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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.通过实例,理解排列和排列数的概念.
2.能利用分步乘法计数原理推导简单的排列数.
3.能利用画“树形图”法写出一些简单问题的所有排列.
4.通过学习排列的概念,利用“树形图”列举一些简单问题的所有排列,提升直观想象和逻辑推理素养.
自主预习 新知导学
一、排列的概念
【问题思考】
1.高二(1)班为了安排正、副班长,先由学生推荐选举出五名候选人,分别记为A,B,C,D,E,再由班主任选出两名担任正、副班长.请思考问题:
(1)若班主任选A,B担任正、副班长,有几种安排方法
提示:两种,即A为正班长、B为副班长,A为副班长、B为正班长.
(2)请你用分步乘法计数原理计算一下班主任共有多少种安排方法.
提示:第1步,安排正班长,有5种方法;第2步,安排副班长,有4种方法.因此,根据分步乘法计数原理,共有5×4=20种.
(3)请用“树形图”列举这五名候选人担任正、副班长的安排情况.
提示:如答图5-2-1.
答图5-2-1
2.排列的概念:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照 一定的顺序 排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
3. 下列问题中,是排列问题的是(　　).
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人进行抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析:选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.故只有A符合.
答案:A
二、排列数的定义
【问题思考】
1.从写有1,2,3,4的卡片中选取卡片进行数字游戏,试填写表5-2-1:
表5-2-1
问题 答案
(1) 从4个数字中选取2个,能构成多少个无重复数字的两位数
(2) 从4个数字中选取3个,能构成多少个无重复数字的三位数 　
(3) 从4个数字中选取4个,能构成多少个无重复数字的四位数 　
提示:(1)4×3=12　(2)4×3×2=24 (3)4×3×2×1=24
2.(1)排列数的定义:我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有 不同排列 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作　　.
(2)排列问题:我们把有关求排列的 个数 的问题叫作排列问题.
答案:12　6
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.(　　)
(2)从6名学生中选3名学生分别参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法属于排列问题.(　　)
(3)有12名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案属于排列问题.(　　)
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问题.
(　　)
×
√
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
排列的概念
【例1】 判断下列问题是不是排列问题.
(1)北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)有多少种
(2)从6个小组中选2个小组分别去植树和种菜,共有多少种安排方式
(3)从6个小组中选2个小组去种菜,共有多少种选法
(4)从60名学生中选10名学生组成一个学习小组,共有多少种选法
(5)从全班45名学生中选3名学生分别担任班长、学习委员、生活委员,共有多少种安排方式
解:(1)中票价只有三种,以北京—上海和上海—北京为例,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每名学生的职务不同,例如甲当班长和甲当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
所以,上述问题中(2)(5)属于排列问题.
判断是不是排列问题的关键是选出的元素在被安排时,是否与顺序有关.若与顺序有关,则是排列问题,否则就不是排列问题.
【变式训练1】 判断下列问题是不是排列问题.
(1)某高中高一上学期某个周一6节课(这6节课均不同)的课程安排,共有多少种
(2)在某校的春季运动会上,高一(1)班4×100米接力赛的运动员的安排,共有多少种
(3)某会场有50个座位,要求选出3个座位,有多少种选法 若选出3个座位分别安排3位客人入座,又有多少种选法
解:(1)(2)均为排列问题,因为它们都与顺序有关.(3)选出3个座位与顺序无关,不是排列问题;“入座”问题同“排队”问题,与顺序有关,故选出3个座位分别安排3位客人入座是排列问题.
探究二
写出简单问题的所有排列
【例2】 A,B,C,D 4个人坐成一排照相,有多少种坐法 将它们列出来.
解:第1步,第1个位置可以从A,B,C,D四人中任选1人,有4种方法;第2步,第2个位置从剩余三人中任选1人,有3种方法;第3步,第3个位置从剩余二人中任选1人,有2种方法;第4步,第4个位置安排最后一人,有1种方法.
由分步乘法计数原理,得共有4×3×2×1=24种坐法.
