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(共56张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过实例,了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　分类加法计数原理
1.内容:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有
N=　　　　　　　　种方法.(也称“加法原理”)
2.特点:①完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;
　 分类标准明确,做到不重不漏
②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③把各类的方法数　　　　　,就可以得到完成这件事的所有方法数.
m1+m2+…+mn
相加
名师点睛
1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎样才算完成这件事;(3)完成这件事可以有哪些办法.
2.独立性:(1)完成这件事的n类办法是相互独立的;(2)每一类办法中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法.
3.分类:这是利用分类加法计数原理解题的关键,分类必须明确标准,(1)每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;(2)每一类中的任意两种方法也不相同.
思考辨析
从甲地到乙地,可以乘飞机,可以乘火车,也可以乘轮船,还可以乘汽车.每天有4个班次的飞机,有5个班次的火车,有3个班次的轮船,有2个班次的汽车.那么,乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地,在一天中共有多少种选择呢
提示 所有方法可以分成乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法,每类办法中分别有4,5,3,2种方法.于是,乘坐以上交通工具从甲地到乙地,共有4+5+3+2=14(种)方法.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.(　　)
×
√
2.[人教B版教材例题]某班班委由2位女同学、3位男同学组成,现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动,要求至少要有1位女同学参加,则不同的选法共有多少种
解 按照选择的女同学人数分为两种情况,即2位都是女同学和只有1位女同学.
2位都是女同学的选法显然只有1种.
只有1位女同学的选法,可以分为两步完成:先从2位女同学中选出1人,有2种选法;再从3位男同学中选出1人,有3种选法.依据分步乘法计数原理,共有不同的安排方法2×3=6(种).
依据分类加法计数原理,不同的选法共有6+1=7(种).
3.[人教A版教材习题]一个商店销售某种型号的电视机,其中本地的产品有4种,外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机,有多少种不同的选法
解 这件事情是“买1台某种型号的电视机”,根据分类加法计数原理,选法有4+7=11(种).
知识点2　分步乘法计数=原理
1.内容:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=　　　　 种方法(也称“乘法原理”).
2.特点:①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各个步骤的方法数　　　　,就可以得到完成这件事的所有方法数.　　
这n个步骤都要完成
m1·m2·…·mn
相乘
名师点睛
1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要经过几步才能完成这件事.
2.相关性:(1)完成这件事需要分成若干个步骤;(2)只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成.
3.分步:这是利用分步乘法计数原理解题的关键,(1)准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;(2)要注意各步骤之间必须连续;(3)各步骤之间既不能重复,也不能遗漏.
思考辨析
某幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮里有草莓、苹果、芒果3种水果.李老师的果篮里有苹果、樱桃、香蕉、猕猴桃4种水果.小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有多少种
提示 分两种情况:
①小华拿到的水果里没有苹果,则在王老师的果篮里有2种选法,在李老师的果篮里有3种选法,共有2×3=6(种)选法;
②小华拿到的水果里有苹果,再分苹果来自王老师还是李老师的果篮,共有1×3+2×1=5(种)选法,
由分类加法计数原理知,共有6+5=11(种)选法.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)
(2)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.(　　)
√
√
2.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两个袋子里各取一个球,共有　　　　种不同的取法.
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解析 由分步乘法计数原理知,共有6×8=48(种)不同的取法.
3.[人教A版教材习题]由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)
解 分3步来解决.由于各位上的数字可重复,因此三位数中每一位都有5种取法,所以共可以组成5×5×5=125(个)三位数.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　分类加法计数原理
【例1】 个位数字比十位数字大的两位数有多少个
解 (方法一)按个位数字分类,有以下几类:
个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;
个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;
同理,个位是7的有6个;
个位是6的有5个;
……
个位是2的有1个.
由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
(方法二)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
规律方法　分类加法计数原理的示意图
集合S共有m1+m2+…+mn个元素
完成事件S共有m1+m2+…+mn种方法
变式训练1若a,b均属于{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则有序数对(a,b)的个数为(　　)
A.14 B.13 C.12 D.10
B
解析 因为a,b均属于{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时,b可能为-1或0或1或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同的选法;当a=1时,b可能为-1或0或1,即b有3种不同的选法;当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
探究点二　　分步乘法计数原理
【例2】 (1)已知x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},则xy可表示不同的值的个数为
(　　)
A.8 B.9 C.10 D.12
B
解析 x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},从x中选1个值,从y中选1个值,共有3×3=9(种)运算结果,且没有相同的运算结果.
