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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.
4.理解空间两个向量夹角的定义.
5.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　空间向量的定义及相关概念
1.定义　
任意一个空间向量都包括大小和方向两个要素,有关概念可类比平面向量而得
在空间中,我们把具有　　 　和　 　　的量叫作空间向量,向量的大小叫作向量的　　　　　　　　.
2.空间向量及其模的表示方法
空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量　　　　,其模用|a|或 表示.
大小
方向
长度或模C
3.空间向量的相关概念
名称 概念
零向量 模为0的向量 起点与终点相同的向量
相等向量 方向　　　　　且模　　　　　的向量
相反向量 方向　　　　　且模　　　　　的向量
共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量)
共面向量 把平行于同一平面的向量叫作共面向量
相同
相等
相反
相等
名师点睛
1.空间向量有大小和方向,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空间中平移.
2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
思考辨析
1.跳伞运动员在降落过程中受到来自不同方向,大小各异的力,如绳索的拉力、风力、重力等,这些力在同一平面内吗 在数学上,我们怎样表示这些力
提示 这些力不在同一平面内.在数学上,我们用空间向量表示这些力.
2.空间中任意两个向量共面吗 空间中任意三个向量呢
提示 空间中任意两个向量都是共面的,但空间中任意三个向量不一定
共面.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)零向量与任意向量平行.(　　)
(2)在表示空间向量时,表示该向量的有向线段的起点可任意选取.(　　)
√
√
√
×
2.[人教A版教材习题]举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.
3.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E, F分别为棱AA',AB的中点.
(1)写出与向量 相等的向量;
(2)写出与向量 相反的向量;
(3)写出与向量 平行的向量.
知识点2　
空间向量
的运算
空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算,向量λa的长度和方向满足:
(1)|λa|=　　　　　;
(2)当λ>0时,向量λa与向量a方向　　　　　;当λ<0时,向量λa与向量a方向　　　　　;当λ=0时,λa=　　　　　
运算律 (1)交换律:a+b=b+a
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
λ(μa)=(λμ)a
(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb
其中λ∈R,μ∈R
|λ||a|
相同
相反
0
思考辨析
涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用
提示 适用.
自主诊断
3.[人教A版教材习题]如图,已知在四面体ABCD中, E,F分别是BC,CD的中点.化简下列表达式,并在图中标出化简结果:
知识点3　共线向量基本定理
定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)
思考辨析
共线向量基本定理中的限制条件是什么 为什么
提示 共线向量定理中限制条件b≠0,即若b=0,a≠0时,实数λ不存在.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)空间向量a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(　　)
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　　)
×
×
2.[人教A版教材习题]证明:如果向量a,b共线,那么向量2a+b与a共线.
证明 由向量a,b共线,若a为零向量,则结论成立;
若a为非零向量,则存在实数λ,使b=λa,从而2a+b=(2+λ)a.
综上,向量2a+b与a共线.
知识点4　空间向量的夹角
当= 时,称向量
a与b　　　　,记作a⊥b.
非零
∠AOB

[0,π]
垂直
名师点睛
对空间两个向量夹角的理解,应注意以下几点:
(1)由概念知两个非零向量才有夹角,零向量与其他向量之间不定义夹角,并约定0与任意向量a(a≠0)都垂直.
(2)对空间任意两个非零向量a,b,有:
①==<-a,-b>=<-b,-a>;
②=<-a,b>=π-.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
√
×
2.[人教A版教材习题]证明:如果向量a,b共线,那么向量2a+b与a共线.
知识点5　空间向量的数量积
已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos. 规定零向量与任意向量的数量积为0
与平面向量类似,空间向量的数量积也是一个实数,容易得到以下结论:
(1)cos= (a≠0,b≠0);　　　　求向量夹角
求向量长度
(3)a⊥b a·b=0.　　　垂直的判断方法
与平面向量类似,空间向量的数量积运算也满足如下运算律:
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;
(3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
自主诊断
1.[人教A版教材习题]如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于m,E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点.求:
2.[人教A版教材习题]如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与BC1所成角的大小为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
B
3.[人教A版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3, AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求:
(1) ;(2)AB'的长;(3)AC'的长.
知识点6　投影向量与投影数量
1.投影向量
在平面向量中已经学习过一个向量在另一个向量方向上的投影向量及投影数量,因为任意两个空间向量一定是共面向量,所以可以把上述概念直接推广到空间向量.
当为锐角时,|b|cos>0(如图(1));
当为钝角时,|b|cos<0(如图(2));
当= 时,|b|cos=0(如图(3)).
2.投影数量
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为 =|b|cosa0.
因此,称|b|cos为投影向量 的数量,简称为向量b在向量a方向上的投影数量.
结合空间向量数量积的定义可知:向量b在向量a方向上的投影数量为
自主诊断
1.已知|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的投影数量等于(　　)
A.2
B.120°
C.-1
D.由向量b的长度确定
C
2.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影数量为　　　　　　.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　空间向量及相关概念的理解
【例1】 下列命题中,真命题的个数是　 .
①有向线段就是向量;
②有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大;
1
解析 ①我们只是借助有向线段来表示向量,但并不是说有向线段就是向量,所以①是假命题;②由于我们用有向线段的方向表示向量的方向,用有向线段的长度表示向量的模,所以②是真命题;③向量的模为非负实数,能比较大小,但向量只有相等不相等之分,不能比较大小,所以③是假命题.
规律方法　1.解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
(2)注意点:
①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的.
②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.
③两个向量模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.
2.由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.
变式训练1下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同
D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c
B
解析 两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.
探究点二　　空间向量的线性运算
【例2】 [人教B版教材习题]已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a+b-c
B
规律方法　空间向量线性运算的技巧和思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
(2)化简空间向量的常用思路
①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.
②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).
变式训练2如图所示,已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设
探究点三　　共线向量基本定理及其应用
分析可通过证明 共线来证明E,F,B三点共线.
规律方法　利用空间向量共线定理可解决的主要问题
(1)判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.
(2)求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.
(3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:
变式训练3
如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断 是否共线.
探究点四　　求空间向量的数量积
【例4】 如图所示,已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:
规律方法　空间向量运算的方法与步骤
变式训练4如图,在三棱锥O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2, OC=3,点G为△ABC的重心,则
探究点五　利用数量积求夹角
【例5】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,求:
分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移,与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos,求出cos= 的值,然后确定的大小.
规律方法　求两个非零向量夹角的两个途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;
(2)利用数量积求夹角:运用公式cos= 进行求解.
变式训练5(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为
(　　)　　　　 　　　　 　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
C
解析 设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos θ+|b|2=0.
又因为|a|=|b|,所以cos θ=- ,所以θ=120°.
(2)已知正四面体OABC的棱长等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量 与向量 夹角的余弦值为　　　　　.
探究点六　投影数量与投影向量
【例6】 已知非零向量a,b满足|a-b|=|a+b|,且|a|=1,|b|= ,c=2a-b,则a在c方向上的投影数量为(　　)
A
解析 ∵|a-b|=|a+b|,
∴|a-b|2=|a+b|2,∴a·b=0.
又|a|=1,|b|= ,c=2a-b,
设a和c的夹角为α,
变式训练6已知非零向量a,b满足|a|=4,|b|=2,且a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量相等,则|a-b|等于(　　)
B
解析 因为a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量相等,设这两个向量的夹角为θ,
学以致用·随堂检测促达标
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A
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2.(多选题)下列命题中,真命题是(　　)
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
ABC
解析 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.
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3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
B
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4.设e1,e2是空间两个不共线的向量,若
且A,B,D三点共线,则实数k=　　　　　.
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