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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性.
2.能用空间直角坐标系刻画点的位置.
3.借助长方体顶点的坐标探索并得出空间两点间的距离公式.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　空间直角坐标系的建立
过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴,通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向,我们也称这样的坐标系为右手系.
在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合
思考辨析
1.在数轴上确定点的位置需要几个实数
在平面直角坐标系中确定一个点需要几个实数
提示 在数轴上,一个实数确定一个点的位置;在平面直角坐标系中,需要一个有序实数对(x,y)才能确定一个点.
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,那么x轴、y轴、z轴应如何选取
提示
自主诊断
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在空间直角坐标系O-xyz中,只要满足x轴、y轴、z轴互相垂直,它们的顺序可以互相交换.(　　)
(2)在空间直角坐标系O-xyz中,三个坐标平面互相垂直.(　　)
×
√
知识点2　空间直角坐标系中点的坐标的确定方法
如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点,那么如何刻画它的位置呢
类比平面上点的坐标的确定方式,可以先作出点P在三条坐标轴上的投影,再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图,当点P不在任何坐标平面上时,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C,则点A,B,C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a,b,c,那么点P就对应唯一的三元有序实数组(a,b,c).
点P与三元有序实数组是一一对应关系.P (a,b,c)
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,
z叫作点P的竖坐标.
名师点睛
与平面直角坐标系内点的坐标的确定过程进行比较,讨论空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
在空间直角坐标系O-xyz中,三个非零向量a,b,c分别平行于x轴、y轴、z轴,它们的坐标各有什么特点
提示 平行于x轴的向量a与yOz平面垂直,其横坐标不为0,其纵坐标和竖坐标为0.
平行于y轴的向量b与zOx平面垂直,其纵坐标不为0,其横坐标和竖坐标为0.
平行于z轴的向量c与xOy平面垂直,其竖坐标不为0,其横坐标和纵坐标为0.
思考辨析
自主诊断
1.[人教A版教材习题]在空间直角坐标系中标出下列各点:
A(0,2,4),B(1,0,5),C(0,2,0),D(1,3,4).
解 如图所示.
2.[人教A版教材习题]在空间直角坐标系O-xyz中,
(1)哪个坐标平面与x轴垂直 哪个坐标平面与y轴垂直 哪个坐标平面与z轴垂直
(2)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标.
解 (1)与x轴垂直的坐标平面是yOz平面,与y轴垂直的坐标平面是zOx平面,与z轴垂直的坐标平面是xOy平面.
(2)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标为(-1,-3,-5).
知识点3　空间两点间的距离公式
1.在空间中,点P(x,y,z)到坐标原点O的距离

　　　　　　可转化为长方体对角线的长度
2.已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为
.这就是空间两点间的距离公式.
名师点睛
在空间直角坐标系中,若点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则线段AB的中点坐标是
思考辨析
1.类比平面直角坐标系中,三角形的重心坐标公式,在空间直角坐标系中,三角形的重心坐标公式是什么
2.方程x2+y2+z2=1表示的几何图形是什么
提示 方程x2+y2+z2=1表示以原点为球心,1为半径的一个球面(如图),
自主诊断
1.[人教A版教材习题]先在空间直角坐标系中标出A,B两点,再求它们之间的距离:
(1)A(2,3,5),B(3,1,4);
(2)A(6,0,1),B(3,5,7).
解 (1)如图所示,标出A(2,3,5).在x轴上取OC=2,在y轴上取OD=3,在z轴上取OE=5,分别以OC,OD,OE为相邻的三条棱,作长方体OCA1D-EC1AD1,则点A(2,3,5).同理可标出B(3,1,4).
2.[人教A版教材习题]已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),求 ,线段AB的中点坐标及线段AB的长.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　求空间点的坐标
【例1】 (1)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标.
解 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,E点在平面xDy中,且|EA|= .
★(2)建立适当的坐标系,写出底面三角形边长为2,高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.
解 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,以BC的中点O为坐标原点,BC所在的直线为y轴,以射线OA所在直线为x轴,在平面BCC1B1中,过点O作BC的垂线,以这条垂线为z轴,建立空间直角坐标系.
由题意知,AO= ,从而可知各顶点的坐标分别为A( ,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1( ,0,3), B1(0,1,3),C1(0,-1,3).
规律方法　(1)空间中点的坐标与空间直角坐标系是相对的,要根据立体图形的特点尽可能建立简便的空间直角坐标系.(2)尽可能方便地将点的坐标表示出来.(3)中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用.
变式训练1
(1)正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,点P在线段BD'上,且|BP|= |BD'|,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P的坐标为(　　)
D
解析 如图所示,过点P分别作平面xOy和z轴的垂线,垂足分别为点E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为点F,G,
★(2)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5 ,侧棱长为13,建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解 如图①所示,以正方形ABCD的中心O为坐标原点,以在平面ABCD内过点O且垂直于AB的直线为x轴,垂直于BC的直线为y轴,以直线OP为z轴,建立空间直角坐标系.
图①
如图②所示,连接AC,BD相交于点O,连接OP,易知直线AC,BD,OP两两垂直.以O为坐标原点,以直线OA为x轴,直线OB为y轴,直线OP为z轴,建立空间直角坐标,各顶点的坐标分别为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).显然因建系不同,点的坐标不同.
图②
探究点二　　已知点的坐标确定点的位置
【例2】 在空间直角坐标系O-xyz中,作出点M(2,-6,4).