画出树形图,如图如答图5-2-2.
答图5-2-2
由树形图可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB, BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,共有24种.
1.在本例中,若在条件中增加一条“A不坐排头”,则结论如何
解:画出树形图,如答图5-2-3.
由树形图可知,所有坐法为BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA, CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA, DCAB,DCBA,共有18种.
答图5-2-3
2.在本例中,若在条件中增加一条“A不坐排头和排尾”,则结论如何
解:画出树形图,如答图5-2-4.
故所有坐法为BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB, DABC,DACB,DBAC,DCAB,共有12种.
答图5-2-4
3.在本例中,若在条件中增加一条“A,B不相邻”,则结论如何
解:画出树形图,如答图5-2-5.
由树形图可知,所有坐法为ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCAD,BCDA,　BDAC,BDCA,CADB,CBDA,DACB,DBCA,共有12种.
答图5-2-5
利用“树形图”解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:树形图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.
【变式训练2】 从0,1,2,3这4个数字中,每次取出3个数字排成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数 并写出这些三位数.
(2)若组成的这些三位数中,1不能在百位上,2不能在十位上,3不能在个位上,则这样的三位数共有多少个 并写出这些三位数.
解:(1)组成不同的三位数可分3步:
第1步,选百位上的数字,0不能排在首位,有3种不同的排法;
第2步,选十位上的数字,有3种不同的排法;
第3步,选个位上的数字,有2种不同的排法.
因此,根据分步乘法计数原理,共有3×3×2=18个不同的三位数.
画出树形图,如答图5-2-6.
答图5-2-6
根据树形图可知,这些三位数是102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
(2)直接画出树形图,如答图5-2-7.
答图5-2-7
由树形图知,符合条件的三位数有8个:201,210,230,231,301,302,310,312.
易错辨析
忽略限制条件致误
【典例】 由数字1,2,3,4组成的排列a1a2a3a4中,满足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列的个数是　　　　　.
错解:首先注意a1位置的数比a2位置的数大,可以借助树形图进行筛选.满足a1>a2的排列,如图5-2-1.
图5-2-1
其次满足a3>a2的排列,如图5-2-2.
图5-2-2
所以满足条件的排列共有8个:2 143,2 134,3 124,3 142,3 241,4 123,4 132,4 231.
答案:8
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:忽视a3>a4的限制条件而致误.
正解:首先注意a1位置的数比a2位置的数大,可以借助树形图进行筛选.满足a1>a2的排列,如图5-2-3.
图5-2-3
其次满足a3>a2的排列,如图5-2-4.
图5-2-4
再次满足a3>a4的排列有2 143,3 142,3 241,4 132,4 231,共5个.
答案:5
解决约束条件比较多的排列问题,常借助树形图,将满足条件的排列一一列举出来.注意列举时不要漏掉限制条件.
【变式训练】 在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2号地不能种2号小麦,3号地不能种3号小麦,则共有　　　　　种不同的试种方案.
解析:画出树形图,如答图5-2-8.
答图5-2-8
由树形图可知,共有11种不同的试种方案.
答案:11
随堂练习
1.(多选题)下列问题属于排列问题的有(　　).
A.从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标,共有多少个不同的点
B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动,共有多少种不同的结果
C.从a,b,c,d 4个字母中取出2个字母组成一个密码,共有多少个密码
D.从数字5,6,7,8中任取两个数分别作对数logab的底数与真数,则logab的取值共有多少种
解析:根据排列的概念知A,C,D是排列问题.
答案:ACD
2.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,则不同的选法共有　　　　种.
解析:由题意知,从8人中选出5人担任5个学科的课代表,共有8×7×6×5×4=6 720种不同的选法.
答案:6 720
3.(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法
(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法
解:(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列,所以共有7×6×5=210种不同的送法.
(2)由于有7种不同的书,因此送给每名同学的1本书都有7种不同的选购方法,根据分步乘法计数原理知,共有7×7×7=343种不同的送法.

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