★(2)[苏教版教材习题]3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本,共有多少种不同的选法
分析3名同学选电子书,每名同学依次选电子书要分3步进行.每名同学选电子书都有5种不同的选法.
解 第一名同学选1本电子书有5种不同的选法,第二、第三名同学各选1本电子书,仍各有5种不同的选法.因此,根据分步乘法计数原理,3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是5×5×5=125.
规律方法　利用分步乘法计数原理的解题流程
变式训练2(1)现有3名教师、8名男学生和5名女学生共16人.若需1名教师和1名学生参加评选会议,则不同的选法种数为(　　)
A.39 B.24 C.15 D.16
A
解析 先从3名教师中任选1名,有3种选法,再从13名学生中任选1名,有13种选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为3×13=39.
★(2)给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有(　　)
A.8本 B.9本
C.12本 D.18本
D
解析 需分三步完成:第一步,首字符有2种编法;第二步,第二个字符有3种编法;第三步,第三个字符有3种编法,故由分步乘法计数原理知不同编号的书共有2×3×3=18(本).
探究点三　　两个计数原理的综合应用
【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法
解 (1)从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法.
(2)从国画、油画、水彩画各选一幅,分别有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.
(3)第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法;
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法;
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法.
所以共有10+35+14=59(种)不同的选法.
规律方法　1.在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计数的重复或遗漏.
2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.
3.明晰两个原理,进行正确运算,体现了数学运算的核心素养.
变式训练3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标.
(1)可以得到多少个不同的点
(2)这些点中,位于第一象限的有几个
解 (1)可分为两类:A中元素为x,B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×4+4×3=24(个)不同的点.
(2)第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数,共有2×2+2×2=8(个)不同的点.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一·2024山东日照月考]某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读,则不同的选法共有(　)
A.24种 B.9种
C.3种 D.26种
B
解析 不同的杂志本数为4+3+2=9,从中任选1本阅读,共有9种选法.
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2.[探究点二]5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(　　)
A.10种 B.20种 C.25种 D.32种
D
解析 每名同学限报其中的一个小组,各有2种报名方法,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有25=32(种).
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3.[探究点三]如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A.60 B.48 C.36 D.24
B
解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36(个),另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12(个),所以共有36+12=48(个).
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4.[探究点二·苏教版教材习题]若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有(　　)
A.34种 B.43种
C.3×2×1种 D.4×3×2种
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5.[探究点一]已知a∈{2,4,6,8},b∈{3,5,7,9},则能使logab>1的对数值有
　　　　　个.
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解析 分四类,当a=2时,b取3,5,7,9四种情况;当a=4时,b取5,7,9三种情况;当a=6时,b取7,9两种情况;当a=8时,b取9一种情况,所以总共有4+3+2+1=10种,又因为log23=log49,所以对数值有9个.
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6.[探究点三]用0到9这十个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为　　　　　.
328
解析 若个位数字为0,则前两位的排法种数为9×8=72;若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以排法种数为4×8×8=256.所以可以组成256+72=328(个)没有重复数字的三位偶数.
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7.[探究点一]如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有
　　　　种.
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解析 按照焊接点脱落的个数进行分类:第1类,脱落1个,有1,4,共2种;第2类,脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;第3类,脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;第4类,脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.
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8.[探究点三]有一项活动,需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法
解 (1)选1人,可分3类:第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.共有3+8+5=16(种)不同的选法.
(2)选教师、男同学、女同学各1人,分3步进行:第1步,选教师,有3种不同的选法;第2步,选男同学,有8种不同的选法;第3步,选女同学,有5种不同的选法.共有3×8×5=120(种)不同的选法.
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9. [探究点三]已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m,在B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:
(1)有多少个不同的数对
(2)其中m>n的数对有多少个
解 (1)从集合A中先选出m有5种方法,从集合B中再选出n有5种方法,根据分步乘法计数原理知共有5×5=25(个)不同的数对.
(2)在(1)中的25个数对中,m>n的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1种结果;当m=4时,n=1,3,有2种结果;当m=6时,n=1,3,5,有3种结果;当m=8时,n=1,3,5,7,有4种结果;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5种结果.
综上所述,共有1+2+3+4+5=15(个)满足条件的数对.
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10.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图所示.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法有(　　)
A.80种 B.120种
C.160种 D.240种
B
B 级 关键能力提升练
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解析 第一步,对1号区域,栽种有4种选择;第二步,对2号区域,栽种有3种选择;第三步,对3号区域,栽种有2种选择;第四步,对5号区域,栽种分为三种情况,
①5号与2号栽种相同,则4号栽种仅有1种选择,6号栽种有2种选择,②5号与3号栽种相同,情况同上,③5号与2,3号栽种都不同,则4,6号只有1种.