解 要作出点M(2,-6,4),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α,过y轴上坐标为-6的点D作垂直于y轴的平面β,根据几何知识可以得出:这两个平面的交线就是经过点M'(2,-6,0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为4的点A'作垂直于z轴的平面γ,那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α,β,γ的交点,就是点M,图略.
变式探究在空间直角坐标系O-xyz中作出点M(2,3,4).
解 如图,在xOy平面内确定点M1(2,3,0),作M1M平行于z轴,在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|=4,则点M的坐标为(2,3,4).
规律方法　1.先确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.
2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.
探究点三　　求空间某对称点的坐标
【例3】 求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
解 如图所示,过点A作AM⊥平面xOy于M,并延长到C,使|AM|=|CM|,则点A关于坐标平面xOy的对称点为C(1,2,1).过点A作AN⊥x轴于点N,并延长到点B,使|AN|=|NB|,则点A关于x轴的对称点为B(1,-2,1),
∴A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1);A(1,2,-1)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,1).
规律方法　空间直角坐标系O-xyz中一点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点:
变式训练2(1)关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3),有下列说法:①点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3);②点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,-2,-3);③点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3).其中正确说法的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
B
解析 对于①,点P关于x轴对称后,其横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故①错误;对于②,点P关于坐标原点对称后,其横坐标、纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数,所以点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故②错误;对于③,点P关于xOy平面对称后,其横坐标和纵坐标均不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3),故③正确.所以正确的说法有1个.
(2)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点为P1,点P1关于yOz平面的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为　　　　.
(2,-3,1)
解析点P(2,3,-1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于yOz平面的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1).
探究点四　　两点间的距离
【例4】 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2, AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求线段DE,EF的长度.
解 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|=|CB|=|CA|=2,
∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),
规律方法　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为:
变式训练3已知△ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5).求△ABC中最短边的边长.
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点二]点P(2,0,1)在空间直角坐标系O-xyz中的位置是(　　)
A.在y轴上 B.在xOy平面内
C.在yOz平面内 D.在zOx平面内
D
解析 空间直角坐标系中,点P(2,0,1)的横坐标为2,纵坐标为0,竖坐标为1,所以点P在空间直角坐标系O-xyz中的zOx平面内.故选D.
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2.[探究点一]如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,
|OA|=3,|OC|=5,|OO1|=4,点P是B1C1的中点,
则点P的坐标为(　　)
C
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3. [探究点二]在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是(　　)
A.此点在xOy坐标平面上
B.此点在xOz坐标平面上
C.此点在yOz坐标平面上
D.以上都不对
C
解析 若m=0,点(0,2,0)在y轴上;若m≠0,点的横坐标为0,纵坐标大于0,竖坐标不为0,点(0,m2+2,m)在yOz坐标平面上.综上所述,点(0,m2+2,m)一定在yOz平面上.故选C.
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4.[探究点四]已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
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5. [探究点三](多选题) 关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3),下列说法正确的是(　　)
B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,2,3)
C.点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3)
D.点P关于xOy面对称的点的坐标为(1,-2,-3)
AC
解析 ∵P(1,2,3),
点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故B错误;
点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故C正确;
点P关于xOy面对称的点的坐标为(1,2,-3),故D错误.故选AC.
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6.[探究点四]一束光线自点P(1,1,1)发出,被xOy平面反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线自点P到点Q所走的距离是(　　)
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7.[探究点四]已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点的最短距离是(　　)
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8. [探究点一]若A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为　　　　　.
(0,0,3)
解析 设P(0,0,z),|PA|=|PB|,则1+4+(z-1)2=4+4+(z-2)2,解得z=3.
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9. [探究点三]点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=　　　　　.
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10. [探究点四]在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=　　　　　;点A到坐标平面yOz的距离是　　　　　.
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11. [探究点四]已知A(3,3,1),B(1,1,5),求:
(1)线段AB的中点坐标和长度;
(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.
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12. [探究点一]如图所示,在正四棱锥V-ABCD中,已知|AB|=2,|VO|=3,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点.以O为原点建立空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标.
解 由题可得四边形ABCD是边长为2的正方形,
∵E,F分别为BC,CD的中点,
∴|CE|=|CF|=1.
∴C(1,1,0),同理B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).
∵V在z轴上,|VO|=3,∴V(0,0,3).
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13.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点
则点A的坐标是(　　)
A.(0,0,-1) B.(0,1,1)
C.(0,0,1) D.(0,0,13)
C
B 级 关键能力提升练
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14.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为(　　)
B
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15.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为
(　　)
A.(0,0,10) B.(0,10,0)
C.(0,0,-2) D.(0,0,2)
AC
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16.如图所示,在空间直角坐标系O-xyz中,|BC|=2,原点O是BC的中点,点D在yOz平面内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则点D的坐标为(　　)
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17.在空间直角坐标系中,以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形,其中m∈Z,则m的值为(　　)
A.-4 B.4
C.-6或4 D.6或4
B
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解析 已知点A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),
设△ABC是以AB为底边的等腰三角形,则|AC|=|BC|,
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18.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=　　　　　.
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解析 ∵点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,
∴M1(-1,-2,-3),M2(-1,2,-3),
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19.在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A关于y轴对称的点的坐标是　　　　　.
(-1,-1,1)
解析 由题意知,顶点A(1,-1,-1),所以点A关于y轴对称的点的坐标是(-1,-1,1).
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20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, |AP|=|AB|=2,|BC|=2 ,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.
证明 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
连接PE,CE.
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C 级 学科素养创新练

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