,第一段生产的半成品质量指标
P(X≤74或X>86)=0.25,
P(74设生产一件产品的利润为X元,则
P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,
P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,
P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,
所以生产一件成品的平均利润是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),
所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.
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(3)需购买该设备.
因为μ-3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,设引入该设备后生产一件成品利润为Y元,
则P(Y=100)=0.002 6×0.2+0.314 8×0.4+0.682 6×0.6=0.536,
P(Y=60)=0.002 6×0.3+0.314 8×0.3+0.682 6×0.3=0.3,
P(Y=-100)=0.002 6×0.5+0.314 8×0.3+0.682 6×0.1=0.164,
所以引入该设备后生产一件成品平均利润为100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元),
所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元,增加收入55.2-30-20=5.2(万元),
综上,应该购买该设备.
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C 级 学科素养创新练
14.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
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解 (1)
=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,
s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.
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②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,
可得Z~B(20,0.226 6),
P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)
=1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.773 419
≈0.959 7.
∴Z的数学期望EZ=20×0.226 6=4.532.
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15.某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分),经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2),已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一位同学的概率;
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85)内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.
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解 (1)P(80P(85故所求概率P= 0.2×0.2×0.1=0.024.
ξ 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
Eξ=3×0.4=1.2.

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