综上所述,不同的栽种方法有4×3×2×(1×2×2+1×1)=120(种).
故选B.
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11.某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市1月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是
(　　)
A.4 B.12
C.16 D.24
B
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解析 15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.
第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).
第二步安排偶数日出行,分两类:
第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;
第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计1+2=3(种).
根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数共有4×3=12.
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12.(多选题)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},则方程 可表示不同的椭圆的个数用式子表示为(　　)
A.3+3+3 B.3+3+2
C.3×3-1 D.3×3
BC
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13.(多选题)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物学、思想政治这三科,且其所选的生物学课在B层上,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上1节,另外1节上自习,则下列说法正确的是(　　)
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物学A层1班 化学B层2班 生物学B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物学A层3班 物理A层2班 生物学A层4班
物理B层2班 生物学B层1班 物理B层1班 物理A层4班
思想政治1班 物理A层3班 思想政治2班 思想政治3班
A.该同学有4种选课方式 B.该同学有5种选课方式
C.自习不可能安排在第2节 D.自习可安排在4节课中的任1节
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解析 由于生物学在B层,只有第2,3节有,故分两类:
若生物学选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节思想政治、自习任意选,故有2×2=4(种)(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);若生物学选第3节,则地理只能选第1节,思想政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5(种).综上,自习可安排在4节课中的任1节.故选BD.
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14.(多选题)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,则下列结论中正确的是(　　)
A.组成的三位数的个数为60
B.在组成的三位数中,偶数的个数为30
C.在组成的三位数中,“凹数”的个数为20
D.在组成的三位数中,“凹数”的个数为30
BC
解析 对于A,因为百位上的数字不能为零,所以组成的三位数的个数为4×4×3=48,故A错误;对于B,将所有三位数中的偶数分为两类,①个位为0,则有4×3=12(种),②个位为2或4,则有2×3×3=18(种),所以在组成的三位数中,偶数的个数为12+18=30,故B正确;对于C,D,将这些“凹数”分为三类,①十位为0,则有4×3=12(种),②十位为1,则有3×2=6(种),③十位为2,则有2×1=2(种),所以在组成的三位数中,“凹数”的个数为12+6+2=20(种),故C正确,D错误.故选BC.
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15.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个: 101,111,121,…,191,202,…,999.则
(1)5位回文数有　　　　　个;
(2)2n(n∈N+)位回文数有　　　　　个.
900
9×10n-1　
解析 (1)5位回文数相当于填5个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,第2位和第4位一样,有10种填法,中间一位有10种填法,共有9×10×10=900(种)填法,即5位回文数有900个.
(2)根据回文数的定义,结合分步乘法计数原理,知有9×10n-1个回文数.
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16.如图所示的电路,若合上两只开关以接通从A到B的电路,则有
　　　　　种不同的接通电路的方法.
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解析 由A到B的通电线路接通方法可分为三类:第一类,上路接通,有2×1=2(种)方法;第二类,中路接通,有1×7=7(种)方法;第三类,下路接通,有2×2=4(种)方法.根据分类加法计数原理,共有2+7+4=13(种)不同的方法.
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17.已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的两个非空子集,则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对{A,B}的个数为多少
解 根据题意,分4种情况讨论:
当A中的最大数为1,即A={1}时,B={2},{3},{4},{5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4}, {3,5},{4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{2,3,4,5},即{2,3,4,5}的非空子集的个数为24-1=15(个);
当A中的最大数为2,即A={2},{1,2}时,B={3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5}, {3,4,5},即2×(23-1)=14(个);
当A中的最大数为3,即A={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}时,B={4},{5},{4,5},即4×3=12(个);
当A中的最大数为4,即A={4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}, {1,2,3,4}时,B={5},即{1,2,3}的子集的个数为23=8(个).
所以总个数为15+14+12+8=49(个).
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18.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一列.
(1)写出排列后的第11个数.
(2)这些三位数有多少个
(3)若第n个数为341,求n.
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解 (1)排列的第11个数为133.
(2)每个数位上都有4种排法,
则这些三位数共有4×4×4=64(个).
(3)比341小的数有两类,如下表所示,
①
②
1 × ×
2 × ×
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4+1×3×4=44(个).所以n=44+1=45.
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19.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式 (用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序)
C 级 学科素养创新练
解 完成这件事有三类方法.
第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;
第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;
第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.
由分类加法计数原理知,6个广告不同的播放方式有36+36+36=108(种).
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