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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.
4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式,能运用公式解决问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　空间向量运算的坐标表示 　 向量的坐标运算是形与数的转化
1.标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基.
根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.
把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作p=(x,y,z). 中间的“=”不能省略,即不能写成p(x,y,z)
单位向量i,j,k都叫作坐标向量.
2.若点A的坐标为(x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
也就是说:一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
3.空间向量运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到:
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);
(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;
(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

　两个空间向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和
思考辨析
自主诊断
1.[人教A版教材习题]已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求:
(1)a+b;(2)6a;(3)3a-b;(4)a·b.
解 (1)a+b=(-2,7,4).
(2)6a=(-18,12,30).
(3)3a-b=(-10,1,16).
(4)a·b=2.
2.已知{e1,e2,e3}是标准正交基,分别写出下列空间向量的坐标:
(1)p=2e1+3e2+e3;
(2)q=-e1+e2-2e3;
(3)r=-2e2-e3;
(4)0.
解 (1)p=(2,3,1).
(2)q=(-1,1,-2).
(3)r=(0,-2,-1).
(4)因为0=0e1+0e2+0e3,所以0=(0,0,0).
3.[人教A版教材习题]已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求:
(1)a·(b+c);(2)a+6b-8c.
解 (1)∵b=(2,0,3),c=(0,0,2),∴b+c=(2,0,5).
又a=(2,-3,1),
∴a·(b+c)=2×2+0×(-3)+5×1=4+0+5=9.
(2)a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3).
知识点2　空间向量平行(共线)和垂直的条件
我们知道,当b≠0时,a∥b λ∈R,使得a=λb.
共线向量基本定理
使用此式时注意分母不能为0
类似地,可得a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
思考辨析
平面向量中的结论:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2-x2y1=0.此结论在空间向量中能推广吗
提示 不能推广.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a=(2,0,1),b=(-2,3,0),则a⊥b.(　　)
×
×
×
2.(多选题)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(　　)
A.(1,1,1)　　　　　
B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,5)
D.(-2,3,-1)
BD
3.已知向量a=(1,2,1),b=(1,1,0)且b⊥(ka+b),则k=(　　)
D
解析 ∵向量a=(1,2,1),b=(1,1,0),∴ka+b=(k+1,2k+1,k).
∵b⊥(ka+b),∴b·(ka+b)=k+1+2k+1=0,解得k=- .
知识点3　空间向量长度与夹角的坐标表示
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量运算的坐标表示,可以得到以下结论:
思考辨析
1.你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗
提示 如图,建立空间直角坐标系O-xyz,
2.平面向量夹角的坐标表示是否可以推广到空间向量夹角的坐标表示
提示 可以.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则|a|=|b|.(　　)
(2)设a=(1,-1,1),b=(-2,0,1),则cos= .(　　)
√
√
2.[人教A版教材习题]求证:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
3.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A和B1B的中点,求CM和D1N所成角的余弦值.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　空间向量的坐标表示
【例1】 (1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)=　　　　.
-4
解析 易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),
则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
规律方法　用坐标表示空间向量的步骤如下:
变式训练1(1)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取点D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标.
(-2,0,1)
(1,1,2)
★(2)如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立空间直角坐标系,求向量 的坐标.
解 以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,
探究点二　　空间向量的坐标运算
【例2】 已知在空间直角坐标系中,点A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
规律方法　空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去起点坐标.
(2)空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
探究点三　　空间向量的平行与垂直
所以2a-b=-2c,所以(2a-b)∥c.
②由①知ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) =2k2+k-10=0.
变式探究1若本例3(2)中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何
变式探究2本例3(2)中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.
规律方法　1.判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.
2.利用向量证明直线、平面平行或垂直,要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明.
变式训练3(1)已知△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高BD的长为(　　)
A
★(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
证明 以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则
探究点四　　空间向量夹角与模的计算
【例4】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.求:
(1)BM,BN的长;
(2)△BMN的面积.
解 以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),
规律方法　向量夹角与模的计算方法
利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关向量的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行
求解.
变式训练4已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
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1
2
3
4
5
1.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)=(　　)
A.4 B.2
C.-2 D.-4
D
解析 因为2a+3b=(-2,4,2)+(6,0,3)=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),
所以(2a+3b)·(a-b)=-12+8+0=-4.
1
2
3
4
5
2. 已知a=(1,-4,-4),b=(m,2,-2m+1),若a∥b,则m的值为(　　)
C
1
2
3
4
5
3.(多选题)对于任意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下说法错误的是
(　　)
A.若a⊥b,则x1x2+y1y2+z1z2=0
BD
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.向量a=(2,1,x),b=(2,y,-1),若|a|= ,且a⊥b,则x+y的值为　　　　.
-4
1
2
3
4
5
5.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= ,且λ>0,则λ等于　　　　.
3

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