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(共38张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
基础落实·必备知识一遍过
知识点　正方体截面探究
平面与几何体相交所得平面图形(包含它的内部)

用一个平面去截几何体,此平面与几何体的交集,叫作这个几何体的截面,此平面与几何体表面的交集(交线)叫作截线,此平面与几何体的棱的交集(交点)叫作截点.
1.方法(交线法).该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而求得截面.
2.作截线与截点的主要根据有:
(1)确定平面的条件.
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条
直线.
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.
(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行.
正方体被平面所截,截面的形状是什么
提示 截面可以为三角形、正方形、矩形、梯形、五边形、六边形(如图所示).
思考辨析
自主诊断
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)截面的边是平面与几何体的交线.(　　)
(2)用一个平面去截正方体最少要经过正方体的三个面,最多经过正方体的六个面.(　　)
(3)平面与正方体的截面是三角形时,三角形可以为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.(　　)
√
√
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上,
且其中有两点在同一个面的棱上
【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在AB,BC,DD1上,求作过E,F,G三点的截面.
解 作法:(1)在底面ABCD内,过点E,F作直线EF分别与DA,DC的延长线交于点L,M.
(2)在侧面A1ADD1内,连接LG交AA1于K.
(3)在侧面D1DCC1内,连接GM交CC1于H.
(4)连接KE,FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.
规律方法　作正方体截面的方法
作正方体的截面←截面与正方体各个面的交线
　　　　　　　 ↑
截面与正方体各面的公共点
变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,F是棱AB的中点,G是棱BC的中点,作出过E,F,G的平面截得正方体的截面形状.
解 过E,F,G的平面截得正方体的截面为六边形EKFGHQ,如图所示,
作法:观察所给的条件,发现FG是一条交线,
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,第三个平面和它们相交,截面和平面A1B1C1D1的交线一定和FG平行,
而E是A1D1的中点,故取C1D1的中点Q,则EQ也是一条交线,
再延长QE和B1A1的延长线交于点M,
则点M在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1的交线上,
连接MF,交A1A于点K,则EK,KF又是两条交线,
同理可以找到QH,HG两条交线,
因此,六边形EKFGHQ就是所求截面.
探究点二　　截面经过的三个已知点至少有一点在多面体
的面上,其余点在棱上
【例2】 如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别在棱AA1,BC上,G在底面A1B1C1D1内,求过E,F,G的截面.
解 作法:(1)过E,F作辅助面,在平面BCC1B1内,过F作FF1∥BB1,交B1C1于点F1,则平面AFF1A1为所作的辅助面.
(2)在平面AFF1A1内,延长F1A1交FE的延长线于点P.
(3)在平面A1B1C1D1内,连接PG交A1B1于点M,并延长交B1C1于N.
(4)连接ME并延长,与BA延长线交于点Q,连接QF交AD于点H.
(5)连接EH,FN,则五边形EHFNM为所求的截面.
变式训练2
如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱B1C1,BB1的中点,点G在A1D上且DG=3GA1,过E,F,G三点的平面α截正方体.作出截面图形并求出截面图形面积.
解 如图,过EF与EF外一点G可求得平面EFNM,交平面AA1D1D于MN,
∵EF∥平面ADD1A1,且平面EFNM∩平面ADD1A1=MN,∴EF∥MN.
探究点三　　截面问题
【例3】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题是真命题的是　　　　　.
①当0②当CQ= 时,S为等腰梯形
③当CQ= 时,S与C1D1的交点R满足C1R=
④当 ⑤当CQ=1时,S的面积为
①②③⑤　
变式训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的表面积为π,P是空间中任意一点:
①若点P在线段AD1上运动,则始终有C1P⊥CB1;
②若M是棱C1D1中点,则直线AM与CC1是相交直线;
③若点P在线段AD1上运动,三棱锥D-BPC1体积为定值;
④E为AD中点,过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为
以上命题为真命题的个数为　　　　　.
3
解析 对于①,因为正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的表面积为π,设内切球的半径为r,则4πr2=π,解得r= ,所以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2r=1,
如图,因为CB1⊥BC1,CB1⊥AB,且BC1∩AB=B,
所以CB1⊥平面ABC1D1,因为C1P 平面ABC1D1,
所以C1P⊥CB1,故①正确.
对于②,由图可知,直线AM与CC1是异面直线,故②错误;
对于③,由图可知,因为CD∥平面BPC1,三棱锥D-BPC1体积等于三棱锥C-BPC1的体积,由选项A可知,CB1⊥平面BPC1,所以点C到平面BPC1的距离为
故三棱锥D-BPC1的体积为定值,故③正确;
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1. [探究点三]几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F,G分别为AA1,D1C1,BC的中点,过E,F,G的平面截正方体的截面面积为(　　)
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2. [探究点一]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A,C及棱A1D1上一点K,且将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,则 的值
为(　　)
C
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解析 过点K作KE∥AC,交C1D1于点E,连接CE,
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3. [探究点一]如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AB,B1C1的中点,过C,M,N三点作正方体的截面,则以B点为顶点,以该截面为底面的棱锥的体积为(　　)
A.8
B.7
C.16
D.14
A
解析 如图,过C,M,N三点的截面为梯形MCNE,则几何体MBC-EB1N为棱台,
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4. [探究点一](多选题) 如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,设由点A,E,F构成的平面为α,则下列说法正确的是(　　)
A.平面α截正方体的截面可能是三角形
B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为2
C.点D到平面α的距离的最大值为
D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形
BCD
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B 级 关键能力提升练
5.已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,则平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为(　　)
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6.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N为CC1的中点,M为线段BC上的动点(不含端点),若过点A,M,N的平面截该正方体所得截面为四边形,则线段BM长度的取值范围是(　　)
A
解析 当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,又正方体的棱长
为2,
∴当01时,截面与正方体的上底面也相交,截面为五边形,故线段BM的取值范围为(0,1].故选A.
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C 级 学科素养创新练
7.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为(　　)
B
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解析 如图所示,延长EF,A1B1相交于点M,连接AM交BB1于点H,延长FE,A1D1相交于点N,连接AN交DD1于点G,可得截面五边形AHFEG.
∵几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,

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