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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.
2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验的基本思想.
3.通过对典型案例的分析,了解χ2统计量在两个变量的独立性检验中的应用.
4.通过理解独立性检验的思想,体现数学抽象素养.
5.通过计算χ2,加强数学运算素养.
自主预习 新知导学
独立性检验
【问题思考】
1.怎样判断事件A与事件B相互独立
提示:通过P(AB)=P(A)P(B)是否成立判断.
2.(1)2×2列联表:一张2行2列的表,在统计中称为2×2列联表.
(2)独立性检验的基本思想:设A,B为两个变量,每一个变量都可以取两个值,变量A:A1,A2= ;变量B:B1,B2= .得到如表7-3-1的数据:
A B 总计
B1 B2
A1 a b a+b
A2 c d c+d
总计 a+c b+d n=a+b+c+d
表7-3-1
②当χ2≤2.706时,没有充分的证据判断变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;
当χ2>2.706时,有90%的把握判断变量A,B有关联;
当χ2>3.841时,有95%的把握判断变量A,B有关联;
当χ2>6.635时,有99%的把握判断变量A,B有关联.
3.(1)表7-3-2是一个2×2列联表:
则表中a,b处的值分别为　 .
x y 总计
y1 y2
x1 a 21 73
x2 8 25 33
总计 b 46
表7-3-2
(2)根据表7-3-3计算(单位:人):
χ2≈　　　　　.(结果精确到0.001)
性别 看电视情况
不看电视 看电视
男 37 85
女 35 143
解析:(1)∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.
答案:(1)52　60　　(2)4.514
表7-3-2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)在独立性检验中,χ2越大,则两个变量有关系的可能性越大.(　　)
(2)2×2列联表是借助两个变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联.(　　)
(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的.(　　)
√
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
用2×2列联表分析两变量间的关系
【例1】 在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁及以上的有70人,六十岁以下的有54人.六十岁及以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主,另外27人则以肉类为主;六十岁以下的人中有21人的饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表,并利用
分析:利用相互独立事件同时发生的概率公式判断.
解:2×2列联表如下:
饮食情况 年龄 总计
年龄在六十岁以上B1 年龄在六十岁以下B2
饮食以蔬菜为主A1 43 21 64
饮食以肉类为主A2 27 33 60
总计 70 54 124
显然,29%≠35%,且这两个数相差较大,据此可以得出,饮食习惯与年龄有关的可能性较大.
1.作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误.
2.利用2×2列联表分析两变量间的关系时,首先要根据题中数据获得2×2列联表,然后用频率估计概率,利用相互独立事件的概率公式进行判断,直观地反映出两个变量间是否相互影响.
【变式训练1】 为了了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果如表7-3-4(单位:人):
表7-3-4
组别 尿棕色素 总计
阳性B1 阴性B2
铅中毒病人组A1 29 7 36
对照组A2 9 28 37
总计 38 35 73
试根据上面的数据分析铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系.
探究二
独立性检验的基本思想
【例2】 某校高三年级在一次全年级的大型考试中,数学成绩优秀和非优秀的学生中,物理、化学、总分也为优秀的人数如表7-3-5所示,试问:数学成绩优秀分别与物理、化学、总分优秀之间有关系吗
注:该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人,非优秀的有880人.
表7-3-5
数学成绩 物理成绩优秀 化学成绩优秀 总分优秀
优秀 228 225 267
非优秀 143 156 99
解:(1)依题意知,该问题是判断数学成绩优秀是否与物理成绩优秀有关、是否与化学成绩优秀有关、是否与总分优秀有关.根据已知数据列出2×2列联表如下:
∴b=360-228=132,d=880-143=737,b+d=132+737=869.
代入公式可得χ2≈270.114>6.635.
数学成绩 物理成绩 总计
优秀 非优秀
优秀 228 b 360
非优秀 143 d 880
总计 371 b+d 1 240
(2)按照上述方法列出数学与化学成绩的2×2列联表如下:
代入公式可得χ2≈240.611>6.635.
数学成绩 化学成绩 总计
优秀 非优秀
优秀 225 135 360
非优秀 156 724 880
总计 381 859 1 240
(3)列出数学与总成绩的2×2列联表如下:
代入公式可得χ2≈486.123>6.635.
因此有99%的把握判断数学成绩优秀分别与物理、化学、总分优秀有关.
