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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式.
2.掌握排列数公式,并能运用排列数公式进行计算.
3.能应用排列及排列数公式解决某些实际问题.
4.掌握解决有关排列问题的一些方法,如直(间)接法、捆绑法、优先考虑特殊位置(元素)等.
5.通过排列知识解决实际问题,提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
排列数公式
【问题思考】
1.从n个不同的球中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个球,放入排好的m个盒子中,每个盒子里放1个球,有多少种方法
提示:第1步,从全体n个球中任选1个放入第1个盒子中,有n种方法;
第2步,从剩下的(n-1)个球中任选1个放入第2个盒子中,有(n-1)种方法;
第3步,从剩下的(n-2)个球中任选1个放入第3个盒子中,有(n-2)种方法;
……
第m步,从剩下的[n-(m-1)]个球中任选1个放入第m个盒子中,有[n-(m-1)]种方法.
根据分步乘法计数原理,从n个不同的球中取出m个球的排列,共有
n(n-1)(n-2) ·…·[n-(m-1)]种方法.
2.(1)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)·(n-2)·…·[n-(m-1)]种,所以　　=　n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]　.这个公式叫作排列数公式.
(2)阶乘:当m=n时,　=　n(n-1)(n-2)·…·2·1　,记作　n!　,读作:n的阶乘.
(3)规定:　=　1　,0!=　1　.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
×
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
利用排列数公式求值或化简
排列数公式　　=n(n-1)·…·(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注意它的特点:从n起连续写出m个自然数的乘积即可.
【变式训练1】 (1)用排列数表示(55-n)·(56-n)·…·(69-n)(n∈N+,且n<55);
探究二
数字的排列问题
【例2】 用0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数
(1)六位奇数;
(2)个位数字不是5的六位数;
(3)不大于4 310的四位偶数.
1.本例条件不变,求能被5整除的五位数有多少个.　
2.本例条件不变,若所有的六位数按从小到大的顺序组成一列数,则240 135排第几
数字排列问题的常见解题方法
(1)“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充,如“0”不排“首位”.
(2)“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行.要注意两点,一是分类标准必须恰当,二是分类过程要做到不重不漏.
(3)“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.
(4)“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
【变式训练2】 现有0,1,2,3,4,5六个数字.
(1)用所给数字能够组成多少个四位数
(2)用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数
(3)用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3 142大的数 (最后结果均用数字作答)
探究三
排队、排节目问题
【例3】3名女生和5名男生排成一排,
(1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法
(2)如果女生互不相邻,有多少种不同排法
(3)如果女生不站两端,有多少种不同排法
(4)如果甲、乙两人必须站两端,有多少种不同排法
(5)如果甲不站左端,乙不站右端,有多少种不同排法
排队、排节目问题的解题策略
(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.
(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.
【变式训练3】 某次文艺晚会上共演出八个节目,其中两个唱歌、三个舞蹈、三个曲艺,求分别满足下列条件的排节目单的方法种数:
(1)一个唱歌节目排在开头,另一个唱歌节目排在最后压台;
(2)两个唱歌节目不相邻;
(3)两个唱歌节目相邻,且三个舞蹈节目不相邻.
易错辨析
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解没有考虑到x-2≥0,x≤8,导致错误.
答案:{8}
求解与排列数有关的解方程、解不等式等问题时,排列数 公式应注意隐含条件“m≤n,且m,n∈N+”的运用.
A.n=3
B.n=4
C.n=3或n=4
D.n=3或n=4或n=5
解析:原不等式化为(n-1)(n-2)+n≤10,即n2-2n-8≤0,解得-2≤n≤4.又n-1≥2,且n∈N+,所以3≤n≤4,且n∈N+,即n=3或n=4.
答案:C
随堂练习
答案:D
2.6名选手依次演讲,其中甲选手不排在第一个也不排在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有(　　).
A.240种 B.360种 C.480种 D.720种
答案:C
答案:ACD
4.某高三毕业班有40名同学,同学两两之间彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答)
解析:同学两两之间彼此给对方仅写一条毕业留言相当于从40人中任选2人的排列数, =40×39=1 560,故全班共写了1 560条毕业留言.
答案:1 560
5.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级的学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有
　　　　　种.(用数字作答)
答案:36
6.用0,1,2,3,4,5这6个数字,能组成多少个符合下列条件的数
(1)无重复数字的四位偶数;
(2)无重复数字且为5的倍数的五位数;
(3)无重复数字且比1 325大的四位数.

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