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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.会用直线的方向向量与平面的法向量解题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线的方向向量与直线的向量表示
1.直线的方向向量
如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称 为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知:这些方向向量都平行,因此与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.
2.直线l的向量表示
已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得 =ta.
反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.
思考辨析
1.在空间中,如何用向量表示一个点


2.在空间中,怎样可以确定一条直线
提示 两点可以确定一条直线;直线上的一个定点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线的方向向量是唯一的.(　　)
(2)若两直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.(　　)
(3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量.(　　)
×
√
×
2.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则(　　)
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线AB的一个方向向量为(0,0,1)
C.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
D.直线B1D的一个方向向量为(1,1,1)
AC
3.[人教A版教材习题]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
,O是BD1与B1D的交点.以{a,b,c}为空间的一组基,求直线OA的一个方向向量.
知识点2　平面的法向量及其应用
1.平面法向量的定义
我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α.
2.平面的向量表示式
如图,设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,必有 ·n=0.此式称为平面α的一个向量表示式.
　
平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
思考辨析
1.给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,给定一点和一条直线后,能否确定过此点和这条直线垂直的平面
2.空间中两条直线a,b,若a∥b且a⊥α,则b与α的位置关系是什么
提示 能,并且此平面是唯一的.
提示 b⊥α.反之,若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)平面的法向量是唯一的.(　　)
(2)若向量n1,n2为平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.(　　)
×
×
2.[人教B版教材习题]设n1,n2分别是空间中两个不重合的平面α,β的法向量,分别根据下列条件判断平面α,β的位置关系.
(1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6);
(2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9).
解 (1)∵n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6)=-3(-2,1,2)=-3n1,∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β 不重合).
(2)∵n1=(1,2,3),n2=(3,6,9)=3(1,2,3)=3n1,
∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).
3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面A1BC的法向量.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　直线的方向向量及其应用
【例1】 (1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=　　　　　,y=　　　　　.
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规律方法　1.应注意直线的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.
2.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.
变式训练1(1)设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
解析 因为l1⊥l2,所以a⊥b,则a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6-2m=0,解得m=2.故选B.
证明 如图,连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点,
又M是PC的中点,
∴MO∥AP.
∵MO 平面BDM,AP 平面BDM,∴AP∥平面BDM.
∵AP 平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,
∴AP∥GH,
探究点二　　平面的法向量及求法
【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
变式探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗 它们之间的关系如何
解 如同例2建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
规律方法　1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
2.求平面法向量的三个注意点
(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.
(2)取特值:在求法向量的坐标时,可令x,y, z中一个取特殊值,得另两个值,就是平面的一个法向量.
(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时,一定要注意这个坐标不为0.
★变式训练2
[人教B版教材例题]如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中, O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0,求平面ABC的一个法向量.
探究点三　　证明平面的法向量
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:
是平面ADE的法向量.
证明 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则
规律方法　用向量法证明平面法向量的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两次线线垂直.
变式训练3
如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD, AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
求证:BC⊥平面BDE.
证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED, ED 平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD.
以点D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),
探究点四　平面方程的应用
【例4】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=1,AD=2,AA'=3.
(1)在四边形BCC'B'内及其边界上是否存在一点N,使得AN⊥平面A'BD
(2)求证:AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.
(1)解 以点A为坐标原点,直线AB,AD,AA'分别为x轴、
y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.
则B(1,0,0),D(0,2,0),A'(0,0,3).
代入方程①检验可知,点E的坐标满足平面A'BD的方程,
所以AC'的三等分点E在平面A'BD内,
即AC'与平面A'BD的交点是线段AC'的三等分点.
规律方法　1.求过点M(x0,y0,z0)的平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n=(A,B,C),然后利用A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0可得.
2.利用直线的向量表示与平面的方程可求出直线与平面的交点坐标.
变式训练4设经过原点的平面α的一个法向量为n=(6,3,2).
(1)求平面α的方程;
(2)若A(a,a,a),C(a,2,3)两点不在平面α内,直线AC与平面α的交点为E,且
解 (1)设平面内任一点坐标为(x,y,z),
则平面α的方程为6x+3y+2z=0.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(2,1,1) B.(-2,2,2)
C.(-3,2,1) D.(2,1,-1)
B
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2. [探究点二]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)
D
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B
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4. [探究点一]已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　)
D
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6. [探究点三]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1= ,AD=2 ,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系是　　　　　.
PM⊥AM
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解析 以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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7.[探究点四]已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则平面α的方程是　 .
x+2y-3z=0　
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8.[探究点二]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
求:(1)平面ABB1A1的一个法向量;
(2)平面MBD1的一个法向量.
解 (1)因为x轴垂直于平面ABB1A1,所以n1=(1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量.
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证明 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
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10.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为(　　)
A.-1,2 B.1,-2
C.1,2 D.-1,-2
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11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是(　　)
ABC
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12.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1= .平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为(　　)
A.(0,1,1)
B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1)
D.(-1,-1,1)
C
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14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　　　　　.
x-y+2z+1=0
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15.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,则点D的坐标为　　　　　.
(2,0,5)　
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16.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点,则直线OA的一个方向向量为　　　 　　,点P的坐标满足的条件为　　　　　.
(1,1,1)(答案不唯一)　
x+y+z=3
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17.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在PB上,问点F在何位置时, 为平面DEF的一个法向量
解 以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),
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18.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.
解 以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
根据题意可设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),
C 级 学科素养创新练
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