数学成绩 总成绩 总计
优秀 非优秀
优秀 267 93 360
非优秀 99 781 880
总计 366 874 1 240
解独立性检验问题的基本步骤:
(1)认真读题,根据相关数据,得出2×2列联表;
(2)根据2×2列联表中的数据,计算χ2;
(3)将χ2的值与2.706,3.841,6.635进行比较;
(4)给出结论.
【变式训练2】 在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人;女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.试问:在天气恶劣的飞行航程中,晕机是否与性别有关
解:根据题意,列出2×2列联表如下:
乘客性别 是否晕机 总计
晕机 不晕机
男 24 31 55
女 8 26 34
总计 32 57 89
探究三
独立性检验的综合应用
【例3】 为了调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男、女生人数比随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩(均为整数)全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14),第二组[14,15),……第五组[17,18],按上述分组方法得到的频率分布直方图如图7-3-1.
图7-3-1
(1)设m,n表示样本中2名学生的百米测试成绩,已知m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m-n|>2”的概率;
(2)根据有关规定,成绩小于16秒为达标.若男、女生使用相同的达标标准,则男、女生达标情况如表7-3-6:
是否达标 性别 总计
男 女
达标 24 6 30
不达标 8 12 20
总计 32 18 50
试问:成绩达标与性别有关吗
表7-3-6
分析:识别频率分布直方图 计算χ2 作出判断.
1.在判断两个变量关系的可靠性时一般利用统计量χ2,把计算出的χ2的值与2.706,3.841,6.635三个值作比较,确定出有多大把握判断两个变量有关.
2.当χ2≤2.706时,认为变量A,B是没有关联的;当χ2>2.706时,有90%的把握判断变量A,B有关联;当χ2>3.841时,有95%的把握判断变量A,B有关联;当χ2>6.635时,有99%的把握判断变量A,B有关联.
【变式训练3】 随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n个人,其中男性占调查人数的 .已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性中只有 的人的休闲方式是运动.
(1)完成如表7-3-7所示的2×2列联表:
表7-3-7
(2)若有95%的把握判断性别与休闲方式有关,则本次被调查的人数至少有多少
性别 运动情况 总计
运动 非运动
男
女
总计 n
解:(1)补全2×2列联表如下:
易错辨析
记错2×2列联表中字母的位置致误
【典例】 有甲、乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后,得到如表7-3-8所示的列联表(单位:人):
表7-3-8
班级 考试成绩 总计
优秀 不优秀
甲班 10 35 45
乙班 7 38 45
总计 17 73 90
试问能有多大把握认为“成绩与班级有关”
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:由于对2×2列联表中a,b,c,d的位置不清楚,在代入公式时代错了数值导致计算结果错误.
1.记准2×2列联表中a,b,c,d的位置,以及χ2的计算公式
2.平时学习时一定要对每一个公式中的字母理解透彻.
【变式训练】 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校大一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表7-3-9所示(单位:人):
表7-3-9
大一学生 是否喜欢甜品 总计
喜欢甜品 不喜欢甜品
来自南方 60 20 80
来自北方 10 10 20
总计 70 30 100
根据表中数据,试问:南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异吗
因为4.762>3.841,所以有95%的把握判断南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.
随堂练习
1.在研究打鼾与患心脏病之间的关系时,通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且有99%的把握认为这个结论是成立的.下列说法正确的是(　　).
A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B.1个人患心脏病,则这个人有99%的概率打鼾
C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
解析:这是独立性检验,有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”.这只是一个概率,即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
答案:D
2.假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表如下:
X Y
y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
则当m取下面何值时,X与Y的关系最弱 (　　)
A.8 B.9 C.14 D.19
解析:χ2越小,X与Y的关系越弱,由10×26=18m,解得m≈14.4,所以当m=14时,X与Y的关系最弱.
答案:C
答案:BD
4.下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表(单位:人):
性别 出生时间 总计
晚上 白天
男婴 45 A B
女婴 E 35 C
总计 98 D 180
那么,A=　　　　　,B=　　　　　　,C=　　　　　,D=　　　　　,
E=　　　　　.
答案:47　92　88　82　53
5.某组织对男、女青年是否喜欢看体育比赛进行了一个调查,调查者随机调查了110名青年,得到如下列联表(单位:人):
性别 是否喜欢看体育比赛 总计
喜欢看 不喜欢看
女 10 30
男 70 80
总计 20 110
将表格填写完整,试问:喜欢看体育比赛是否与青年的性别有关
解:将列联表补充完整如下:
性别 是否喜欢看体育比赛 总计
喜欢看 不喜欢看
女 10 20 30
男 10 70 80
总计 20 90 110

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